Расчёт температурного поля плиты методом конечных интегральных преобразований

Решение модели (2.1) - (2.23), т.е. получение нестационарного температурного поля нагревательной плиты вулканизационного гидравлического пресса, осложняется следующими факторами:

  • 1) мощности индукторов Qij плиты нелинейно изменяются в процессе нагрева плиты. Пример такой зависимости показан на рис. 2.1;
  • 2) в процессе нагрева плиты нелинейно изменяются коэффициенты теплоотдачи ai, аг, ..., аб от поверхностей плиты в окружающий воздух. Пример такой зависимости представлен на рис. 2.2.

В связи с этим получение аналитического решения математической модели (2.1) - (2.23) не представляется возможным.

Для численного решения задач теплопроводности, как правило, используется метод конечных разностей. Однако для трёхмерного нестационарного дифференциального уравнения теплопроводности в частных производных (2.1) с неоднородными граничными условиями (2.13) надёжные разностные схемы, позволяющие получать устойчивое решение, до настоящего времени не предложены. Поэтому использование метода конечных разностей для рассматриваемой задачи затруднительно.

Зависимость мощности индуктора от времени нагрева плиты

Рис. 2.1. Зависимость мощности индуктора от времени нагрева плиты:

1 - мощность индуктора; 2 - скорость изменения мощности

Зависимость коэффициента теплоотдачи от времени нагрева

Рис. 2.2. Зависимость коэффициента теплоотдачи от времени нагрева:

  • 1 - коэффициент теплоотдачи от рабочей поверхности плиты;
  • 2 - скорость его изменения, %

В качестве метода решения задачи (2.1) - (2.23) будем использовать метод конечных интегральных преобразований (МКИП) [25, 26], так как он позволяет получать приближённое аналитическое решение

даже в случае неоднородных граничных условий с применением унифицированных приёмов последовательного исключения координат.

Для решения модели (2.1) - (2.23) введём следующее допущение: значения коэффициентов теплоотдачи от поверхностей плиты di, аг, аб, а также значения мощностей индукторов Qij,j = 1, ...,ni не зависят от температуры в пределах интервалов времени, которые назовём расчётными. Тогда задачу распространения тепла в плите при фиксированных значениях параметров аь а2, ..., а6 и Qij следует решать многократно, т.е. последовательно находить решения для расчётных интервалов времени, в которых эти параметры можно считать константами. При этом начальным условием для всех решений, кроме первого, будет температурное поле плиты, соответствующее моменту окончания предыдущего интервала времени.

Решение задачи для начального интервала времени представим в виде суммы

7] (х, у, z, т) = Р(х, у, z, т) + Го ,

где Р(х, у, z, т) - решение уравнения

дР(х,у,г,т) (д2Р(х,у,г,т) д2Р(х,у,г,т) д2Р(х,у,г,т)} q(x,y,z)

дт дх2 ду2 dz2 ) csps

(2.24) при начальном условии

Р(х,у,г,О) = Гоо=О (2.25)

и однородных граничных условиях:

ало,у,г,т)_ у>гт)=0.

дх

дх

дР(х, 0, z, т)

--а3Р(х, 0, z, т) = 0;

ду

Л (2.26)

дР(х, s, z, т)

X —--------- + а4Р(х, 5, z, т) = 0;

ау

ар(х,у,о.г)_ Р(х>у>0>х)=0;

dz

. дР(х, у, Л, т) п. . . Л

------+ а6Р(х, у, h, т) = 0.

dz

При использовании метода конечных интегральных преобразований решение задачи (2.24) - (2.26) имеет вид, см. [26]:

7-,и у, z, т)=т0+XLL-----------кгтгт------------’ (2-27)

л=1 /и=1 к= N п итс‘к

где W(x, p„) = sin(pwx + tp„),

m a3 ^s®k I.

К(у, Ут) = sin(v,„^ + ф,„ ), Vm = arctg

L(z, coA.) = 5ш(со^7 + 0A), Qk = arctg

a5

Nn = -—(ц„/ + пп(ф„ )cos(

Dm = -—(vw5 + sin(y,„)cos(y,„) - sin(vw5 + yw)cos(v,„s + y,„)); 2v

Ek = -—(akh + sin(0A )cos(0A.) - sin(coAZz + 0A. )cos(coAZ? + 0A.));

2соЛ

p,„ v,„, (0/, - последовательные положительные корни уравнений a2sin(p„Z + ф„) + X5p„cos(p„Z + ф„ ) = 0;

a4sin(vms + Ф,„) + v,„cos(v,„5 + ) = 0;

a6sin(cDA.Z? + 0A.) + 2ii.(oA.cos(coA.A + 0A.) = 0;

/ (222

и, tn,

a.(t)= l-e-^''+V"’+W*-

2 2

+ vm

rrr q(x, y, z) цп)К(у, v,„)L(z, co J dxdydz .

Qn, tn, к

oooL

Решение задачи (2.24) - (2.26) для (z + 1)-го интервала времени удобно представить в виде суммы

7]-+1 (х, у, z,t) = S(х, у, z) + Р(х, у, z, т) + TsX,

где S(x, у, z) - решение уравнения

d2S(x,y,z) d2S(x,y,z) d2S(x,y,z) = дх2 ду2 dz2

(2.28)

при неоднородных граничных условиях:

ЗУ(0 y,z) _ (()jbz) = 0.

OX

K 8S(f^z)+ b.) = 0;

OX

  • 8S(x^, z) _ aj[s(x> 0> z) _,J = 0;
  • (2.29)

A.s fl + a4[S(x, s, z)-tc2] = 0;

Sy

[S(x 0) _ ] _ 0.

oz

a)_(c4] = 0>

OZ

a P(x, y, z, т) - решение уравнения

dP(x, у, z, т) _ (d2P(x, y, z, t) d2P(x, y, z, x) d2P(x, y, z, x)^

St dx2 dy2 dz2 )

+ 9(W) (230)

^sPs

при начальном условии

P(x,y,z,0) = S(x,y,z)-Tsl (2.31)

и однородных граничных условиях (2.26). Здесь т, - момент окончания z-ro интервала времени;

С ] * h А

Г*|=0>5 -rH^^y^dydz+T,, =

И г» )

( ] s h у

= 0,5 —[ [?;.(/,y^dydz + T. -

средняя температура воздуха вблизи поверхности короткого торца плиты; ts2^ Ts2- Tsi;

( 1 h

Ts2 = 0,5 — J j Ti (x, 0, z, Т,- )dxdz + To =

v^oo >

Сз _ 0,5

С4 = 0,5

—j j Т,(х, у, 0, т, )dxdy + Го - Гу1;

Is о о J

/ I S

— Jj7](x,y,/2,T;.)t/xtZy + T0 -TsX.

S 0 0 7

Согласно [26], решением задачи (2.28) - (2.31) является функция

7]+1 (х, у, Z, т) = 5(х,у, z) + Pj+} (х, у, Z, т) + Гу1 =

л=1 /и=1

W(x,n„)K(y,vm)M nm(z)

NnDin

W(х, ц„ )К(y,vm )L(z,соА. )G„ k(т)

NnDmEk

(2.32)

где М„ m(z) = 7?jch(vz„z)+T?2sh(v,„z)+—

7 =-!-

A..V

m s i

, r. ]

^+Ri~ T

M//+vw7

Г Ca4 (

c4 2 2 C3 ’

n _ Mn+V,H V

- /

ch(v,„/?) a4 + a32 sVm2

Cl

—^-sh(v„,/7) + ch(v„,A)

+ sh(v,„A) ksvm + a23a4^

, = 2a2C2 (С08(фя) _ cos(pw/ + m) - cos(vm5 + v,„));

  • 3 = —^Чсо8(ф„) - cos(p„/ +
  • 4 = ^??(cos(cpw) - cos(p„Z + cpH ))(cos(v,n) - cos(v,„5 + ф,„ ));

^п9 т,

k ("0 m,

h s I

Gn,m,k^i^ = T,. )FF (x, ц„ Ж(у, v,„ )?(z, CO/. )]dxdydz;

0 0 0

a.,».* = fff[^i^^(xtg„W,v„)i(z,i)'|&

J J J p Г) oooL ^5 J

Таким образом, решение задачи (2.1), (2.12), (2.13) предлагается заменить решением задачи (2.24) - (2.26) и последовательным решением задач (2.28) - (2.31) для расчётных интервалов времени, в каждом из которых значения коэффициентов теплоотдачи от поверхностей плиты и мощностей индукторов отличаются от предыдущего не более чем на заданную величину.

Заметим, что аппроксимация индукторов отрезками прямых линий, общая длина которых равна длине реального индуктора, позволяет вычислять значения по формуле (2.33) аналитически и существенно уменьшать объём вычислений при получении значений Ti(x,y, z, т) по формулам (2.27), (2.32). Что касается суммирований в решениях (2.27), (2.32), то их предлагается осуществлять до тех пор, пока значения каждого из пяти последовательных слагаемых по абсолютной величине не станут меньше заданной точности вычислений.

При реализации этого подхода одной из основных проблем является определение расчётных интервалов времени. Анализируя кривые 2 на рис 2.1 и 2.2, можно сделать вывод, что в начальный период нагрева плиты скорость изменения коэффициентов теплоотдачи выше, чем скорость изменения мощности индукторов, а в конечный период наоборот. Поэтому решать задачу выбора шага по времени необходимо по результатам расчётов, как коэффициентов теплоотдачи, так и мощностей индукторов.

Для решения этой проблемы предлагается следующая методика. В начальный момент времени производится расчёт средних температур всех поверхностей плиты. При этих температурах определяются значения коэффициентов теплоотдачи и мощностей индукторов.

Далее значение времени нагрева увеличивается и производится пересчёт коэффициентов теплоотдачи от всех поверхностей плиты и мощностей индукторов, причём увеличение шага по времени нагрева производится до тех пор, пока разница между начальными и рассчитанными значениями коэффициентов теплоотдачи и мощностей индукторов не превысит заданной точности. Полученное таким образом значение времени нагрева станет начальным временем для следующей итерации.

По предложенной методике для индукционной нагревательной плиты с размерами 500x410 мм (см. рис. 2.3) при заданной точности 10% были получены результаты, представленные на рис. 2.4. Как видно, при такой точности оказалось необходимым разбить процесс первоначального нагрева плиты от температуры % = 12 °C до рабочей температуры 170 °C на 14 расчётных интервалов времени. Аналогично были рассчитаны количества шагов для других значений точности: при точности 15% - 10 интервалов, 20% - 8 интервалов, 25% - 6 интервалов.

Крышка

Пазы под крепёж

Рис. 2.3. Индукционная нагревательная плита 500x410 мм

Время нагрева, с

Рис. 2.4. Зависимость коэффициента теплоотдачи и мощности индукторов от времени нагрева плиты при точности 10%:

1 - мощность индуктора; 2 — коэффициент теплоотдачи

На наш взгляд, для реализации теплового расчёта индукционных нагревательных плит с применением метода конечных интегральных преобразований разница между предыдущим и последующим значениями коэффициентов теплоотдачи и мощностей индукторов в 20% оптимальна. Данная точность сопоставима с точностью расчёта коэффициентов теплоотдачи по критериальным уравнениям конвекции и точностью методики расчёта мощностей индукторов по соотношениям (2.2) - (2.11). В итоге при удовлетворительной точности достигается приемлемое время расчёта температурного поля плиты.

Алгоритм решения модели (2.1) - (2.23) с помощью МКИП

Рис. 2.5. Алгоритм решения модели (2.1) - (2.23) с помощью МКИП

Алгоритм МКИП, использованный для решения модели (2.1) -(2.23), представлен на рис. 2.5. В качестве условий окончания предыдущего расчётного интервала времени нагрева и начала следующего использовались неравенства:

|аГ -аА (т)| > 0>2а?г, к = 1,..., 6 и |0‘7 -0’/(т)| > O,20jr, j = 1, •••, ni, где а?г, Qi?T - значения А-го коэффициента теплоотдачи и мощности/-го индуктора для предыдущего расчётного интервала времени; ак (т), 0,-(т) - их текущие значения. Окончание текущего расчётного интервала времени регистрировалось при выполнении любого из этих условий.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >