Портфели, содержащие опционы

Рассмотрим более сложный рынок, на котором присутствуют безрисковый актив, акции и опционы на эти акции. При этом мы будем рассматривать портфели, содержащие безрисковый актив и опционы.

Как и выше, пусть SQ(tSx(f),...,Sd(f) - цены базовых активов, a fl - цены опционов

.....Sd(t) i = l,...,d, feC1'2. (3.48)

Пусть 0(Z),(p](/),...,фd(Z)) - допустимая торговая стратегия в терминах безрискового актива и опционов, т. е. определены интегралы

и ф(7) являются /^-измеримыми процессами. Соответствующий капитал имеет вид

V(t) = o(OSo(/)+

i=l

Пусть U - заданная функция полезности. Для того чтобы определить оптимальный терминальный капитал В* (имея стартовый капитал v), в терминах So (z), /(1) (г),..., (/), рассмотрим вначале реп

лицирующий портфель ф(/) = (ф0ф^(/)) в терминах 50(z), = 1,... ,V(Г). Сформулируем описанный выше результат в виде теоремы.

Теорема 3.5. Обозначим через K(t) матрицу вида

Тогда задача оптимизации

max^[C7(S(T))] (3 49)

допускает следующее явное решение:

оптимальный капитал В* совпадает с оптимальным капиталом задачи (3.32).

Если u(f) -оптимальная портфельная стратегия портфеля, содержащего акции в задаче (3.32), то оптимальный портфель <р(/) = ф0q)j(Z)), содержащий опционы, имеет вид

<р(/) = [Г]"1й(/), (3.50)

Фо w =-----и, <3-51)

50(/)

W) = («pj (0,---,rf(0)» “(О = («1

Оптимизационная задача. Стохастическое оптимальное управление

Возвратимся к изучению задачи (3.32) и перепишем функционал J в виде

J(Z,v;jV[fl71(s,2(5))<* + I/2(K''(7’))]>

где ф = (ф], ф2) = (и, с). При этом мы будем предполагать, что капитал j/(Mc)(/) портфеля описывается стохастическим уравнением вида

б/гv (/) = ц(г,г70,ф(0М + ^Л"^),ф(0)^(/), (3.52)

где

ц(/,у,ф) = (г + ф! [tv — rl ])v — ф2; п(/,у,ф) = Уф^О. (3.53)

ПустьФ(/,у)= sup J(/, у ;ф). Нас будет интересовать уравне-<ре(7 (Z,v)

ние, которому удовлетворяет функция Ф(/,у).

Напомним, что если V(?) удовлетворяет уравнению (3.52) и рассматривается оптимизационная задача вида

Ф(/,у) = 8ирфеУ(ЛУ/(/,у;(р), где

= ?,[[7(5,И(5),<р(5))Л + 'Р(Т>Г(Т))],

то уравнение для Ф(/,у) выводится из принципа Веллмана, который может быть записан в виде следующего соотношения:

Ф(/,v) = sup ?[ K(s), 4>Cs))rfs + Ф(0, K(0))],

(pet/ (t,v)

Ф(7» = С/2(у).

Применяя к Ф(7,И(7)) формулу Ито, мы получим следующее соотношение:

Г(/,р)= sup ^х[/е?(5,Г(5),ф(5))^ + Ф(/,г) +

ueU(t,v) ’ 1

+ ?[Ф, (j, K(S)) + Ф v (5, К(5))Ц(5, И(5),ф(5)) +

+1 f°a(s, V(s), ф($)) • a(s, V(s), ф(л'))Ф„ (s, V(s))]

Таким образом,

  • 0= sup ?/iV[lim^-J,WmV(5)) +
  • (pef7(/,v) У

+ Ф, (5, K(S)) + Ф v (s, К(5))Ц(5, 7(s), ф(5)) +

+1 c(s, V (5), ф(5)) • V (5), ф(5))Ф vv(s, V (s))]ds =

= ^PueuMEhv[L(t, V(t), ф(0) + ф, (t, + Н(Л V(t ф(0)Фр (Л ^(0) +

+1 о(/, V(t), ф(0) • , V(t), ф(/))Ф vv (Z, V (/))],

и мы приходим к следующему уравнению, называемому HJB- уравнением:

sup (L(t, v,t (t, v) + F(t, v, <р)Ф vv (Z, y) +

+ p(Z, v, (р)ф v (Z, v)) = 0, (3.54)

где F(t, v, v, ф), и краевому условию

(T,v) = U2(y). (3.55)

Возвращаясь к рассматриваемой задаче, в которой ц, а имеют вид (3.53) и T(Z,у) = ?72(у), получим, что Ф(/,х) подчиняется следующему уравнению:

sup (petapC^.cpietO,»)

1 , , 2

{-Ф1О- CFCPiV ФДу)

+ [[г + ф, • [a - И]]v - Ф2v (Z, у) + Ц (Z,у) + Ф, (Z,у)} = 0, (3.56)

(3-57)

Ф(7» = ?/2(у).

Приведем решение рассматриваемой задачи оптимизации для ряда конкретных функций полезности, в частности, для функций полезности (7 и U вида где р > 0, у е (0,1).

C/1(Z,c) = -e"prcY, У

C72(v) = -yY, Y

(3-58)

Рассмотрим формальную задачу максимизации в уравнении HJB (3.56) и приравняем нулю производные по и (р2 от выражения, стоящего в левой части этого уравнения. Это приведет нас к соотношениям

----------(з^)

уфгг(г,г) v 7

q>2(z) = (e?'l,(z>v))^, °'601

где К = о+о.

Подставив полученные выражения (3.59), (3.60) в (3.56), получим следующее уравнение относительно функции Ф(г, у):

  • - 7к - И]+ (<^+ Г1 с>4 [a - rl] + гуФ v (/, у) +
  • 2 Ф,»

_1_ _

+ Ф J’1 (t, v)e^ —+ Ф, (Л у) = 0.

(3-61)

Y

Решение уравнения (3.61), удовлетворяющее краевому условию

Ф(Л v)= —V7 ? будем искать в виде

Ф(/,р) = /(/)-М, (3.62)

Подставляя (3.62) в (3.61), получим

[-!?([« - И ]+(аа+)-‘ [а - г! ]—!— + r]/(Z) +

2 у-1

г

+ IzV el=l + f ) = 0. (3.63)

Y

Введем обозначения

kx = --^-1[a-rl]-[a-rl]—+ г, 2 у-1

к2=^е^.

Y

Тогда

= f(T) = l. (3-64)

Подстановка

g(t)=f(t)~' (3-65)

приводит к уравнению

g-w = _M)g(0_^(0j g(T) = i, (з.66) 1-у 1-у v 7

решение которого имеет вид

А(г-,) *и±г АЛ A-tr-o

g(/) = e1-’’ + 1 Y (е ~r -e11, )e‘-? . (3.67)

yUi-?)

Еще одно следствие того факта, что уравнение (3.61) имеет решение вида (3.62), состоит в том, что соответствующий профиль задан соотношениями

В результате мы доказали следующее утверждение (теорема 3.6).

Теорема 3.6. Оптимизационная задача

найти max Е

(n,c)eU(y)

fe'1s'-c(Z)Sd't + -V(iy . Y Y

(3.70)

имеет решение (и*, с*) вида

u ) =

Y-l

(3.71)

c ) =

(3.72)

где функция f (/) задана соотношениями (3.64)-(3.67).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >