Методы определения математического ожидания

Наиболее распространенной задачей является задача определения математического ожидания или среднего значения случайного процесса mi{x}. Для определения mi{x} обычно применяют метод усреднения по времени, имеющий ряд модификаций.

При использовании данных в дискретные моменты оценка mi{x} определяется соотношением

1 N-1

т|(х) = —^х(;Д0, (5.30)

N i=0

Т где N - количество наблюдений, N ---1.

Л?

Возможно нахождение оценки среднего значения по предварительно найденной оценке дифференциального закона распределения f (х) :

00

mx (х) = $xf(x)dx. (5.31)

Если f (х) определяется по реализации случайного процесса длительностью Т одновременно для всех значений х, то оценка среднего, полученная этим способом, тождественно совпадает с оценкой, полученной усреднением этой реализации за тот же интервал времени.

Методы определения моментных характеристик первого порядка выше аналогичных методов, используемых при нахождении оценки mi{x}. Так, определение оценки для начального момента к-го порядка для дискретных наблюдений осуществляется по формуле

Оценки первых четырех начальных момента используют для определения оценок дисперсии, асимметрии, эксцесса.

Оценка дисперсии:

ст2 (х) - т2 (х) - х (х))2.

(5.32)

Оценка коэффициента асимметрии:

< ('Из(Х)-3/И|(Х)'И2(Л:) + 2("!|(Х))3)

(5-33)

VXJA ^XJ — у

(m2(x)-(m,(x))2)/2

Оценка эксцесса:

  • 2 z-) _ (т4 (х) ~ з (*)mi (х) + 6пг2 (*)(»>, (х)2 - 3(т, (х))4 (m2(x)-(»i,(x))2)'2
  • • (5-34)

Оценка условной дисперсии вычисляется по формуле

г x(f) х(?) x(t) 2

  • (535)
  • -----------= т2--(/72,-----------)
  • (г + г) л(г + г) y„(t + r)

Методы определения функций корреляции

Задача экспериментального определения функций корреляции является одной из наиболее важных и широко распространенных в практике исследования случайных процессов. Разработаны многочисленные методы определения корреляционных функций. Рассмотрим наиболее распространенные из этих методов.

Мультипликационный метод. Является основным методом экспериментального определения функций корреляций. В случае дискретных наблюдений оценки корреляционной функции вычисляют по формуле

(т) = —--- + и) А/, т = п/М . (5.36)

При этом предполагается, что mrfx}. и mi{y}. известны и равны нулю. Рассмотрим алгоритм машинной оперативной корреляционной обработки случайного дискретного процесса, представленный в виде последовательности {ту} выборки, по алгоритму

^гх(г)=-Е-х/Ж(^)-п ,=1

(5-37)

Метод разложения функции корреляции в ряд. Этот метод также имеет широкое распространение. Чаще всего используется разложение по ортогональным полиномам Лаггера L„ (ат ). Известно, что автокорреляционная функция может быть представлена в виде ряда

Rxx(O = XbnLAaO- (5-38)

/=1

Здесь bn = j Rxx (т)е атаЬп(ат)с1т = — jx(t)yn (t)dt о о

y(ri} = J x(t -т)ае~атLn (ат)с1т . о

Таким образом, задача получения коэффициентов Ьп может быть решена путем усреднения по времени произведений исходной реализации x(t) и этой же реализации, пропущенной через линейный фильтр с весовой функцией:

Л„(г) = а'е’“г?„(аг),

что соответствует передаточной функции фильтра:

W =——--.

" (« + РГ1

По найденным значениям можно определить искомую функцию корреляции где к - число фильтров Лаггера (к = 5....6).

^„(r) = ^V„(ar),

(5-39)

Основным достоинством указанного метода является отсутствие элементов задержки.

Иногда может оказаться удобным и метод разложения Rxx(t ) в ряд Маклорена. В этом случае

00 а2'1

RXAO = x2(Z) + • (5.40)

Г? (2л)!

Здесь х (?) = —й~-

dt

Этот метод удобен в тех случаях, когда могут быть непосредственно измерены производные случайного процесса.

Метод, основанный на использовании двумерной плотности вероятности, позволяет вычислить Rxy(i) R из соотношения

ОО 00

= J xyf(x,y,z)dxdy, (5.41)

-00-00

где f(x,у,i) - двумерная плотность вероятности процессов y(t +т) и x(t). Следовательно, для определения оценки корреляционной функции необходимо иметь оценку двумерной плотности вероятности.

Метод дискретных апериодических выборок использует следующее соотношение для корреляционной функции:

(О = lim ^7 X У^‘ + > (5-42)

N /=0

где ti — моменты времени, в которых процесс x(t) пересекает уровень rj, т.е. x(h) = ц;

т| - константа, принимающая любые значения, кроме нуля.

Для нормальных случайных процессов показано, что существует оптимальное значение константы т|, равное V2 х сгх, при котором ошибка в вычислении функции корреляции за конечное время анализа минимальна.

Методы определения спектральной плотности

Спектральная плотность S(co ) позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность на различных частотах, или среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.

Поскольку спектральная и корреляционная функции случайного стационарного процесса связаны прямым и обратным соотношениями Винера-Хинчина

5(а>) = — j R(r)e~JMdT, _00

R(t) = S(a>'Mda>, (5.43)

то при изучении частотных свойств процесса достаточно определить любую из этих функций. Однако в ряде случаев определение S(co) является более предпочтительным.

Алгоритмы определения спектральной плотности можно разделить на четыре основные группы: алгоритмы, построенные на принципе узкополосной фильтрации; алгоритмы, использующие преобразование Фурье от реализации случайного процесса; алгоритмы, использующие аппроксимацию S(co) ортогональными полиномами, алгоритмы, основывающиеся на преобразовании Фурье от корреляционной функции.

Различают также методы получения спектральных характеристик последовательного действия, в которых анализ происходит последовательно на каждой частоте, и методы получения спектральных характеристик параллельного действия, которые позволяют анализировать S(a> параллельно во времени для нескольких значений частот. При этом следует отметить, что время изменения S(co ) для последовательного метода значительно больше, чем для параллельного.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >