Образование в твердом теле объемных разрешенных энергетических зон. Принцип Паули

объемных разрешенных энергетических зон.

Принцип Паули

Чтобы понять физические основы поведения электронов в твердых телах, рассмотрим их поведение в изолированном атоме. Начнем с анализа разрешенных значений энергии для электрона, находящегося под воздействием только одного атомного ядра. При рассмотрении вопросов, связанных с физикой полупроводников, используются две дополняющие друг друга модели: зонная модель и модель электронных связей. Рассмотрим сначала зонную модель твердых тел.

Как известно, электрон, находящийся под воздействием кулоновского потенциала атомного ядра, может иметь только вполне определенные разрешенные значения энергии, т. е. электрон может занимать только один из последовательности энергетических уровней, расположенных ниже некоторого уровня с относительной энергией, принимаемой за нуль:

2 4

z -m^-q S-s²₀-h²-n²’

(2.2)

где z - число протонов в ядре; т₀ - масса свободного электрона; ?₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума; h - постоянная Планка; п - положительное целое число.

Если с атомом связано более одного электрона, электроны заполняют разрешенные уровни начиная с низших значений энергии. В соответствии с принципом Паули один энергетический уровень могут занимать не более двух электронов с противоположными спинами.

Рассмотрим случай, когда электрон занимает в атоме наивысший из занятых уровней, и пренебрежем более низкими заполненными уровнями. Когда два изолированных атома находятся на большом расстоянии друг от друга, электрон, связанный с каждым из атомов, имеет энергию Е_п, определяемую уравнением (2.2). Если два атома приближаются друг к другу, то атомное ядро одного атома начинает воздействовать на внешний электрон другого атома. В результате потенциал, который определяет энергетические уровни электрона, изменяется. Вследствие этого изменения все разрешенные уровни энергии электрона сдвигаются - появляются возмущенные энергетические уровни.

Рассматривая двухатомную систему, следует принимать во внимание также принцип Паули. Уровень энергии Е, который может содержать не более двух электронов с противоположными спинами, связан с каждым из изолированных атомов, поэтому во всей двухатомной системе может содержаться не более четырех электронов. Однако в случае, когда два атома сближаются и образуют единую систему, с разрешенным уровнем энергии Е могут быть связаны только два электрона. Поэтому разрешенный уровень энергии Е изолированных атомов должен расщепиться на два подуровня со слегка различающимися энергиями, чтобы сохранить место для всех четырех электронов. Таким образом, сближение двух атомов друг с другом не только слегка возмущает каждый уровень энергии изолированного атома, но и расщепляет его на два незначительно отстоящих друг от друга уровня энергии. При более тесном сближении следует ожидать более сильных взаимодействий, а расщепление должно стать более выраженным.

По мере того как добавляются другие атомы, образующие кристаллическую структуру, силы, воздействующие на каждый электрон, продолжают изменяться, и в результате происходят дальней шие изменения энергетических уровней. В соответствии с принципом Паули каждый разрешенный уровень энергии электрона имеет слегка различающуюся энергию, так что кристалл будет характеризоваться большим числом различных близко расположенных уровней энергии. Каждый из первоначальных квантовых уровней изолированного атома расщеплен много раз и содержит по одному уровню для каждого атома в системе. Если в системе имеется N атомов, то первоначальный энергетический уровень Е расщепляется на N различных подуровней, образующих энергетическую зону, которая может содержать не более 2N электронов (вследствие спинового вырождения). Так как число атомов в кристалле обычно велико (порядка 10²²), а полная ширина энергетической зоны по порядку величины составляет несколько электронвольт, расстояние между N различными энергетическими уровнями в каждой зоне много меньше тепловой энергии электрона при комнатной темпе-

А: -Г

ратуре <р_г =---= 0,026 эВ. Поэтому электрон может легко перехо-

q

дить с уровня на уровень. Таким образом, можно говорить о непрерывной зоне разрешенных энергий, в которой может находиться 2N электронов. Эта разрешенная зона ограничена максимальной и минимальной энергиями. Она может быть отделена от соседних разрешенных зон запрещенными энергетическими зонами. Возможно также перекрытие этой зоны другими зонами.

Детальное поведение (перекрытие или наличие запрещенных зон, а в последнем случае - ширина этих запрещенных зон) определяет электронные свойства конкретного материала. Зонная структура - это важнейшая характеристика, которая отличает друг от друга проводники, полупроводники и диэлектрики.

Хотя каждый энергетический уровень первоначального изолированного атома расщепляется на зону, состоящую из N уровней, диапазон разрешенных энергий для каждой зоны может быть различным. Более высокие энергетические зоны обычно охватывают более широкий диапазон энергий, чем те, которые имеют относительно низкую энергию. Причину этого различия можно понять, рассмотрев радиус боровской орбиты г, связанный с энергетическим уровнем, имеющий номер п:

и².? -h² и²

г_п = ^п— = 0,0529 • — нм. (2.3)

z • 71 • т₀ • q z

На более высоких энергетических уровнях (при больших п) электрон связан слабее и может отходить дальше от атомного ядра. Если электрон связан слабее, то он подходит ближе к соседним атомам и в более сильной степени оказывается под их влиянием. Это более сильное взаимодействие приводит к большему изменению энергетических уровней, поэтому более широкие энергетические зоны соответствуют электронам в изолированных атомах, обладающим более высокой энергией.

Наивысший разрешенный уровень в каждой зоне отделен запрещенной зоной Е от наинизшего разрешенного уровня в следующей зоне. Зонную диаграмму удобно изображать в виде двумерной картины, на которой по вертикальной оси отложена энергия электрона, а по горизонтальной - положение в кристалле. В таком варианте диаграммы подчеркивается, что электроны в зонах не связаны с отдельными атомами и могут находиться всюду внутри кристалла.

В зависимости от ширины запрещенной зоны принято подразделять электротехнические материалы следующим образом:

• - проводники (металлы), Е < 2кТ,
• - полупроводники, 2кТ g<3 эВ,
• - диэлектрики, E_g > 3 эВ.

Использование в качестве единицы энергии электронвольта (1 эВ = 1,6- 10 ¹⁹ Дж) удобно для физики полупроводников, так как при этом удается часто избавиться от громоздких выражений.