ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

Одношаговые и многошаговые дискретные модели

Одношаговая модель финансового рынка будет считаться заданной, если заданы следующие ее элементы:

  • 1. Начальный момент времени t = 0 и конечный (финальный) момент времени t = 1. Это единственные моменты времени, в которые происходит торговля или потребление.
  • 2. Конечное выборочное пространство Q, содержащее К > О элементов Q = {о)(, со2,..., }• Здесь каждая точка со g Q соответствует некоторому возможному состоянию рынка, которое неизвестно в момент t = 0, но становится известным инвесторам в момент t = 1.
  • 3. Вероятностная мера Р на ?1 такая, что Р(со) > 0 для всех со g ?2.
  • 4. Банковский счет B = {Bt‘, / = 0,1}, представляющий собой случайный процесс с двумя состояниями: BQ = 1 и Вх, где В{ - случайная величина. Динамика банковского счета отлична от динамики любого другого актива, поскольку предполагается, что в момент t = 1 цена Вх (со) строго положительна для всех cog ?2. Обычно предполагается, что Вх > 1, ив этом случае Вх - это величина счета, на который в момент t = 0 был положен вклад в размере 1 р. При этом величина г = Вх -1 > 0 может интерпретироваться как процентная ставка. Для многих приложений естественно считать, что В} и г неслучайны.
  • 5. Ценовой процесс 5 = {S, :/ = 0,1}, где St = (5(/),...,Sd(t)) и 5„(Ц- цена актива с номером п в момент /, d < оо. Во многих приложениях роль рисковых активов играют акции. В момент t = 0 цены представляют собой положительные скалярные величины, которые известны инвесторам, тогда как в момент t = 1 цены представляют собой неотрицательные случайные величины, значения которых становятся известными лишь в момент t = 1.

Построив описание рынка, на следующем шаге следует определить еще ряд важных объектов.

Торговая стратегия h = (или портфель) описывает

портфель инвестора, который изменяется при переходе от t = 0 к t = 1. В частности, - это число денежных единиц на банковском счете инвестора, и для n> hn- это число единиц актива с номером п (например, число акций некоторой компании). Вообще говоря, hn могут принимать как положительные, так и отрицательные значения (отрицательные значения соответствуют заимствованию средств или короткой продаже). Бывают ситуации, когда на портфель накладываются дополнительные ограничения для того, чтобы портфель был допустимым (например, hn > 0, что означает запрет коротких продаж рисковых активов).

Капиталом портфеля V =?; t = 0,1} называют случайный процесс, описывающий стоимость портфеля в каждый момент t. Иначе говоря,

y,=h0B0 + fh„S„(t Z = 0,l.

П=1

Заметим, что капитал портфеля зависит от выбора торговой стратегии h и что Vx случайная величина.

Доход G - это случайная величина, описывающая общую прибыль (или потери) в результате используемой торговой стратегии при переходе от момента t = 0 к моменту t = 1. Поскольку величина hn(Sn()- 5л(0)) представляет собой чистую прибыль за счет инвестиций в и-й актив (или в банковский счет), то доход задается выражением

Л=1

где = ЯДО-ЯДО). Простые вычисления показывают, что

VX=VQ+G. (1.1)

1. Дискретные модели финансовых рынков

Таким образом, из уравнения (1.1) следует, что любое изменение капитала портфеля происходит за счет потери или прибыли от инвестиций, а не за счет дополнительных прибылей от внешних источников.

Поскольку нужно сравнивать цены различных активов, удобно нормализовать все цены так, чтобы величину банковского счета считать постоянной. При этом говорят, что банковский счет играет роль дисконта (numeraire). Нормализованный ценовой процесс обозначается S* = где

5*(7) = ^^, и = 1.....d, t = 0,l.

B(t)

При этом дисконтированный капитал портфеля и дисконтированный доход задаются соотношениями d

У' = b>+YhA‘), '=о,1

п=1

И

/7=1

где А5>^(1)-5„*(0),

K'* = V ' = 0,1, (12)

y," = K + G (1.3)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >