Математическое описание электромагнитных процессов при разогреве плиты

В пункте 2.1.1 для нахождения внутренних тепловыделений или удельной мощности q используется эмпирическая методика, вносящая существенную погрешность в расчёт. Для более точного описания процесса индукционного нагрева плиты пресса дополним уравнения (2.1), (2.12), (2.13) системой векторных дифференциальных уравнений электромагнитного поля - уравнениями Максвелла.

Закон Ампера-Максвелла

rot Н = j + —. dt

(2.34)

Закон индукции Фарадея

ав rotE =--.

dt

(2-35)

Закон Гаусса

divD = р.

(2.36)

Закон Гаусса для магнитного поля

divB = 0.

(2-37)

Здесь р - плотность стороннего электрического заряда, Кл/м2; j - up -вектор плотности электрического тока, А/м2; и - вектор скорости зарядов, м/с; Е - вектор напряжённости электрического поля, В/м; Н - вектор напряжённости магнитного поля, А/м; D - вектор диэлектрической индукции, Кл/м2; В - вектор магнитной индукции, Тл.

Приведённые выше уравнения Максвелла ещё не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины Е, В, D, Н и j и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями:

D = ??oE; (2.38)

В = цц0Н; (2.39)

j = Ey, (2.40)

где ?0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, Ф/м; ? - относительная диэлектрическая проницаемость; Щ) - магнитная проницаемость вакуума, Гн/м; ц - относительная магнитная проницаемость; у - удельная электропроводность среды, Ом ' м1.

В практических расчётах принимают для проводников = 0 , dt

а для непроводящих сред - j = 0 [27].

Для определения удельной мощности запишем закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме [28]

?=;7y- <2.41)

Тогда уравнение теплопроводности (2.1) запишется в следующем виде

дТ (д2Т д2Т д2Т} j2

^— = а — 4--— 4--— 4--. (2.42)

дт ду2 dz2) ycsps

Для того чтобы уравнения (2.34) - (2.37) имели единственное решение, они дополняются условиями однозначности, которые включают геометрические условия, начальные условия и условия на границах расчётной области.

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом [27]:

(Е, -Е2)хп = 0 ]

' ' Р (2.43)

(H1-H2)xn = jJ

где п - единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2, 1/м; j5- плотность поверхностных токов вдоль границы, А/м2.

Первое граничное условие системы (2.43) можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля. Из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе [27].

  • (D,-D2)x„ = -Ps1
  • (B!-B2)xn = 0 J

где Ps - поверхностная плотность зарядов, Кл/м3.

Граничные условия (2.44) характеризуют непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции при отсутствии на границе поверхностных зарядов.

Таким образом, полную модель индукционного нагрева плиты пресса можно представить в виде системы соотношений (2.42), (2.12) -(2.23), (2.34) - (2.40), (2.43), (2.44).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >