Закон нормального распределения как стандарт

Нормальный закон распределения проявляется в том, что чаще всего встречаются средние значения соответствующих показателей, и чем больше отклонение от этой средней величины, тем реже встречаемость таких отклонений. Одинаковые отклонения от среднего в меньшую и большую сторону встречаются одинаково реже, чем среднее значение.

Нормальное распределение характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением (о). Только эти два значения отличают друг от друга бесконечное множество нормальных кривых одинаковой формы. Среднее (М) задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандартное отклонение (<з) задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения. На рисунке 2 построен график нормального распределения для М=0 и о=1. Это и есть единичное нормальное распределение, которое используется как стандарт - эталон.

Свойства единичного нормального распределения'.

а) единицей измерения единичного нормального распределения является стандартное отклонение;
б) кривая приближается к оси Z по краям асимпто.матически - никогда не касаясь её;
в) кривая симметрична относительно М=0; её асимметрия и эксцесс равны 0;
г) кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на расстоянии в одну о от М.;
д) площадь между кривой и осью Z равна 1.

Рис. 2 Кривая нормального распределения как стандарт

Последнее свойство имеет исключительно важное значение. Благодаря ему площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчивости (от -оо до +оо). Площадь под единичной нормальной кривой слева ли справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина генеральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина - меньше 0.

Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одними и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стандартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существуют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М±о соответствует ~68% (точно - 68,26%) площади;

М±2о соответствует =95% (точно - 95,44%) площади;

М±3о соответствует ==100% (точно - 99,72%) площади.

Также полезно знать, что если распределение является нормальным, то:

90% всех случаев располагается в диапазоне значений М±1,64о
95% всех случаев располагается в диапазоне значений М±1,96о
99% всех случаев располагается в диапазоне значений М±2,58о

Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного Z (приложение 1). Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования.

Несмотря на исходный постулат, в соответствии с которым свойства в генеральной совокупности имеют нормальное распределение, реальные данные, полученные на выборке, нечасто распределены нормально. Более того, разработано множество методов, позволяющих анализировать данные без всякого предположения о характере их распределения как в выборке, так и в генеральной совокупности. Эти обстоятельства иногда приводят к ложному убеждению, что нормальное распределение - пустая математическая абстракция, не имеющая отношения к психологии. Тем не менее, можно указать по крайне мере на три важных аспекта применения нормального распределения'.

1. Разработка тестовых шкал.
2. Проверка нормальности выборочного распределения для принятия решения о том, в какой шкале измерен признак - в метрической или порядковой.
3. Статистическая проверка гипотез, в частности - при определении риска принятия неверного решения.