Глава 1. Геометрическая оптика

Основные идеи гамильтоновой механики пришли из геометрической оптики. Поэтому мы сначала обсудим основные принципы геометрической оптики, а потом сформулируем аналогичные принципы гамильтоновой механики.

Принцип Ферма

Будем рассматривать распространение света как движение частиц — фотонов. По какой траектории движется фотон? Оказывается, в большинстве случаев траектория может быть найдена исходя из следующего принципа, сформулированного Ферма в 1650 году: свет выбирает такую траекторию между двумя данными точками, движение по которой занимает минимальное время.

Принципу Ферма предшествовали как экспериментальные, так и теоретические исследования движения света. Очень много было сделано греками. Птолемей, отказавшись от греческой традиции изучать явления природы умозрительно и дедуктивно, проводил множество экспериментов. В частности, он составил таблицы зависимости углов преломления от углов падения. Герои Александрийский сформулировал принцип наименьшего расстояния, который применим к однородным и изотропным средам. Согласно принципу Герона, свет в таких средах должен распространяться по прямой. Но этот принцип не объяснял явление преломления. Принцип Ферма объясняет эффект преломления, а также множество других эффектов.

Например, для конструкции линз достаточно пользоваться только принципом Ферма. На закате, когда мы видим солнце у самого горизонта, оно на самом деле уже зашло, то есть прямая, соединяющая нас (наблюдателя) и солнце, пересекает земную поверхность. То, что мы все-таки видим солнце, связано с изгибанием лучей. Лучи изгибаются, чтобы минимизировать свой путь через плотные слои атмосферы, в которых скорость света ниже.

С изгибанием лучей связано еще и то, что видимая форма солнца на закате не круглая, а сплюснутая.

На горячем асфальте или горячем песке можно увидеть мираж. Лучи как бы отражаются от горячего потока воздуха. На самом деле это явление можно объяснить при помощи принципа Ферма: лучам выгодно изгибаться и проходить существенное расстояние через горячий воздух, потому что скорость света в горячем воздухе больше, чем в холодном.

Постараемся формализовать принцип Ферма. Мы предполагаем, что скорость света в данной точке зависит только от точки и от направления, в котором движется свет (но не от того, скажем, где расположен источник света и какова его интенсивность). Скорость света в данной среде тем самым полностью определяется физическими свойствами среды. Среда называется изотропной, если скорость света зависит только от точки, но не от направления (чтобы подчеркнуть, что речь идет только об оптических свойствах среды, мы иногда будем говорить «оптически изотропная среда»). Будем полагать для простоты, что среда изотропна. Тогда скорость света можно изобразить функцией точки.

Вообще-то свет распространяется в трехмерном пространстве, но мы будем считать, что он распространяется на плоскости. Пусть v(x,y) — скорость света в точке с координатами хну. Тогда световая траектория минимизирует интеграл

(Ж1,У1)

' ds

J v(x, у)

(^о,уо)

Этот интеграл взят по кривой, соединяющей точки (^о,2/о) и (^1» 2/1) (^эти точки зафиксированы), и называется оптической длиной кривой. Параметр s — натуральный параметр на кривой (то есть такой параметр, приращение которого на произвольной дуге кривой равно длине этой дуги). Интеграл можно воспринимать как одномерный интеграл

L

ds

. 'ф(з)>?/(«))’ о

где L — длина кривой, а х = ж(з), у = y(s) — параметрическое уравнение кривой через натуральный параметр s. Тем самым оптическая длина является функцией от кривой, и она определена на всех достаточно гладких кривых с фиксированными концами. Принцип Ферма утверждает, что свет движется по кривой, на которой эта функция достигает своего минимума.

Принцип Ферма нуждается в некоторых уточнениях. Например, нужно допускать не только такие пути, вдоль которых время прохождения минимально, но и пути, соответствующие любым критическим точкам функционала оптической длины I Эта модификация аналогична тому, что вместо минимума какой-либо функции от одной действительной переменной мы рассматриваем такое значение переменной, при котором производная функции равна нулю. Точки минимума этому условию удовлетворяют, но не только они.

Рассмотрим однородную и изотропную среду, то есть такую среду, в которой скорость света не зависит ни от точки, ни от направления. Тогда оптическая длина кривой пропорциональна обычной евклидовой длине кривой. Таким образом, минимизировать время — то же самое, что минимизировать длину. Мы знаем, какие кривые в евклидовом пространстве имеют минимальную длину — это прямые линии. Таким образом, в однородной и изотропной среде распространение света происходит вдоль прямолинейных лучей.

Правда, эти лучи могут отражаться от поверхностей, что непосредственно не следует из принципа Ферма, если понимать его буквально. Скажем, если луч света выбирает между тем, чтобы пойти по прямой или отразиться, например, от поверхности озера, то, согласно принципу Ферма, он должен выбрать первое. В природе же выбираются оба варианта, хотя второй выбирается, так сказать, с меньшим весом, зависящим от отражающей способности поверхности. Почему так происходит — сложный вопрос, который мы не будем здесь обсуждать: нам пришлось бы для этого привлечь соображения из квантовой механики.

Допустим, что луч должен отразиться от гладкой поверхности. То, как именно луч это делает, описывается принципом Ферма. Рассмотрим для простоты плоскую задачу. Луч света выходит из точки А и отражается от прямой I. Наблюдатель находится в точке В и видит отраженный свет. По какой кривой идет свет от точки А до точки В?

Это математическая задача:

Задача 1.1. Найдите кривую наименьшей длины, соединяющую точки А и В и имеющую хотя бы одну общую точку с прямой I. Мы предполагаем, что Л и В находятся по одну и ту же сторону от прямой I (иначе задача тривиальна) (см. рис. 1.1).

Эта задача красиво решается методом отражения, который иногда проходят в школе на геометрии. Но можно эту задачу решать и «в лоб». Для этого нужно заметить, что оптимальная кривая (если она существует)

¹ Если пути рассматривать как точки функционального пространства, то можно говорить о критических, точках функционала, определенного на этом пространстве — точках, в которых дифференциал функционала равен нулю. Значения в критических точках называются критическими значениями. В классическом вариационном исчислении и теоретической механике критические значения функционалов называют стационарными значениями. Мы тоже иногда будем пользоваться этой терминологией.

должна состоять из двух прямолинейных отрезков, один из которых идет от точки А до точки X на прямой I, а другой от точки X до точки В. Таким образом, задача свелась к задаче с единственным параметром. В качестве параметра можно взять координату точки X на прямой I. Обозначим эту координату через и. Будем писать Х(и) вместо X, имея в виду точку на прямой I с координатой и. Мы, конечно, предполагаем, что координата и выбрана таким образом, что расстояние между точками Х(и) и Х(и') равно |и — и'.

Рис. 1.1. Кривая наименьшей длины, соединяющая данные точки и имеющая общую точку с данной прямой

Задача 1.2. Посчитайте производную по и расстояния между точками А и Х(и) (выразите ответ через угол между отрезком [Л, Х(и.)] и прямой Z).

Пусть a — угол между отрезком [Л, Л’(и)] и прямой I. Ответ в задаче такой: A cos о (см. рис. 1.2, содержащий некоторые пояснения). Знак зависит от того, какой именно из двух возможных углов мы принимаем за а. Теперь, чтобы найти кратчайший отраженный луч, нам нужно найти минимум следующей функции одной переменной:

/(«) = |ЛХ(и)| + |Х(«)В|,

где |ЛХ| обозначает евклидово расстояние между точками А и X. Приравняв производную функции f к нулю, получаем, что угол падения должен быть равен углу отражения.

Переходя из одной однородной изотропной среды в другую, луч преломляется. Это явление связано с тем, что скорость света меняется при переходе из одной среды в другую. Предположим, что одна среда находится в верхней полуплоскости, и скорость света в этой среде равна с, а вторая

Рис. 1.2. Производная расстояния |ЛХ(и) | по и равна cos а. Отмечены точки X — — Х(и) и Y — Х(и + Ди). Разность |ЛУ| - |ЛХ| примерно равна |РУ|, то есть примерно равна |XY| cos а — (Au) cos асреда — в нижней полуплоскости, и скорость света в этой среде равна С2. Например, можно считать, что сверху находится воздух, а снизу — вода. Пусть I — горизонтальная прямая, разделяющая две наши среды. Как и раньше, обозначим через Х(и) точку на прямой I, координата которой равна и.

Допустим, что луч света пытается попасть из точки А в точку В, причем первая точка находится в воздухе, а вторая — в воде. Понятно, что сначала луч по прямолинейному отрезку пойдет из точки А в какую-то точку прямой I, а потом из этой точки в точку В, опять по прямолинейному отрезку. Мы приходим к задаче минимизации следующей функции:

_{/(и) =} |ЛХ(и)| ₊ |Х(ц)В|

Ci С2

Приравнивая производную функции f к нулю, получаем следующее урав-^НеНИе’ COSfti cos «2

Cl С2

Здесь «1 — это угол между отрезком [Л, Х(и)] и прямой I, а «2 — угол между прямой I и отрезком [Х(и), В]. Углы выбираются таким образом, что либо оба угла острые, либо оба угла тупые. Мы будем считать, что оба угла острые (см. рис. 1.3).

Полученное соотношение между cosqi и cos «2 называется законом Снелла. Этот закон получил Снелл (вариант: Снеллиус) в 1621 году.

Следующее неформальное рассуждение позволяет обобщить закон Снелла на случай изотропной среды, в которой скорость света (как скалярная функция точки) зависит только от //-координаты. Сначала представим

Рис. 1.3. Преломление света при переходе из среды, в которой скорость света равна ci, в среду, в которой скорость света равна сгсебе среду, состоящую из большого числа горизонтальных слоев. Каждый слой заключен между двумя параллельными горизонтальными плоскостями (точнее, если мы думаем про плоскость, между двумя параллельными горизонтальными прямыми). Допустим, что внутри каждого слоя среда однородная. Обозначим через щ скорость света в г-м слое. Тогда закон Снелла говорит о том, что величина

cos ai

постоянна (то есть не зависит от г). Теперь будем делать слои все тоньше и тоньше. Любая изотропная среда, в которой скорость света является гладкой функцией v(y) одной только координаты у, может быть сколь угодно точно приближена средой, состоящей из конечного, но очень большого числа тонких горизонтальных слоев. Переходя к пределу (мы здесь допускаем физический уровень строгости и не обосновываем законность предельного перехода), получаем, что вдоль любого светового луча (то есть величина, написанная в левой части, не зависит от t). Здесь t — любой параметр на световом луче (например, можно считать, что x(t) и y(t) — это координаты фотона в момент времени t). Угол a(i) — это угол между световым лучом и горизонтальным направлением в точке (x(t), y(t)). Мы будем называть полученный закон обобщенным законом Снелла.

cos a(t)

= const

Обобщенный закон Снелла можно переписать как дифференциальное уравнение на траекторию. Обозначим

cosa(t)

Эта величина не зависит от t по обобщенному закону Снелла. Допустим, что световой луч является графиком некоторой функции у = у(х). Тогда можно взять х вместо параметра t на световом луче. Угол а(х), то есть угол наклона светового луча (по отношению к горизонтальному направлению) связан с производной функции у(х). А именно, как мы знаем, производная равна тангенсу угла наклона. Тангенс и косинус связаны следующей формулой: I

1 + tg² а = —п— • cos² а

Таким образом, мы получаем следующее дифференциальное уравнение на

световые лучи: ,----———

dy _ у/1 - х² ??(?/)

dx xv (у)

Правая часть этого уравнения зависит только от у. Следовательно, мы получили уравнение с разделяющимися переменными.

ВИЛЛЕБРОРД СНЕЛЛ (1580-1626)

Голландский математик, физик и астроном, профессор Лейденского университета. Разработал метод триангуляции для геодезических измерений, в частности для вычисления радиуса Земли. В 1621 году открыл закон преломления света. Впрочем, как выяснилось, этот закон был известен еще персидскому математику и физику Ибн Салю (закон преломления фигурирует в его трактате о конструкции оптических линз, датируемом 984 годом).

ПЬЕР ДЕ ФЕРМА (1601-1665)

Советник парламента в Тулузе и математик-любитель. Известен своими математическими открытиями, изложенными главным образом в письмах к коллегам-математикам. Автор фундаментальных понятий и методов аналитической геометрии, теории чисел, анализа и теории вероятностей. Ферма сформулировал принцип наименьшего времени и вывел из него закон Снелла (1657). Впрочем, Ферма считал, что свет распространяется с бесконечной скоростью, поэтому формулировка принципа наименьшего времени у него была несколько запутанной.

ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ

Одно из самых интересных применений обобщенного закона Снелла — задача о брахистохроне. Дано две точки А и В, причем точка В находится ниже точки А, но не на той же самой вертикали. Рассмотрим различные кривые, соединяющие А с В. Представим себе частицу, скользящую без трения вдоль этих кривых. Брахистохрона — это такая кривая, время скольжения вдоль которой минимально. Все скольжения, которые мы рассматриваем, начинаются в точке А и заканчиваются в точке В; начальная скорость всегда нулевая (то есть мы не подталкиваем скользящие частицы).

Задача нахождения брахистохроны может быть формально сведена к задаче геометрической оптики. В самом деле, время скольжения вдоль кривой равно интегралу

' ds

J и

взятому вдоль этой кривой. Если окажется, что скорость v скольжения частицы зависит только от ее положения, но не от кривой, вдоль которой она скользит, то задача сведется к геометрической оптике.

Скорость v может быть найдена из закона сохранения энергии:

(Мы направим ось у вниз, поэтому потенциальная энергия убывает с ростом у, отсюда знак минус. Мы также предполагаем, что точка А находится на высоте О, поэтому потенциальная энергия равна тду. В начальный момент скользящая точка находится на высоте 0, и ее скорость равна нулю, поэтому полная энергия равна нулю.) Находим:

Таким образом, v действительно зависит только от положения, но не от кривой. Более того, v зависит только от координаты у. Поэтому мы можем применить обобщенный закон Снелла.

Мы уже выяснили, что обобщенный закон Снелла можно переписать как дифференциальное уравнение на световые траектории с разделяющимися переменными. При этом световые траектории находим как графики функций у — у(х). В нашем случае дифференциальное уравнение имеет вид

dy ₌ У1 - 2дх²у

dx >cV2gy

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

у/2ух²у dy

—. — = dx.

J у/1 - 2дх²у J

Чтобы вычислить интеграл в левой части, удобно сделать следующую замену переменной:

• 2дх²у = sin² ф
• (старая переменная у, новая переменная ф эти переменные выражаются одна через другую из уравнения, выписанного выше). Интегрируя, получаем:

Заменим 2ф на ф (это просто изменение параметризации кривой), х на 4дя?х и у на 4дя?у (это гомотетия, то есть изменение единицы длины). Получаем:

х = ф — sin ф + const, у — 1 — cos ф.

Как нетрудно видеть, это уравнение описывает циклоиду, то есть траекторию точки, прикрепленной к колесу, которое равномерно и без проскальзывания катится по горизонтальной прямой. Точнее, мы получили траекторию точки на колесе, отраженную относительно горизонтальной прямой.

Циклоида — периодическая кривая со счетным числом каспов (клювов). Брахистохрона — это часть циклоиды, начинающаяся в каспе и заканчивающаяся не позже следующего каспа. Заметим, что в точке А касательная к брахистохроне вертикальна. Это соответствует интуитивным представлениям: в начальный момент нужно разогнаться как можно сильнее. Впрочем, это свойство брахистохроны делает ее непригодной к решению практических задач (таких как поиск оптимальной формы ледяной горки, туннеля и проч.).

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ

Обобщенный закон Снелла можно также использовать для нахождения формы цепной линии. Эту форму принимает тонкая цепочка, свободно висящая между двумя закрепленными концами. Будем считать для определенности, что концы цепочки закреплены на одной и той же высоте. Направим ось у вниз и выберем начало координат так, чтобы закрепленные концы оказались на высоте 0.

Цепочка пытается минимизировать полную потенциальную энергию. Будем считать, что масса цепочки равномерно распределена по ее длине. Тогда потенциальная энергия маленького участка цепочки длины As примерно равна — у As, где —у — высота этого участка (мы считаем плотность равной единице). Следовательно, полная потенциальная энергия цепочки выражается интегралом

U — - у ds.

Напомним, что буква s обозначает натуральный параметр на кривой. Однако цепочка не может менять длины. Поэтому интеграл потенциальной энергии нужно минимизировать при условии постоянства длины, то есть

ds = L,

где L — постоянная величина.

Таким образом, мы обсуждаем задачу нахождения условного экстремума. К этой задаче можно применить принцип множителей Лагранжа. Для нахождения условного экстремума некоторой функции f (определенной, в нашем случае, на бесконечномерном пространстве кривых) при условии д — 0 мы действуем так, как если бы искали безусловный экстремум функции f + Хд, то есть мы ищем критические точки этой функции. Здесь А — константа, называемая множителем Лагранжа. После того как критические точки функции f + Хд найдены, значение множителя А для этих точек находится из условия д = 0.

В нашем случае мы должны действовать так же, как если бы мы хотели минимизировать интеграл

• (~У + A)ds
• 7

по всем кривым 7 с данной парой закрепленых концов. Экстремум этого интеграла можно найти из обобщенного закона Снелла: сам интеграл имеет вид интеграла оптической длины пути для изотропной среды, в которой скорость света записывается формулой

Как мы видим, скорость света зависит только от у. Из обобщенного закона Снелла получаем следующее дифференциальное уравнение:

dy _ I (X - у)² ~

dx V х²

или, разделяя переменные,

dy dx

уУ² ~ *^{2 я}

Введем замену переменных Л — у = мсЬф (старая переменная у, новая переменная ф). Интегрируя при помощи этой замены, получаем:

у — Л — х ch

х — XQ

Таким образом, с точностью до аффинной замены координат, цепная линия — это график функции гиперболический косинус.

СУЩЕСТВОВАНИЕ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ, СОЕДИНЯЮЩИХ ПАРЫ ТОЧЕК

Рассмотрим изотропную среду, скорость света в которой задается функцией v(x,y). Сформулируем без доказательства следующую теорему: если функция v(x, у) непрерывна, причем v(x,y) > е > 0 вне некоторого шара, то для каждой пары точек плоскости найдется световой луч, проходящий через эти две точки „ _r ds

(то есть такая траектория, на которой интеграл J — достигает своего наименьшего значения). Существует обобщение этой теоремы на случай неизотропных сред.

ЗАДАЧИ

Задача 1.3. Выведите из принципа Ферма, что при отражении относительно любой гладкой кривой на плоскости (находящейся в однородной и изотропной среде) угол падения равен углу отражения.

Задача 1.4. Все стены комнаты зеркальные. Источник света помещен в одну точку комнаты. Можно ли подобрать форму комнаты и положение источника так, чтобы не все точки комнаты оказались освещенными?

Задача 1.5. Рассмотрим изотропную среду, занимающую верхнюю полуплоскость у > 0, скорость света в которой выражается формулой v(x, у) — У-Найдите форму световых лучей в этой среде.

Задача 1.6. Рассмотрим изотропную среду, занимающую внутренность единичного круга, скорость света в которой выражается формулой v(x,y) = = 1 — х² — у². Найдите форму световых лучей в этой среде.

Задача 1.7. Плоскость заполнена однородной и изотропной средой. В плоскости расположено зеркало, форма которого совпадает с графиком функции f. Известно, что вертикальный поток световых лучей, падающих на зеркало сверху вниз, отражается таким образом, что отраженные лучи сходятся в некоторой точке (фокусе зеркала). Найдите все функции /, обладающие указанным свойством.

Задача 1.8. На плоскости имеются две различные однородные и изотропные среды. Граница раздела между средами имеет форму графика некоторой функции /. Известно, что вертикальный поток лучей, падающих сверху вниз, преломляется таким образом, что преломленные лучи собираются в одной точке. Перепишите это условие в виде дифференциального уравнения на функцию /. (Скорость света в верхней среде равна с, а скорость света в нижней среде равна с₂.) Считая, что /'(0) = 0, найдите параболу, лучше всего приближающую график функции f вблизи точки 0.

Задача 1.9. Задача о соединенных стержнях. Рассмотрим несколько стержней, длины которых равны 1, ..., 1_П. Допустим, что каждый стержень шарнирно соединен со следующим, и при этом свободный конец первого стержня и свободный конец последнего стержня подвешены в заданных точках. Полученная цепочка из шарнирно закрепленных стержней подвержена только действию силы тяжести (массы стержней даны). Найдите систему разностных уравнений, описывающую положение этой цепочки. Исследуйте предельный переход, в ходе которого длины стержней стремятся к нулю, и одновременно число звеньев увеличивается так, что суммарная длина цепочки остается неизменной. Каким образом в пределе получается дифференциальное уравнение на цепную линию? Является ли сама цепная линия пределом рассматриваемых цепочек? (См.: [Лан].)