Пределы

Краткие сведения по теории

Обозначения X С У и У Э X означают, что X - подмножество в У, т.е. X содержится в У; это означает, что все элементы множества X - элементы множества У. Запись х Е X означает, что х - элемент множества X.

Часто используются следующие обозначения:

К - множество всех действительных чисел:

К_|_ - множество всех положительных действительных чисел;

й и - множества всех целых и рациональных чисел;

N - множество всех натуральных чисел; 0! = 1; п! = 1 • 2 • ... • п, /п 6 N. Подмножества в Ж называются числовыми множествами.

Через X А У и X и У обозначаются пересечение и объединение двух множеств X и У, через X У - множество всех элементов из X. не лежащих в У. Через 0 обозначается пустое множество, т.е. множество, в котором нет элементов. Ясно, что X X = 0.

А + В АВ АВ

Для краткости используются обозначения:

V для всех; 3 существует; X С У

<=> X С У, X ф У.

Кроме того, (а, 6), [а, &], [а, 6), (а, Ь] - интервал, отрезок, левый полуинтервал и правый полуинтервал с концами а и 6, т.е. множество таких всех чисел х, что а < х < 6, а < х < Ь. а < х < Ь, а < х < Ь, где возможны случаи Ь = +эс и а = —оо. Промежутками называются все интервалы, отрезки и полуинтервалы (в том числе, и бесконечные).

Если жо и д > 0 - числа, то интервал (жо — <5, хо + д'), задаваемый неравенством |ж — ®₀| < д, называется 6-окрестностью точки х^ и обозначается д'(жо). Множество

(«о - д, ж₀) и (ж₀, ж₀ 3- д') = («о - «о + д) ж₀,

задаваемое неравенствами 0 < |ж — жо| < д', называется проколотой 6-окрестностью точки ж₀ и обозначается д'(жо).

Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число М1, что М± < ж для всех ж 6 X. В этом случае число М± называется нижней гранью множества X.

Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует такое число М2, что ж < М2 для всех ж 6 X. В этом случае число М2 называется верхней гранью множества X.

Множество X называется ограниченным, если X ограниченоснизуисвер -ху, т.е. сугцествуюттакиечисла и М-2, что Mi < х < М2 длявсех х Е X. Ясно, чтомножсство X ограничсновточноститогда . когдасущсс-твусттакоечисло М > 0, что — М < х < М длявсех х Е X. т.е. |ж| < М длявссх х Е X.

Будсмговорить , чточисло М является 7почнойверхнейгранъю (точной нижнейгранъю ) длямножсства X, если М - верхняя (нижняя) граньдля X иникакоечисло . меньшее М (большее М), неявляетеяверхней (нижней) граньюдля X. Вэтомслучае У^йабпзначаетсячерез sup X (inf X) и можсткакпринадлсжать , такинепринадлсжатьмножсству X.

Мыбудемиспользоватьвкнигеуказанныев 1.1.1 трисвойствачисел , псрвосизкоторыхназывастся аксиомошпочнойверхнейграни , второе -аксиомойточнойнижнейграни , атрстье леммойовложенныхотрезках . Мыпринимаемсвойство 1)( аксиомуточнойвсрхнсйграни ) вкачествс аксиомы. Тогдасвойство 2) вытекаетизсвойства 1) путемпереходакпро -тивоположномучисловомумножеству —X = { — хх Е X}. Поэтомумы считаем, что каждоеограниченноемножествообладаетточнойверхней гранъюиточнойнижнейгранъю

• 1.1.1. Точныеграниилеммаовложенныхотрезках
• 1) Каждоеограниченноесверхунепустоечисловоемножество X об-ладаетточнойверхнейгранью
• 2) Каждоеограниченноеснизунепустоечисловоемножество Y обла-даетточнойнижнейгранью
• 3) длялюбогобесконечногонаборавложенныхотрезков

[ai.&i] D [«2,^2] Э • • {«n₅&n] D • • • существуетхотябыоднаточка

с, общаядлявсехотрезков [а_п,6_ге].

<1 Можносчитать , чтовыполненысвойства 1) и 2) инадодоказатьсвойст -во 3). Обозначимчерез X и У множсствавссхточек а_п и Ь_п соответственно. Этимножестванепустыиограничены . Поэтомусуществуютточная верхняягрань supX иточнаянижня inf У).;Енлм supX < inf У, то существуеттакоечисло с, что supX < с < inf У, откуда а_п < с < Ъ_п для всех п и с - общаяточкадлявссхотрезков [а_п, Ь_п]. Допустимтепсрь , что supX > inf У. Тогдасущсствусттакоечисло М, что supX > М > inf У. Поэтомусуществуюттакие а_п и bk, что < М < а_п. Тогда ад < 6д < а_п < Ь_п. Таккак ад < а_п и 6д < Ь_п. то п < к и к < п, чегобытьнеможет . > Если X и У - дванепустыхмножестваикаждомуэлементу х Е X по какому-топравилусопоставленвточностиодинэлемент у = f(x) Е У, то говорят, чтона X задано отображение f, принимающеезначениевмно жестве У; приэтомпишем /: X -> У.амножес тХ «называется областью определения отображения / иобозначается D(f). Через Im(/) обозначает-сяподмножествов У, состоящееизвсехэлементоввида f(x) (Уж Е X). Множество Im(/) называется областьюзначений отображения f и м о ж е т каксовпадатьс У, такинесовпадать .

Отображение f: X —>? У называется взаимнооднозначным , еслидлялюбо -го у Е У найдетсявточностиодинтакойэлемент х Е X, что

У (ж) = у; такойэлемент х обозначаетсячерез /^-1(^).

Длялюбоговзаимнооднозначногоотображения f: X —> У правилом

х = ,f^-1(y) определяетеявзаимнооднозначноеотображение f~¹- У —> X, называемое обратным отображениемдля f, причем f~¹(f[x)) = х длявсех х ? X и /(/“ ?*?(?/)) длявсех у ? Y.

Еслиестьдваотображения f: X —> У и g: Y -Л Z. топравилом gf(x) = g(f(x)) определеноотображение f: X —tZ, называемое композицией отображений f и д или сложным отображением.

Если X и У - двачисловыхнепустыхмножества , тоотображения X —> У называются функциями (отоднойпеременной ).

Простейшимиэлементарными функцияминазываются показательная функция а^х, логарифмическая функция log_a х, степенная функция у = х^а, тригонометрические функции sin ж, cos, t g?,ctg ж, обратныетригонометрические функции arcsin ж,arccos ж, а г с t^arcctg ж. Элементарными функцияминазываютсявсефункции , получающиесяиз постоянных, показательных, логарифмических, степенных, тригономстри-ческихиобратныхтригономстрическихфункцийспомощьюоперацийсло жения, вычитания, умножения, деленияикомпозиции . Всеостальныефун -кцииназываются неэлементарными.

Например.arcsino ^Зс - элсмснтарнаяфункция . афункция /(ж), где У(ж) = 1 при ж ? Q и /(ж) = 0 при ж ? R Q, неэлементарна.

Функция у = /(ж) называется нечетной, если /(—ж) = —/(ж) длявсех ж ? D(f), причемпредполагается , чтообластьопределения D(f) функции /(ж) симметричнаотносительноначалакоординат (т.е. —ж ? D(f) для всех ж ?

Функция у = /(ж) называется четной, если /(—ж) = /(ж) длявсех ж ? D(f) иобластьопределения симметричнаотносительноначалакоординат . Функция у = /(ж) называется периодической, еслисуществуеттакоечисло Т > 0, что ж + Т ? D(f) длявсех ж ? D(f) и /(ж + Т) = /(ж) длявсех ж ? D(f). Например,cos ж - четнаяпсриодичсскаяфункция , s i и, t ge и etg ж - нсчетныспериодическиефункции .

Функция /’(ж) называется строгоеозрастающей нанекоторомчисловом множестве D, если У(Ж1) < У(Ж9) ДЛЯВССХЧИССЛ Ж1 < Ж2 из D.

Функция У (ж) называется стр огоу бывающей на D, если У(ж1) > У(жо) для всехчисел Ж1 < Ж2 из D.

Функция У (ж) называется неубывающей на D, если У(ж1) < У(жг) длявсех чисел Ж‘1 < Ж2 из D.

Функция У(ж) называется невозрастающей на D. если У(ж1) > У(жг) для ВСеХЧИСеЛ Ж1 < Ж2 из D.

Функция у = У(ж) называется ограниченной намножестве X, еслимножес -твоеезначенийпри ж ? X ограничено, т.е. существуеттакоечисло М > О, что |У(ж)| < М длявсех х Е X.

Функция у = f(x) называется ограниченнойпри ж —> жо, если У (ж) ог-раниченананекоторойпроколотойокрестноститочки жо, т.е. существу-юттакиечисла O > U и М >0, что |У(ж)| < М длявссхтаких ж, что 0<|ж — Жо|<<^. Вэтомслучаебуде

X—

Число А называется пределом, функции У(ж) пристремлении ж к ч и с л.'/yj. если длялюбогочисла е > 0 найдетсятакоечисло д > 0. что

|У(ж) — А < є для всех х из проколотой 8-окрестности точки жо; в этом случае пишут Пт /(ж) = А.

Х->Х₀

(Заметим, что неравенство |/(ж) —Л| < ? равносильно тому, что /(ж) отличается от А меньше чем на ? для всех х Жо, отличающихся от Жо меньше чем на д', т.е. А — є < /(ж) < А + б) для всех таких ж, что 0 < |ж — Жо| < д'.) Число А называется правосторонним пределом функции /(ж) при стремлении ж к числу жо справа, если для любого числа є > 0 найдется такое число д' > 0, что |/(ж) — Л| < є для каждого такого ж, что 0 < ж — Жо < 8; в этом случае пишут Пт /(ж) = А.

Х->Х₀ +

Число А называется левосторонним пределом, функции /(ж) при стремлении ж к числу жо слева, если для любого числа ? > 0 найдется такое число д' > 0, что |/(ж) — Л| < є для каждого такого ж, что 0 < жо — ж < д; в этом случае пишут Ііт /(ж) = А.

Х-?Х₀-

Непосредственно проверяется, что

существование предела Пт /’(ж) = А равносильно тому, что оба Х—ЬХо

односторонних предела Пт /(ж), Пт /(ж) существуют и равны .т-Эа^о + х—> ха-

ННСЛу А.

Число А называется пределом функции /(ж) при ж —> ос, если для любого числа е > 0 найдется такое число N > 0, что |/(ж) — А| < ? для каждого такого ж, что |ж| > -/V; в этом случае пишут Пт /(ж) = А.

Х—УОО

Число А называется пределом, функции /(ж) при ж -4- +оо, если для любого числа ? > 0 найдется такое число N > 0, что |/(ж) — А| < ? для каждого такого ж, что ж > ТУ: в этом случае пишут Пт /(ж) = А.

.т-э+оо

Число А называется пределом функции /(ж) при ж —>• —ос, если для любого числа ? > 0 найдется такое число N > 0. что |/(ж) — А| < ? для каждого такого ж, что ж > N (—х > ДГ); в этом случае пишут Пш /(ж) = А.

X—> — оо

Функция ск(ж) называется бесконечно малой функцией при ж —> жо, если Пт ск(ж) = 0; в этом случае пишут ск(ж) = о(1).

X—>Х₀ .Г—>.Го

Функция ск(ж) называется бесконечно малой при ж ос, если Пт ск(ж) = 0;

X—>оо

в этом случае пишут а (ж) = о(1).

ат—>оо

Непосредственно проверяется, что

функция ск(ж) бесконечно мала при ж —> жо <=>

функция |ск(ж)| бесконечно мала при ж -4- жо <=>

для любого числа ? > 0 найдется такое число 8 > 0, что |ск(ж) | < ?

для каждого такого х, что 0 < |ж — жо| < д'.

Если функции ск(ж) и /3(ж) бесконечно малы при ж -4 жо и Пт ——- = 1, то х-^х₀ р(ж)

а (ж) и /5(ж) называются эквивалентными при ж —> жо бесконечно малыми функциями, и в этом случае пишут ск(ж) ~ /3(ж).

Х—?Хо

Функция /(ж) называется бесконечно большой при ж -4 жо, если для любо

го числа М > 0 существует такое число д' > 0, что |/(ж)| > М для всех таких ж, что 0 < |ж — жд| < 5; в этом случае пишут lim /(ж) = оо.

.-Г-ЭЯТо

Функция /‘(ж) называется бесконечно большой при ж жо+, если для любого числа М > 0 существует такое число 6 > 0, что |/(ж)| > М для всех таких ж, что 0 < ж — Жд < д'; в этом случае пишут lim /(ж) = оо.

X—?Xq +

Функция /(ж) называется бесконечно большой при ж —> Жо —, если для любого числа М > 0 существует такое число S > 0, что |/(ж)| > М для всех таких ж, что 0 < Жд — х < д'; в этом случае пишут lim /(ж) = оо.

X —нг₀ —

Функция /(ж) называется бесконечно большой при ж —> оо (соответственно при ж -4- +оо, при ж —оо), если для любого числа М > 0 существует такое число N > 0, что |/(ж)| > М для всех таких ж, что |ж| > N (соответственно ж > IV, —ж > N).

Функция /(ж) называется положительной бесконечно большой при

ж —оо (соответственно при ж -4 +оо, при ж -4 —оо), если для любого числа М > 0 существует такое число N > 0, что /(ж) > М для всех таких ж, что |ж| > N (соответственно ж > 7V, —ж > IV).

Функция /(ж) называется отрицательной бесконечно большой при ж —> оо (соответственно при ж -4 Too. при ж -4- —оо), если для любого числа М > О существует такое число N > 0, что — /(ж) > М для всех таких ж, что |ж| > N (соответственно ж > IV, —ж > N).

Функция /(ж) называется непрерывной в точке жд, если предел lim /(ж)

Х^-Хо существует и равен числу /(Жд).

1.1.2. Если f( ж) = С - постоянная функция, то lim /(ж) = С для любой

X —?Xq

точки жд. Поэтому все постоянные функции непрерывны.

<1 Возьмем любое число е > 0. Тогда |/(ж) —С| — 0 < е для всех ж и поэтому lim /(ж) = С. d>

Х-^-Хо

Обозначая через Аж приращение ж — Жд переменной ж в точке Жд и через Ау приращение /(жд + Аж) — /(жд) функции у = /(ж) в точке ж, получим следующую переформулировку определения непрерывности:

функция у = /(ж) непрерывна в точке жд в точности тогда, когда Нт А у = 0.

Д.г->0

Можно доказать, что каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

1.1.3. Ограниченность функций, имеющих предел.

Если Пт /’(ж) = А Е К, то /’(^ж) ограничена при ж -4- жд. Если А 0, то т->.т₀

функция 1//’(ж) тоже ограничена при х х$. В частности, бесконечно малые при X -4- Жд функции ограничены при X -4 Жд.

< Положим е = 1. Так как существует Нт /(ж) = А, то найдется такое X—

д' > 0, что А — 1 < /(ж) < А + 1 для каждого такого ж. что 0 < |ж — Жд| < д'. Поэтому /(ж) ограничена при ж —> а. Второе утверждение доказывается аналогично при е = |у4|/2. о

1.1.4. Если функция /(ж) непрерывна в точке жд, то ограничена при X -4 Жд.

<1 1.1.4 следует из 1.1.3 и того, что функция, непрерывная В Жд, имеет предел при Ж —> Жд. О

• 1.1.5. Произведение а(ж)-/(ж) бесконечно малой при х —> хо функции а(ж) на ограниченную при х —> Жо функцию /(ж) бесконечно мало при ж —> Жо-<1 Так как /(ж) ограничена при ж —> Жо, то существуют такие числа > 0 и М > 0, что |/(ж)| < М для всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < ?1- Возьмем любое ? > 0. Так как а(ж) бесконечно мала при ж —> жо, то существует
• ?

такое > 0, что |а(ж)| < — для всех таких ж, что 0 < |ж — Жд| < ?2« Обозначим через 5 наименьшее из чисел ?1 и ?2- Для всех таких ж, что ?

0 < |ж — жо| < б, получаем |а(ж)/(ж)| = |а(ж)| • |/'(ж)| < — • М = є. Поэтому а(ж)/(ж) = о(1). >

;г-»я:о

1.1.6. Пусть функция ск(ж) бесконечно мала при ж —>? Жо- Если функция /(ж) имеет предел в точке жо (это так, например, если /(ж) непрерывна в жо или бесконечно м.ала при х -4 хо), то функция а(х) -/(ж) бесконечно мала при х -4- жо.

В частности, произведение бесконечно малой при ж —> жо функции на постоянную функцию бесконечно мало при ж —>• жд.

<1 1.1.6 следует из 1.1.5, 1.1.3 и 1.1.2. >

1.1.7. Пусть С - число и существует предел Ііш и(х) = А. Тогда предел

х—

Ііш С • и(х) существует и равен С • А. В частности, если функция «(ж) X —

непрерывна в точке хо, то функция С • и(х) тоже непрерывна в точке ж₀.

<1 Так как Пт и(х) = А, то и(х) = А + а(ж), где ск(ж) бесконечно мала при X —>То

ж —> Жо- Тогда

С • и(х) = С-А + С • а(х), где в силу 1.1.6 функция С • а(х) бесконечно мала при ж -4 Жо- Поэтому Пт С ? и(х) = С • А. >

X —

1.1.8. Если существует Пт у(ж) = В ф 0, то предел Пт ——- сущест-

х^-хо х->х₀ и(х)

1

вует и равен В частности, если функция 1?(ж) непрерывна в точке жо

и у(жо) 0, то функция ——- тоже непрерывна в точке жо--у(ж)

<1 Так как Пт ж(ж) = В, то -у(ж) = В +/3(ж), где (3(х) бесконечно мала при X —УХо

х —> жо- Тогда

1 1 В - -У(Ж) ¹ 1 1 Р 1 1 О ж ¹ /Э/

~ГТ ~ ~Б⁼ I ~ в ( в(^хВ ^гД^{е в СИЛ}У 1-1.6 ^{и 1}-¹-³ Функция /3 ж

-у(ж) В Ви(х) Ви(х) Ви(х)

,.11

бесконечно мала при ж -4- жд. Поэтому пт ——— = —. о х^х₀ и(х) В

1.1.9. Сумма конечного числа бесконечно малых при ж -4 жо функций, домноженных на любые имеющие предел при х -4 жд (например, постоянные) функции, - бесконечно малая при ж -4- жо функция.

<1 В силу 1.1.6 достаточно доказать, что сумма двух бесконечно малых при ж —> жо функций а (ж) и /0(ж) бесконечно мала при ж -4 Жд. Возьмем любое ? > 0. Так как а (ж) и /5(ж) бесконечно малы, то существуют такие ?>1,^2 > 0. что |а(ж)| < — для всех ж с условием 0 < |.ж — Жд| < ?1 и |/?(ж)| < - для всех Ж С условием 0 < |ж — Жо I < Пусть д = 11Ш1{д'1, ?2}. Для всех ж с усло-? ? вием 0 < |ж — жо| < д получаем |а(ж) + /3(ж)| < |ск(ж)| + |/?(ж)| < —|— = ?.

Поэтому о(ж) + /3(х) — о(1). t>

X—^Xq

1.1.10. Пусть существуют пределы lim д(ж) = A u lim г(ж) = В. Тогда

X —X—УХ$

существуют пределы lim (гг(ж) + v(®)) = А + В.

х^х₀

и(х) А

lim (и(х) • v(x)) = А • В, lim ——- = — (при В ф 0).

.r->a-₀ VX} В

<1 Так как lim и(х) = А и lim v(x) = В, то существуют разложения X—УХ^ Х-У-Xq

и(х) — А + а(ж) и ж(ж) — В + /3(ж), где функции а(ж) и /3(х) бесконечно малы при х —> xq- Тогда [д(ж) + ж(ж)] — (А + В) = а(ж) + /3(х), где в силу 1.1.9 функция а(х) + /3(х) бесконечно мала при х xq. Поэтому lim (и(х) + v(x)) = А А В. Далее,

х->х₀

-и(ж)д(ж) — АВ = (А + о(ж))(В + /3(ж)) — АВ — ск(ж)у(ж) + А/3(ж),

где в силу 1.1.9 функции а(ж)ж(ж) и А/3(ж) бесконечно малы при ж —> жо-Поэтому lim {?(ж)у(ж) = А • В. Если В ф 0, то в силу 1.1.8

,Г->.Го

г ^{1 1} г ¹ л ^{1 А}

lim ---= —. откуда lim и— = А— = —. >

х-)-х₀ v(x) В .г->.г₀ v В В

• 1.1.11. Для непрерывных в точке жо функций д(ж), ж(ж) функции гг(ж) +
• (Ж )
• ?у(ж). u(x)v(x), а также (при ж(ж'о) ф 0) —г непрерывны в Xq.

v(x)

<1 1.1.11 следует из 1.1.1U. о

1.1.12. Замена бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть а(ж) и (д(х) - эквивалентные бесконечно малые при ж —> жо функции и существует предел lim [Д(ж)/(ж)] = А. Тогда предел lim [а(ж)/(ж)] х—х-^-Хо существует и равен А.

< А = lim J- lim [/3(ж)/(ж)] = lim ^|/3(ж)/(ж) = lim [а(ж)/(ж)]. о x—^xq /Д Ж) х->х₀ Х^-Хо X—УХо

1.1.13. Переход к пределу под знаком непрерывной функции.

Пусть функция и = <у?(ж) такова, что существует предел lim у?(ж) = (?о Х-У-Xq

и у = f(u} - непрерывная в точке uq функция. Тогда предел lim /(^(ж)) я:-э.го существует и равен /(до)«

<1 Возьмем любое е > 0. Так как f (и) непрерывна в точке uq, то найдется такое d > 0, что |/(w) — f(wo)| < ? Д^ля всех таких и, что 0 < |д — «о| < д. Так как lim у’(ж) = uq. то найдется такое O > 0. что |у?(ж) — iiq| < d для а?->.г₀

всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < д. Поэтому |/(ля всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < д, т.е. lim /(|/?(ж)) = f(uo)- >

Х—?Хо

1.1.14. Непрерывность сложной функции. Если и = <р(х) - непрерывная в точке жо функция и у = f(u) - непрерывная в точке uq = ^(®о) функция, то сложная функция у = /((ж)) непрерывна в точке xq.

<1 1.1.14 следует из 1.1.13 и определения непрерывной функции, о

1.1.15. Переход к пределу в неравенствах.

Пусть lim и(ж) = A, lim и(ж) = В, гд(ж) < -у(ж) для всех х из некоторой х—УХ о Х—УХо

проколотой д-окрестности точки xq. Тогда А < В.

_Л ^А~^в

<1 Допустим, что А > В. Положим е — —-— > 0. Из условия и равенств

Пт и(х) = А и Пт г;(ж) = В следует, что найдется такое ?1 > 0, что х —> я; о х—> .т о

?1 < 6 и для всех таких ж, что 0 < |ж — жо| < ?1, верны неравенства

д(ж) < д(ж),

А — е < 'д(ж) < А + б,

В — е < -у (ж) < В + е.

Поэтому А--< и (ж) < у (ж) < В Н--для всех рассматриваемых

А + В ² А + В

х. Тогда —-— < —-—. что невозможно. >

• 2 2 ’
• 1.1.16. Предел промежуточной функции. Пусть функции /(ж), д(ж), •у(ж) таковы, что д(ж) < /(ж) < -у(ж) для всех х из некоторой проколот,ой окрестности точки Жо и Пт и(х) = Пт -у(ж) = А. Тогда Нт /(ж) = А.

Х-Ь-Х о Х—^Хо Х—^Хо

<1 Из условия и равенств Пт а (ж) = Аи Пт -у (ж) = А следует сущсствова-X—X —>Хо

ние такого д'1 > 0, что ?1 < ?и для всех ж, удовлетворяющих неравенствам 0 < |ж — жо| < ?1, верны неравенства

и(ж) < /(ж) < у(ж), А — е < и(х) < А + ?, А — е < -у(ж) < А + е.

Поэтому А — е < /(ж) < Д + г для всех таких ж, что 0 < |ж — Жо| < ?1- Тогда Пт /(ж) = А. >

Х-)-Хо

1.1.17. Сохранение знака функции, имеющей предел. Если существует предел Пт /(ж) = А / 0, то для любого ж из некоторой проколотой

Х—^Хо

окрест,ноет,и Жо знак числа /(ж) совпадает со знаком числа А.

<1 Так как А 0, то либо А < 0, либо А > 0. Рассмотрим только случай А < 0, так как случай А > 0 рассматривается аналогично. Обозначим через в число |Д/2| > 0. Тогда А + ? < 0. Из определения предела следует существование такого числа д > 0, что А — ? < /(ж) < А + ? < 0 для всех Ж ИЗ проколотой ?-окрестности ТОЧКИ Жо. >

1.1.18. Сохранение знака непрерывной функции. Если функция /(х)

непрерывна в точке жо и /(жо) / 0, то для любого ж из некоторой проколот,ой окрестности жо знак числа ф[х) совпадает со знаком, числа /(жо). <1 1.1.18 следует из 1.1.17 и того, что Пт /(ж) = /’(^жо) 0. >

X х ?

Функция /(ж) называется непрерывной справа в точке ж₀, если правосторонний предел Пт /’(ж) существует и равен числу /’(жо).

ж-ю:о +

Функция /(ж) называется непрерывной слева в точке жо, если левосторонний предел Пт /(ж) существует и равен числу /(жо).

х—>Хо —'

Из определений предела и односторонних пределов следует, что

непрерывность функции /(ж) в точке жо равносильна тому, что /(ж) непрерывна справа и слева в точке жо-

Из определений предела и бесконечно малой функции следуют следующие утверждения, называемые асимптогпическим разложением функции, имеющей предел, и асимптотическим разложением непрерывной функции'.

Пт /(ж) = А в точности тогда, когда /(ж) = А + о(1); х—?Хо я:—>я?о

У(ж) непрерывна в точке Xq в точности тогда, когда

'f (x) = У(®о) + о(1) .

X —>Я?О

Точки разрыва. Если функция У(ж) не непрерывна в точке Жо, то точка Жо называется точкой разрыва функции /(ж), и говорят, что /(ж) разрывна в точке жо, и возможны в точности три приведенных ниже случая.

lim У (ж) существует, но не равен /(жо), X—?Xq

т.е. оба односторонних предела lim У(ж) и lim /(ж) существуют.

X—>Хо+ Х-^Хо —

конечны и совпадают, но не равны У(жо).

В этом случае точка жо называется точкой устранимого разрыва для /(ж) и функцию У (ж) можно сделать непрерывной в жо, если положить по определению

У(ж₀) = lim У(ж) = lim У(ж). х—>а?о+ x—^-Xq —

Оба односторонних предела lim У(ж) и lim У(ж) существуют, ко-с—>Со + х—ко

нечны, но не равны между собой.

В этом случае жо называется точкой разрыва первого рода для У(ж).

Хотя бы один из односторонних пределов lim У (ж) и lim У (ж) нс х—>.Го + ' х—»Со

существует.

В этом случае жо называется точкой разрыва второго рода для У(ж).

На приведенном ниже графике функции у = У(ж) Жо - точка устранимого разрыва для У(ж), Ж1 - точка разрыва первого рода для У(ж), Ж2 и жз -точки разрыва второго рода для У (ж).

Если имеется некоторое множество чисел х_п, перенумерованных натуральными числами п = 1,2, •• •, то говорят, что задана (числовая) последовательность {ж_ет}_{п = 1}.

Говорят, что последовательность {ж_п}^°₌₁ имеет предел, равный числу А. если для любого числа є > 0 существует такой номер N, что |ж„ — А| < є для всех п, начиная с номера N. В этом случае также говорят, что {ж_п}^^с_₁ сходится к числу А. и пишут

Ит ж„ = А или х_п ^п—-э А.

п—>оо

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Если {а_п } - последовательность и для любого числа М > 0 найдется такой номер N € N, что |a_n| > М для всех п > JV, то говорят, что последовательность {а„} стремится к бесконечности и пишут lim а_п = оо. п—>оо

Последовательность называется неубывающей (невозрастающей),

еСЛИ Xk < х_п (жд- > х_п) для всех k < п.

1.1.19. Сходимость ограниченных монотонных последовательнос

тей. Каждая ограниченная сверху (снизу) неубывающая (невозрастающая) последовательность имеет предел.

<1 Докажем только сходимость ограниченной сверху неубывающей последовательности {ж„}^__х, поскольку второе утверждение доказывается аналогично. Пусть X — множество всех элементов последовательности. В силу аксиомы о точной верхней грани множество X имеет точную верхнюю грань А. Возьмем любое число е > 0. Так как число А — е нс является верхней гранью для X, то существует такой номер N, что А — е < х^. Так как Xk < х_п для всех k < п, то А — е < х_п для всех п, начиная с номера N. Тогда |ж„ — А| = А — х_п < е для всех п, начиная с номера N. Поэтому lim х_п = А. >

П —>0С

• 7Г
• 1.1.20. Замечание. Для всех таких чисел х, что 0 < |ж| < —, верны

о sin ж

неравенства 0 < cos ж < ---- < 1.

ж 7Г

<| Допустим сначала, что 0 < ж < —. На окружности радиуса R с центром в точке О выберем точки А тл В так, чтобы А АО В = х. Соединим точки А и В отрезком и на луче О В выберем такую точку С, чтобы отрезки О А и АС были перпендикулярны.

Так как площадь ДО АВ меньше площади кругового сектора О АВ. которая меньше площади ДО АС, то —В²Апх < -Д²ж < —В²1^х„

sin ж ж 1 sin ж

sin ж < ж < ----, 1 < —--- < ----. О < cos ж < ----< 1.

cos ж sin ж cos ж ж

Sin ж

Так как cos ж и--четные функции, то неравенства

ж

sin ж 7Г

О < cos ж < ---- < 1 верны для всех таких ж, что 0 < ж < —. >

ж ' 2

1.1.21. Замечание. | sin ж | < |ж| для всех чисел х.

<1 Неравенство | зіпж| < |ж| верно при |ж| > — > 1 > |зіпж|. Если |ж| = 0,

Sill X

Sill X

< 1, откуда | sin ж | < |ж|. о

1.1.22. Функции sin ж и cos ж непрерывны в каждой точке.

< В силу 1.1.21

. Аж

sm--

2

I сов(ж + Аж) — cos ж| =

Аж

. Поэтому

_ . Аж . / Аж

• — 2 sm sm ж Н--
• 2 V 2 J

Аж

~2~

= I Аж|, откуда

lim (cos(ж + Аж) — cos ж) = 0 и функция cos ж непрерывна. Непрерывность Д.г->0

функции sin ж доказывается аналогично непрерывности cos ж. >

• 7Г
• 1.1.23. Функция tgж непрерывна для всех ж у? — + яп (п Е Z), функция ctg ж непрерывна для всех ж у^ тгп (n ? Z).
• 7Г „

Пусть жо ф — + тгп (n Е Z). Тогда cos жо Оив силу 1.1.22 функции sin ж sin ж

COS Ж непрерывны В точке Жо- В силу 1.1.11 функция tg.T — ---- непре-

COS ж

рывна в точке жо- Аналогично доказывается, что функция ctg ж непрерывна

во всех точках жо / тт (п ? Z). о

1.1.24. Теорема. Первый замечательный предел.

sin ж

11Ш ----- = 1, Т.е. Sill ж ~ ж.

х —>0 Ж х—>0

<1 В силу 1.1.22 функция cos ж непрерывна. Поэтому lim cos ж = cos 0 = 1.

х—>о

Кроме того, в силу 1.1.20 cos ж < ---- < 1 для всех таких ж, что

ж

n I I / ^% о 1 1 1Г г ^sinx 1

О < ж < —. В силу 1.1.16 lim ----= 1. о

^{1 1} 2 а?—»0 Ж

tg ж

1.1.25. lim — = 1. #-»0 Ж

tg ж sin ж 1

< 11111 ----- = 11111 ------ • 11111 ------ = 1. о

х-»0 ж а?-»0 ж ж-»0 COS Ж

„ „ _ .. 1 — cos ж

1.1.26. hm----₃---= 1.

#->0 Ж“

• 2
• 1 — cos ж 2sin²(®/2)

< hm-—— = hm--—-=

а?->о ж-/2 .г—>о ж“/2

агсзтж

1.1.27. lim-------= 1.

®->о ж

<1 Если у — arcsin#, то т/ —У О при ж —> 0. Из 1.1.24 и

у агсзшж arcsin ж

1 = hm —— = hm —— --;--- = hm-----. >

y->osm?/ .r->o sm(arcsm ж) х-ю ж

8ш(ж/2) 11111--------------

.т—>о ж/2

= 1. о

1.1.8 следует, что

„ „ arctgx

1.1.28. hm---— - 1.

.г->0 Ж

<1 Если у =

• 1 г У
• 1 = 11111----

tg y

al?ctgж, то у —> 0 при ж —У 0. Из 1.1.25 и 1.1.8 следует, что arctg ж arctg ж

= hm------= hm----

?r-m tg(arctg ж) х-4-0 ж

1.1.29. Бином Ньютона. Для каждого натурального числа п

п піп — 1) , її^{ж +} 2! ^Ж

^ж^п-^[1] + ж^п

п

Л

(п-к)1кГ

к=о ^{v 7}

<1 Ясно, что доказываемое равенство (*) верно при п = 1. Допустим, что (*) верно для какого-то конкретного значения п. Теперь достаточно доказать,

что (1 + ж)

• -г J- I: г.
• ---------77777 Ж • Имеем

_к=0 (^+1-

и» к |

(п-к)1к'^{Х +}

Е'** &4-1 і к к

_А__о (n-k)lkl^{X = +} (п-ку.кі^{х +} (п + 1 — &)!(& - 1)!^{Ж +}

п!(п + 1 — к) (п +1 - к)1к1

пік

(п +1 - к)1к1

• (п + 1)!
• (п +1 - к)1к1

• (^п+1>^!
• (п + 1 - &)!&! '
• 1.1.30. Теорема. Второй замечательный предел. / 1 ^п

Существует предел lim 1 4--= е ? [2,3].

«.->? +ос у nJ

п

(п = 1,2, • • •). Применим доказанную в 1.1.29

<1 Обозначим х_п

• 1 -2---А;
• 1 ! п(п — 1) (п — 2) п^{7 +} 1-2-3

1) • • • (п — к J- 1)

J_ , , ^п(^п~ М •••(!)

п^к 1•2 • ••п

• 1
• 3!

При переходе от п к п + 1 в сумме из правой части (*) число слагаемых возрастает, каждое слагаемое положительно и, начиная с третьего, уве-

S S

личивается, поскольку 1--<1--. Поэтому 2 < х_п < ж_п_|_1, п =

п п + 1 s 11

3. 4, • • - . Так как в (*) каждая из скобок вида 1--меньше 1 и — < ---г.

n n! 2'^{1 1}

то

• 11 111 1 1 2<ж_п<2 + — + — 4-----|- — < 2 + - 4---F----1--г =2 + 1--- < 3,
• 2! 3! п! - 2 4 2”"¹ 2”“¹

последовательность {ж„ }^°₌₁ ограничена сверху, возрастает и поэтому имеет предел, обозначаемый через е. Из 1.1.15 следует, что 2 < е < 3. >

Замечание. С помощью 1.1.30 можно доказать, что Пт (1 + ж) ‘ = е.

х—>0

Итак, существуют пределы

1І111 п —>-|-оо

= С,

1І111 (1 + ж)¹/’* = е, ж->0

каждый из которых называется вторым замечательным пределом, причем можно доказать, что е - иррациональное число, е 2,718281828459045 -основание натуральных логарифмов.

• 1п(1 + ж)
• 1.1.31. lim —------ = 1.

Ж

<1 Используя непрерывность функции In ж и переход к пределу под знаком непрерывной функции (см. 1.1.13), получаем

lim —( ——- = lim 1п(1 + ж)^1//,г = In (lim (1 + ж)^1у/а;>) = Ine = 1. > ж—>0 Ж х —>0 .г—>0 /

1.1.32. П_т¹⁰«"<^{1 + 3}’> = 1.

я-»о ж/ hi а

<1 Используя свойства логарифмов и 1.1.31. получаем

lim bg«(l + »)

In а

1п(1 +ж) 1п(1 +ж) = 11111-------~-- = 11111 ----------- = 1. t>

а+- ^х

In а

1.1.33. lim-----= 1. В частности, lim-----= 1.

х->о ж In а х->0 ж

< Если у = а^х — 1. то у —> 0 при ж -+ 0 и ж = log_a(l + у). Из 1.1.32 и 1.1.8 , Г у V ^аХ - ¹

следует. ЧТО 1 = 11111 ;-----------—--- = 11111 --:---. О

у—*о log_a(1 + у) hi а ж-Щ ж In а

<1 Обозначим у — а-111(1 +ж). Тогда у -Л 0 при ж —У 0, (1 + ж)^а = е^у, х = е^у'^а.

Из 1.1.33 и 1.1.10 следует, что

,. (1 + ж)«-1 е^у-1

е^у - 1

= 11111 -------

у->° у

? lim

у-»0 е^у1^а - 1

11111 --------------- = 11111 —7---7------7

х-+о ах у->о а е^у'^а — 1)

1.1.35. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.

Если функция /(ж) непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь], то /(ж) ограничена на [а, 6], т.е. найдутся такие числа т и М. что т < /(ж) < М для всех х Є [а, 6].

<1 Допустим, что /(ж) не ограничена на [а, Ь]. Разделим отрезок [а,Ь] пополам на два отрезка. Хотя бы на одном из "половинных" отрезков функция /(ж) не ограничена. Обозначим один такой отрезок через [«і, 6і]. Разделим отрезок [ді, 61] пополам на два отрезка и снова найдем ’’половинный" отрезок [«2,62]. на котором /(ж) не ограничена. Продолжая действовать так. получим бесконечную убывающую цепь вложенных отрезков

[«1.61] 7) [«2-^2] Э •••[«п,6_п] Э - По лемме 1.1.1 о вложенных отрезках найдется точка с Є [а_п, 6„]. Так как /(ж) непрерывна в точке с, то в силу 1.1.3 найдется такая окрестность д'(с) точки с, что /(ж) ограничена на д'(с). Так как длины отрезков [а_ге,6_я] стремятся к нулю, то найдется такое п, что [а_п, Ь_п] С д'(с). Из ограниченности /(ж) на д'(с) следует ограниченность /(ж) на [а_п,Ь_п], и получаем противоречие. >

Замечание. Можно доказать, что в рассматриваемое в утверждениях 1.1.35-1.1.38 условие непрерывности функции /(ж) в каждой точке отрезка [а,Ь] можно слегка ослабить: достаточно предполагать, что /(ж) определена на [а, Ъ], непрерывна в каждой точке интервала (а, 6), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ъ.

1.1.36. Теорема Вейерштрасса о достижении функции, непрерывной на отрезке, своих наименьшего и наибольшего значений. Если функция У(ж) непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь], то /(ж) достигает на [а, Ь] свои наименьшее и наибольшее значения, т.е. найдутся такие точки Ж1,Ж2 Е [а, Ь], что /(ж1) < /(ж) < /(жг) для всех ж ? [а, Ь].

о Пусть У - множество всех значений функции /(ж) на отрезке [а, Ъ. В силу 1.1.35 множество У ограничено. Кроме того, каждое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Поэтому найдутся такие числа М± и М-2, что М± < /(ж) < М2 для всех ж Е [а, Ъ] и любое число, меньшее М2, нс является верхней гранью для У и любое число, большее М1, нс является нижней гранью для У.

Докажем, что найдется такая точка Ж1 Е [«, Ь], что /(Ж1) = М^. Допустим, что такой точки Ж1 нет. Тогда знаменатель дроби 1/(/(ж) — М±) не равен нулю для всех ж ? [а, Ь]. Поэтому функция 1/(/(ж) — М1) непрерывна на отрезке [а, Ь]. В силу 1.1.35 функция 1/(/(ж) — 7111) ограничена на отрезке [а, Ь. Тогда существует такое число N > 0, что 0 < 1/(/(ж) — 7111) < ТУ для всех ж Е [а, Ь]. Поэтому /(ж) — 7111 > 1/7Г для всех ж Е [а, Ь]. Тогда /(ж) > 7111 + 1 /ТУ > 7111 для всех ж Е [а, Ь]. Это означает, что 7111 не является точной нижней гранью для У и приходим к противоречию. Поэтому найдется такая точка Ж1 Е [а, Ъ]. что /(Ж1) = М±.

Аналогично доказывается существование такой точки жг ? [а. Ъ], что /?(жз) = М2; надо только расмотреть функцию 1/(7112 — /(®)). >

1.1.37. Теорема об обращении в ноль непрерывной функции.

Если функция /(ж) непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь] и < <1 Разделим отрезок [а, Ь] пополам на два отрезка. Если / I —-— I = 0, то

О, то найдется хотя бы одна такая точка с Е что /(с) = 0.

положим с

из отрезков

. Если /

0, то обозначим через [«і,Ьі] тот

, ДЛЯ которого /(<Х1)У(&1) < 0. Повторим

указанные выше действия для отрезка [<ц, ?>і]: разделим отрезок [«і, 6і] по-/сії + _г ,

полам на два отрезка и в случае / I ------- I ус 0 обозначим через [«2, "з]

ТОТ ИЗ полученных отрезков, ДЛЯ которого /(«г)/^) < 0. Продолжая дсйс-

твовать так, мы либо получим искомую точку, в которой /(ж) обращается

в ноль, либо получим такую бесконечную убывающую цепь вложенных от

резков [«1, ?>1] э [«2? &з] Э • • • [«п» Ъ_п] Э • • • , ЧТО /(«_п)/(&«) < 0 для всех п. По лемме 1.1.1о вложенных отрезках найдется точка с Е П«^1 [^а»> Ъ_п]. Если

/(с) = 0, то все доказано. Допустим, что /(с) > 0 (случай /(с) < 0 рассматривается аналогично). Так как /(ж) непрерывна в точке с, то в силу 1.1.18 (сохранение знака непрерывной функции) найдется такая окрестность 6(с) точки с, что /’(ж) > 0 для всех х Е ?>'(с). Поскольку длины отрезков [а_п,6_п] стремятся к нулю, то найдется такое п, что [а_п, Ь_п] С ?(с). Тогда /(^ап)/(^п) > 0 и получаем противоречие. >

1.1.38. Теорема о достижении непрерывной функцией своих промежуточных значений. Если функция непрерывна на отрезке [а,Ь] и /(«1) < М < /(жз), '?де Ж1, жз € [а, Ь], то между точками х± и жг найдется хотя бы одна такая точка с, что /(с) = М.

<1 Если Ж1 < Ж2, то обозначим через [а, /3] отрезок [ж1, ж2]. Если ж2 < Ж1, то обозначим через [ск.Д] отрезок [жч, ж_х]. На отрезке [о,/3] рассмотрим непрерывную функцию у?(ж) — Дж) — М. Тогда

<р(К)<р(0) = (/(«) - М)(/(0) - М) < 0.

В силу 1.1.37 (обращение в ноль непрерывной функции) найдется такая точка с Е (ск,/3), что 0 = у?(с) = /(с) — М. Поэтому /(с) = М. о

• [1] формулу бинома Ньютона к числу ж = —. Получим п