НЕПРЕРЫВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЫНКИ

В этой главе мы перейдем к непрерывным моделям финансовых рынков и рассмотрим две простейших модели: модель Блэка -Шоулса (BS-модель) и модель Блэка - Шоулса - Мертона (BSM-mo-дель). В рамках этих моделей будет рассмотрена задача оптимизации инвестиционного портфеля.

Модели BS и BSM и хеджирующие портфели

Для описания математической модели финансового рынка в непрерывном времени нам понадобятся стандартные непрерывные случайные процессы: винеровский и пуассоновский процесс, - пуассоновская мера, а также случайные процессы, построенные по этим базовым процессам с помощью стохастических уравнений.

Введем необходимые обозначения.

Пусть (Q,F,P) - основное вероятностное пространство, w(Z) <^Rd - стандартный винеровский процесс, a vk (dt, dz) - независимые пуассоновские меры, заданные на борелевской алгебре BQ пространства [0,T]xFJ с компенсаторами Evk(dt,dz) = nk(dz)dt, к = 1,2. Пусть Ft - поток о-алгебр, порожденный винеровским процессом vv(z) и пуассоновской мерой v([0,r),<7z).

Предположим, что n^t/z) - a-конечная мера, заданная на борелевской о-алгебре В пространства Rd, а П2 - конечная мера.

Меру V можно построить следующим образом: пусть eRd -однородный процесс с независимыми приращениями, характеристическая функция которого имеет вид

= exp{Z[||z||i|(e'()"z)-1)^ +

Процесс S,(z) с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода. Если обозначить v(G) через число разрывов процесса ?,(/), для которых точка (z, S,(z + 0) - - 0)) принадлежит G, то v(G) будет иметь

распределение Пуассона с параметром ti(G) .

Обозначим через S(Ft) пространство измеримых случайных функций/ таких, что f(t,z) eRd nF -измерима при каждом t. Пусть далее 5y(Fz) обозначает совокупность функций из S(Ft для которых и S^Ff) обозначает совокупность функций из S(Ft для которых

ГТ г г, и />/ х „2 dzdt

Ниже используются также обозначения 5,5У,5Ц для краткости, если это не приводит к недоразумениям.

Интегралы по мерам v(dt,dz) и p(Jz,Jz) = v(Jz,Jz)-n(t7z)Jz вида

Rdf(t,z^{dt,dz F df(t,z)v(dt,dz)

корректно определены, если функции f е и f е Sv соответственно.

Рассмотрим рынок, на котором присутствует безрисковый актив и dрисковых активов, динамика цен которых описывается следующими уравнениями:

J50(Z) = r(Z)50m 50(0) = 1, (3.2)

dSt (Z) = S, (Z)[«z- (t)dt + (Z)^y (Z) + р/ (Z, z)p(t/Z, 4/z)], (3.3)

  • 7=1
  • 5,(0) = ^., z = l,...,t7.

Портфель /?(/) = (/z0(Z),.../^(Z)) g Rd+l - это прогрессивно измеримый случайный процесс, удовлетворяющий оценкам

/0Г0(0|Л<оо, /07'|й«-ЭД|2Л<оо Р-П.В., (3.4)

где h-S = = h+S. При этом, как и в дискретном случае, ЛД/)

интерпретируется как число единиц актива типа i, содержащееся в рассматриваемом портфеле.

Неотрицательный прогрессивно F-измеримый случайный процесс с(/), подчиняющийся оценке ^c(t)dt < оо Р-п. в., называется процессом потребления.

Портфель (Л, с), состоящий из портфельных инвестиций h и потребления с, называется самофинансируемым, если его капитал V(t) имеет вид Г(/) = h(t)' S(t)-c(t) и его дифференциал задается соотношением

dV(t) = h(t) ? dS(t) - (3.5)

Пусть h - самофинансируемый портфель и V(t) - его капитал. Тогда Rd+] -значный процесс

w(Z) = (w0(Z),...,wJ(Z)), где uk = hk^S^ ? = 0, (3.6)

называется самофинансируемым относительным портфелем.

Рассмотрим самофинансируемый портфель с потреблением (Л, с), капитал V(Z) которого имеет вид

K(Z) = х + ? ^hk (x)dSk (т) - c(Z), к=0

где цены Sk(f) удовлетворяют системе стохастических уравнений

(3.2), (3.3). Тогда рг0(-г)аВ0(т) = ?й0(т)50(т)г(т)А,

J'ft;(x)rf5,.(T) = fX(T)S,.(T)flj(T)A+ fX(T)S,.(T)f ал^(т) + fc=l

+ fX’ ^S' Z)^Z6/T)’ * = 1 ’ • • * ’ d-

Таким образом, уравнение (3.5) приобретает вид

t/Г = V(t)[hQ(t}rSQ(t}dt + ftSi[a/(O^+ I^A(0]] + i=l Ar=l

+ V (t)YM (TZ)P№ - c{t)dt. (3.7)

i=l

Процесс uk(t) вида (3.6) описывает часть капитала, инвестированную в к-й актив. При этом часть капитала, инвестированная в банковский счет,

u0(t) = 1 -(ад,1) = 1- f Uk(t 1 = (1,...,1)+. (3.8)

к=1

В терминах относительного портфеля стохастическое уравнение, которому удовлетворяет капитал 7(t), имеет вид

dV(t) = V (О[«о (t)S0 (t)r(t)dt + f »t (t)Sk (t)[ak (z) + jj3k]dWj (z) +

A=1 j=l

+ Rdfk (t, zMdt, dz)l - c(t)dt = (1 - (zz(Z), 1 ))K(Z)r(Z)rfZ +

+ K(Z)2«iW[ajt(z) + Y^kjdwj + ^dfk^’^dt^z^-c^dt, k= J=1

т. е.

dV = [г(/)И(О - c(t)]dt + K(z)w(0 [б/(0 - r]dt +

+ V{t)u{t)[Adyv(t) + Rdf(t,z)p(dz,dt)], Г(0) = v. (3.9)

Полученное уравнение представляет собой линейное неоднородное уравнение, и для существования его решения нам нужно лишь предположить, что f || u(t) ||2 dt < оо Р-п. в.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >