Проверка нормальности распределения

Для проверки нормальности используются разные процедуры, позволяющие выяснить, отличается ли от нормального выборочное распределение измеренной переменной. Необходимость такого сопоставления возникает, когда мы сомневаемся в том, в какой шкале представлен признак - в порядковой или метрической. Важность определения того, в какой шкале измерен признак трудно переоценить по двум причинам. От этого зависит полнота учета исходной эмпирической информации, в частности, об индивидуальных различиях, а также доступность многих методов анализа данных.

Если исследователь принимает решение об измерении в порядковой шкале, то неизбежное последующее ранжирование ведет к потере части исходной информации о различиях между испытуемыми, изучаемыми группами, о взаимосвязях между признаками и т.д. Кроме того, метрические данные позволяют использовать значительно более широкий набор методов анализа и, как следствие, сделать выводы исследования более глубокими и содержательными.

Наиболее весомым аргументом в пользу того, что признак измерен в метрической шкале, является соответствие выборочного распределения нормальному. Это является следствием закона нормального распределения. Если выборочное распределение не отличается от нормального, то это значит, что измеряемое свойство удалось отразить в метрической шкале (обычно - интервальной).

Для определения нормальности распределения используются вычисления стандартизации (Z-преобразования), асимметрии (As) и эксцесса (Ех).

Стандартизация - перевод измерения в стандартную Z-шкалу. Сначала для каждой переменной, измеренной на выборке, вычисляют среднее М, стандартное отклонение о, а затем все значения X пересчитываются по формуле:

(1.3)

х, - М_х

Асимметрия - степень отклонения графика распределения частот от симметричного вида относительно среднего значения:

(1.4)

Для нормального (симметричного) распределения асимметрия равна 0. Если чаще встречаются значения меньше среднего, то говорят о левосторонней (положительной) асимметрии (As>0). Если чаще встречаются значения больше среднего, то асимметрия правосторонняя (отрицательная) (As<0). Чем больше отклонение от нуля, тем больше асимметрия.

Эксцесс - мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака:

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (Ех>0), а плосковершинное - отрицательным (-3<Ех <0). Нормальное (средневершинное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ех=0) (рис.З).

Рис.З Графики нормального и отклоняющегося от нормального распределения

Критерии асимметрии и эксцесса определяют допустимую степень отклонения эмпирических значений асимметрии и эксцесса от нулевых значений, соответствующих нормальному распределению. Допустимая степень отклонения - та, которая позволяет считать, что эти статистики существенно не отличаются от нормальных параметров. Величина допусти

мых отклонений так называемыми стандартными ошибками асимметрии и эксцесса:

(1.6)

(1.7)

_& _₅ Г!4Л'(Л'-2)(Л-3)

^W W+lftW+S)’

Выборочные значения асимметрии и эксцесса не отличаются от нуля, если они не превышают значения своих стандартных ошибок. Это можно считать признаком соответствия выборочного распределения нормальному закону:

Assti,

ExS(j

Компьютерные программы вычисляют показатели асимметрии, эксцесса и соответствующим им стандартные ошибки по другим, более сложным формулам.