ДИСКРЕТНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

Оптимальные портфели и динамическое программирование. Одношаговая модель

Рассмотрим задачу о построении оптимального портфеля (построении оптимальной торговой стратегии) за один шаг с точки зрения некоторого критерия качества.

В качестве критерия качества выберем так называемую ожидаемую полезность. В частности, пусть и : R х Q R - выпуклая, дифференцируемая и строго возрастающая функция при каждом cogQ. Если V— капитал портфеля в момент t = 1 и со - состояние, то г/(К,со) задает полезность капитала V. Таким образом, мерой качества будет служить ожидаемая полезность финального капитала, т. е.

Е«(К,)= ^/’(<о>(К1(<о),<о).

coeQ

Заметим, что функция полезности может явно зависеть как от финального капитала V, так и от состояния со. Однако в приложениях часто достаточно считать, что и зависит лишь от финального капитала, и в этом случае она оказывается выпуклой строго возрастающей функцией одной переменной.

Пусть Н = Rd+1 обозначает множество всех допустимых портфелей, т. е. линейное пространство векторов вида h =

Пусть v - заданная скалярная величина, представляющая начальный капитал. Сформулируем задачу построения оптимального портфеля:

максимизировать E[u(Vi)] по всем h^H

при условии, что Ко = v. (2.1)

Поскольку = в у* и V* = V* + G*, то (2.1) можно переписать в следующем виде:

максимизировать Е[и(В{ (v + h^AS* +... + hdS*d))]. (2.2)

Заметим, что если существует арбитражная возможность, то решения задачи (2.1) не существует. Иначе говоря, если h - решение этой задачи и портфель h - арбитражный, то для портфеля h = h +h получаем

V + f = V + f f V + f

/7 = 1 /7=1 /7 = 1 /7 = 1

где неравенство вытекает из арбитражности портфеля h. На самом деле существует хотя бы одна точка <о g Q, для которой выполняется строгое неравенство. Поскольку и - строго возрастающая функция и Р(со) > 0 для всех coeQ, то отсюда вытекает, что целевая функция в (2.2) для портфеля h строго больше, чем для портфеля h . Но это противоречит тому, что портфель h представляет собой оптимальное решение (2.2). Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:

если существует решение задачи оптимизации портфеля

(2.1) или (2.2), то рынок должен быть безарбитражным.

Другими словами, это утверждение можно перефразировать следующим образом: если существует оптимальное решение задачи (2.1) или (2.2), то существует риск-нейтральная вероятностная мера. При этом существует явная связь между оптимальным решением и риск-нейтральной вероятностной мерой. Чтобы найти эту связь, перепишем целевую функцию из (2.2) в виде

P(<&)u(J2x((b)y + /^(со) +... + /zjA5^(

и воспользуемся необходимым условием экстремума для целевой функции, из которого следует, что

0 _ дЕи(Вх (у + hxS{ +... + hdS^ _ dhn

= ^Л®>Х^1(<»)[у + ^А51со) + ... + ^Д^(со)],со)51(со)А5* =

= ?[В1м'(И1)А^], и = (2.3) где и' обозначает частную производную функции и по первому аргументу. Таким образом, если (А, И) - решение (2.2), то (Л, И) удовлетворяет системе d уравнений

0 = ?й[Д$;]= Хй(®М(<0), n = ,...,d. (2.4)

Сопоставляя (2.4) и (2.3), заметим, что, положив

?(со) =

получим меру, удовлетворяющую (2.4). При этом ?)(со) > 0, поскольку и - строго возрастающая функция. Однако сумма Qx +... + Qd не обязательно равна 1, так что Q будет вероятностной мерой только после соответствующей нормировки. При этом справедливо следующее утверждение:

если (Л,у) -решение задачи оптимизации портфеля (2.1) или

(2,2), то мера Q вида

P«o)B1(co>W(co),co)

(2.5)

является риск-нейтральной мерой.

В случае, когда Вх = 1 + г - константа, мы можем получить из (2.5) соотношение

т (r< =

} Р(со) E[uVxy '

Другими словами, если процентная ставка г не случайна, плотность в пространстве состояний пропорциональна маргинальной полезности финального капитала.

Можно ли сформулировать обратное утверждение? А именно: верно ли, что из существования мартингальной меры Q следует, что задача (2.2) об оптимальном портфеле имеет решение? Вообще говоря, это не так, поскольку могут существовать такие и и у, для которых оптимальное решение h не существует. С другой стороны, всегда можно найти такие и и у, чтобы решение задачи (2.2) существовало.

Говорят, что модель разумна, если существует такая выпуклая, дифференцируемая и строго возрастающая при каждом со е Q функ-бёу и : R х Q —> R и такой начальный капитал v, что соответствующая задача оптимизации (2.2) имеет оптимальное решение h.

Можно сформулировать следующий принцип построения разумной модели рынка: модель рынка является разумной тогда и только тогда, когда существует риск-нейтральная мера Q.

Как следует из (2.5), для того чтобы проверить справедливость этого принципа, достаточно предположить существование риск-ней-тральной вероятностной меры, разумно подобрать и и v и затем доказать разрешимость задачи (2.2). Выберем и так, чтобы выполнялось равенство

u(v,(p) = v—2^— Wi(«>)

(2.6)

и пусть величина v произвольна. Тогда для любого h = по

лучим

E[u(B[(v +h^S* + ... + Л?/Д5^),со)] =

= Z2(01)(v+h^s;+...+hdbsd)=

= v + Eq [ ASf ] + ... + hdEQ [ Д^ ] = v,

так что каждому вектору h соответствует одно и то же значение целевой функции. Эквивалентно каждый портфель с начальным капиталом v порождает одну и ту же целевую функцию в (2.2), что означает, что все такие стратегии оптимальны. Таким образом, этот разумный выбор функции полезности приводит к разумной модели рынка.

Задача построения оптимального портфеля (2.2) представляет собой стандартную задачу теории оптимизации, и, следовательно, ее можно решать, применяя стандартную технику теории оптимизации.

Один из способов решения этой задачи состоит в решении системы уравнений с d неизвестными, соответствующей необходимым условиям экстремума. К сожалению, как видно из приведенного ниже примера, при этом мы сталкиваемся с необходимостью решать системы нелинейных уравнений, что представляет собой трудную задачу.

Пример 2.1. Пусть d=2, К -3, г - - и дисконтированный це

новой процесс имеет вид

п

&(0)

Л(1)

(01

(02

(03

1

6

6

8

4

2

10

13

9

8

Заметим, что существует единственная риск-нейтральная веро-^_fl 1 П

ятностная мера, поскольку ^’3’3 I представляет собой единственное решение следующей системы уравнений:

  • 6 = 62(g)! ) + 82(со3) + 42(со3),
  • 10 = 132(G)!) + 92(со3) + 82(со3),
  • 1 = 2(«1) + 2(®з) + 2(юз)-

Для экспоненциальной функции полезности вида м(И) = -ехр{-И} функция = ехр{-К}. Следовательно, необходимые условия (2.4) имеют вид

0 = Р( g)j ) ехр{-( 10 / 9)(v + 0 + 3h2)} (10 / 9)(0) +

+ P(g)2 ) ехр{-( 10 / 9)(v + 2hx - h2)} (10 / 9)(2) +

+ P(g)3 ) ехр{-( 10 / 9)(v - 27?! - 2Л2)} (10 / 9)(-2),

0 = P(G)i)exp{-(10/9)(v + 0/?i +3/?2)}(10/9)(3) +

+ Р(со2) ехр{-( 10/ 9)(v + 2/zj - Л2)} (10 / 9)(-1) +

+ Р(со3) ехр{-( 10 / 9)(v - 2h{ - 2h2)} (10/ 9)(-2).

Отсюда могут быть найдены значения hx и h2, однако это не так уж легко.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >