Глава 1. Основы теории множеств

159

§9.1. Меры Лебега-Стилтьеса. Дополнение 459

• § 9.2. Интеграл Лебега-Стилтьеса 470
• § 9.3. Интеграл Римана-Стилтьеса. Дополнение 480
• § 9.4. Несимметричная теорема Фубини 499

Упражнения 509

Список литературы 511

Предметный указатель 515

Предисловие

Читатель! Вы наверняка обратили внимание на то, что многие учебные пособия по математике начинаются с изложения основ теории множеств. II такое построение пособий, конечно, не случайно, поскольку математические объекты изучаются не как индивидуумы — каждый в отдельности, а как члены классов или совокупностей, зачастую содержащих бесчисленное множество элементов одного и того же типа; таковы, например, совокупности натуральных чисел, многочленов, прямых на плоскости и т.д.

Нс стала исключением и наша книга: ее первые четыре главы посвящены множествам. Однако нами намеренно включено в них гораздо больше материала, чем это требуется для изучения основ теории функций. Этим мы хотим помочь молодым преподавателям читать курс теории множеств, который в ряде университетов составляет отдельный предмет.

В пятой главе изложены основы теории меры. Первый шаг па пути развития этой теории в 1898 году сделал Бо-рель,^[1] а в 1902 году Лебег видоизменил его определение так, что оно стало применимо к более широкому классу множеств. В настоящее время существует несколько подходов к изложению теории меры. Мы в основном придерживаемся на этот счет точки зрения А.Н.Колмогорова [23|.

Шестая глава посвящена интегралу, введенному Лебегом и прославившему его имя. Среди многочисленных путей изложения теории этого интеграла, мы, как и в предыдущей главе, следуем А.Н.Колмогорову.

Седьмая глава отдана весьма важному классу функций ограниченной вариации и тесно связанному с ним обобщению интеграла Римана интегралу Римана-Стилтьеса. Открытый Т.Стилтьесом ^[2] в конце 19-го века и поначалу неоцененный, он приобрел новую жизнь в первой половине 20-го века в связи с развитием функционального анализа и появлением различных приложений, где этот интеграл стал широко использоваться. В этой же главе изучается и неопределенный интеграл Лебега, позволяющий установить весьма важные обобщения классических результатов Ньютона и Лейбница относительно связи операций дифференцирования и интегрирования.

В восьмой главе рассматриваются основные типы мер и зарядов (в частности, абсолютно непрерывных) и описывающая последних теорема Радона-Никодима.

В девятой, заключительной главе, изучается интеграл Лебега-Стилтьеса, находящий все больше применений в различных разделах как самой математики, так и во многих прикладных вопросах. Мы понимаем его как интеграл по заряду, порожденному некоторой (производящей) функцией ограниченной вариации. При этом стремимся, чтобы его свойства, что особенно важно для прикладников, были выражены через эту функцию. Здесь же приводим и некоторые свойства повторных интегралов, в частности, теоремы об изменении порядка интегрирований, играющих большую роль в функциональном анализе (при построении сопряженных операторов), а также при вычислении кратных интегралов.

Таким образом, пособие состоит из девяти глав. Все они разбиты на параграфы, в каждом из которых принята своя нумерация утверждений, определений и формул. Например, слова ”по теореме 2.6.3” означают, что речь идет о теореме 3 из шестого параграфа второй главы. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается. Конец доказательств помечен знаком ?. В конце каждой главы помещены упражнения.

Автор будет весьма признателен за все критические замечания, направленные па улучшение пособия.

Ю.Смолин

• [1] Эмиль Борсль (1871 - 1956) — выдающийся французский математик и популяризатор науки. 2 Анри Лебег (1875 - 1941) знаменитый французский математик. 3 Андрей Николаевич Колмогоров (1903 - 1987) — выдающийся российский ученый и педагог. Один из основателей московской математической школы.
• [2] Томас Иоаннес Стилтьес (1856 1894) — голландский математик.