Мартингольный подход

Рассмотрим вначале портфель без потребления, т. е. предположим, что с = О, Ux = 0. Пусть самофинансируемый портфель (и,0) допустим для данного начального значения капитала х > 0. Как следует из теоремы 3.1, капитал Vй(/) этого портфеля удовлетворяет оценке 2Г[р(7’)И1/(Т)] < v для Т>0. По определению платежное обязательство X - это ^-измеримая случайная величина, например

= v[P(7)]-1. При этом в силу теоремы 3.1 существует такой портфель (w,0) е t/(v), что X = Vй (Т) Р-п. в.

Определим далее множество

В(у) = {X > 0 : X - FT-измерима, ?[0(Г)Х] < v, E[U2(Х)~] < оо}.

Будем предполагать, что функции полезности Ux: [0,7] х (0, со) —> 7? и U2 : (0,оо) —> R дифференцируемы по v и их производные непрерывны в нуле и на бесконечности, причем

Ц'(0) = [CZ2 ]'v(/,0) = со, U[M = [U2]'v(t^).

Обозначим через U(y) множество допустимых самофинанси-руемых портфелей с потреблением, т. е. таких пар (ти,с), для которых при стартовом капитале %>0 соответствующий капитал Ия(/)>0 Р-п. в. для всех t е [0, Г].

Очевидно, В (у) представляет собой множество всех значений финального капитала, удовлетворяющих оценке EU2 (X)] < оо, которые могут быть достигнуты за счет торговли ценными бумагами, обладающих тем же самым начальным капиталом у е (0, у] и подчиняющихся оценке E[U2 (А")) < Таким образом, для определения оптимального финального капитала К(Т) и выбора инвестиционного портфеля h в задаче

max ?[С/2й(Т))] (3 34)

(w,0)e<7(v) v ' 7

достаточно найти максимум по всем случайным величинам В е 2?(у), т. е. достаточно решить задачу

max EU2(B). р qca

BeB(v)

Заметим, что в задаче (3.35) исчезло время, поэтому ее называют статической оптимизационной задачей. Для того чтобы решить задачу о построении оптимального портфеля, нужно найти оптимальное значение В* в (3.35) и затем найти портфель (и*,0) е?7(у) такой, что Vй (Г) = В* Р-п.в.

Лагранжев метод решения задачи оптимизации

Пусть функция fRd^Rx строго выпукла, функция g'.Rd^>Rk вогнута и f,g^Cx. Тогда х решает оптимизационную задачу

max/00 при условии g(x) = О

xeRn

тогда и только тогда, когда существует вектор 1 g Rk такой, что пара (хД)е7??/+Л удовлетворяет уравнению

к г)

= 0, / = 1,..., J,

dxt 7=i dxt

gy(x) = 0, j =

Другими словами, Rd+k является нулем производной функции Лагранжа

Z(x,X) = /(x)-Xg(x).

В интересующей нас оптимизационной задаче (3.35)

L(B, у) = E[U2 (В) - у (h(T)B - v)] при у > 0.

Формально дифференцируя по В и у и меняя местами операторы дифференцирования и взятия математического ожидания, получим уравнения

Ш у) = Е[U'2 (В)-yh(T)] = 0, Ly(B, у) = v - E[h(T) В] = 0.

Случайную величину В найдем из первого уравнения. Поскольку, по предположению, отображение U2 является отображением на все R+ и U2 - строго убывающая функция, то ее можно обратить на R+ и получить соотношение

В = (иг2Г(уКТ)). (3.36)

Подставляя полученную величину во второе уравнение, получим р-?[й(Т)(^)-1(уЛ(Т))] = 0.

Обозначим xiy) = E[h(T)(U'2')~‘(yh(T)')]. Наконец, если удаст-ся найти единственное решение последнего уравнения, то оно и будет кандидатом на роль оптимального капитала в силу уравнения (3.36). Таким образом, обозначив Y(u) = %-1(w), 12 =[^2]-1, получим, что В = I2(Y(y)h(T)) > 0 является кандидатом на роль оптимального капитала. При этом остается лишь проверить, что В* действительно задает оптимальный капитал.

Введем функцию Лагранжа L(B,c,y) для общей оптимизационной задачи (3.32) с помощью соотношения

ЦВ,с,у) =

= E[^Ui(t,c(t))dt + U2(B)-y[^h(s')c(S)dS + h(t)B-v]]. (3.37)

Формальное дифференцирование по аргументам

(В, с, у) приведет к соотношениям, определяющим значения аргументов, при которых может достигаться экстремум,

О = LB(B,c,y) = E[U'2(B)-yh(T)], (3.38)

  • 0 = Ly(B,c,y) = E[-h(T)B = v+ ?h(s)c(s)ds] (3.39) И
  • 0 = Lc(B,e, y) = E[ f [I/, ]c (s, c(s))ds - y] fh(s)ds], (3.40)

Здесь и далее нижние буквенные индексы обозначают дифференцирование по соответствующему аргументу, т. е. LAB^-S-^.

Введем вспомогательные функции

Л(ЛУ) = [Ц];1(ЛУ), (3.41)

/2(у)=КГ'О-) (З-42)

и

Х(у) = E[(h(t)I,(t,yh^dt + h(T)I2(yh(T)). (3.43)

Из соотношений (3.38)-(3.40) вытекает, что

Е = [^Г1(у/г(7’)),

[Ц]с(лс(/))=уад;

с(/) = [г71];1(^(О),

О = v - =:?|шг; ]?' (уЦту) + /„аду, U1 (yhUYtds]} =

= v-xW, (3.44)

где х(у) задано соотношением (3.43).

Ниже нам понадобятся некоторые свойства функции %(у).

Лемма 3.2. Пусть х(у) < оо для всех у > 0. Тогда х непрерывна на (0,оо), строго убывает и удовлетворяет соотношениям

Х(0) = lim х(у) = оо, х(°°) = lim Х(у) = 0. (3.45)

jy->0 _у—>оо

Доказательство. Непрерывность х следует из непрерывности функций ХД2 и теоремы о мажорируемой сходимости. Заметим, что обе функции /1?/2 строго убывают на (0,оо). Поскольку р(/) > О для всех t, то отсюда вытекает, что х(у) также строго убывает по у.

Из соотношений

lim 1Х (/, у) = lim /2 (у) = 00,

>>->0 >0

lim Ix (t, у) = lim I2 (у) = О

J—>00 у—>00

и монотонности функций 1ХД2 в силу теоремы о мажорируемой сходимости мы получаем соотношения (3.37).

Замечание. Из леммы 3.2 вытекает существование у (у) = x-1(v) на (0,оо) и равенств

У(0) = lim У (у) = оо, У(оо) = lim У(у) = 0. V—>0 V—>оо

Ниже нам понадобится также еще ряд свойств функций полезности.

Лемма 3.3. Пусть U- функция полезности и / = Тогда

U(I(y)) > t/(v) + у [/(у) - v], 0 < v, у < оо.

Доказательство. Если U выпукла, то

> U(у) + U'(I(y))[I(y) - v] = U(y) + y[/(^) - v] ДЛЯ 0 < V, у < 00.

Теорема 3.4. Задача об оптимальном портфеле. Пусть v>0 и хОО < 00 для всех У > 0 • Положим Y(v) = X-1 (v). Тогда для

В* = /2(Г(у)Л(Т)), c ) = Y(y)h(t))

существует самофинансируемый портфель u*(t), t е [О,Г] такой, что

(u*,c)eU(v), Vvu*’c ) = В* Р-п.в.

и (и*,с*) - решение задачи (3.34). Здесь Vv,u ,с (f) - капитал портфеля (и*,с*), имеющего начальный капитал v.

Доказательство. Из определения В* и с* следует, что E^Toh(t)c )dt + h(T)B'}=v.

Заметим, что при этом У(у)Л(/)>0 и благодаря тому, что 1Х,12 > 0’ величины В* и с* положительны. Существование портфеля (и*,с) е U(у), соответствующего паре (

Покажем теперь, что единственный портфель и* обладает свойством (и*,с*) е U'. Из леммы 3.3 вытекают неравенства

Ц(лЛо) ц(л1)+Умад[с’(о-1],

[/2(У)>С/2(1)+Г(у)й(Г)(В‘-1),

и, следовательно, с учетом неравенства а~ < b~ <| b |, вытекающего из оценки а > b и положительности Y(y)h(t) с*, получим, что E(^U,(t,c ))-dt + U2(B')-)<

< 4for IЦ (М) I + П W)[^ (0 +1 ]dt +1U2 (1) | + Y(v)h(T)[B’ -1 ]) =

= | С/2 (1) I + IЦ (М) I + У(у)(у + ?[Й(Т)] + < со.

Наконец, покажем, что портфель с потреблением (и*,с*)е(7' оптимален. Для этого выберем произвольную пару (и,с) е U', которой соответствует капитал KV,M,C. Из неравенств

их (/, г (/)) > Ц (Л с(0) + ЦуЖО [с* (/)-!],

t/2(E*) > Я2(Г’МС(Т)) + У(у)Л(Т)[В* - Г’МС(Г)]

нетрудно вывести, что

е(Jjt/i (/, с + U2 (В*)) > J(v, и, с) + Y(v)(e(TQh(t)c (t)dt + h(T}B*

- E^h№(t)dt + Л(Т)Г’МС(Т)))=

= J(v,w,c) + У(г)(г-е(|0ГЛ(/)с(/)^ + Л(Г)И^’с(Г)|> J(v,w,c), поскольку в силу теоремы 4.1

У(у)(у - ^h(l)c(t)dl + h(T)Vw (T))) ? 0.

Пример

Пусть Ux (t,v) = U2 (v) - In у - логарифмические функции полезности. Тогда Ц(t,y) = 12М = —,

У

'»ур(о ^(г)

и У (у) = % (у) =----. Из теоремы 3.4 следует, что

с* (/) = /!(/, T(v)A(Z)) = —--—,

1V Я(/)Т + Г

в"

1 V

Л(т)т+Г

В этом специальном примере удается получить явное выражение для портфеля. Заметим, что в силу теоремы 3.1

адГ'“’>г(0 = ?(/0гадс’(^+л(7’)в’ l^)=v(77,+f1+1)- (3.46)

Отсюда следует, что

V = V(7r+<1+1) + 7^7 = h(t}Vv’"’c' (t) + ЯЦргСф* ($)<*]. (3.47)

Применяя формулу Ито, вычислим произведение h(t)Vv,u ,с (/) в правой части последнего равенства и получим

v = v+ J^/z(5)Kv,M ,с (5)[w*(.5’)+a(5)-0+(5)]Jvr(.s;),

откуда вытекает, что вектор f (5) = w* (s)+<7(5) - 0+ (5) = 0 Р-п.в. для всех s е [О, Г]. Поскольку величина H(t)Vv,u ,с (?) положительна, то м*(Г) = [ст+(/)]-10(?) для всех /е[0,Г].

В частном случае при d = 1 и постоянных кэффициентах мы получим, что величина

* a-r и =----

ст

равна премии за риск для инвестиций в рисковые активы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >