Скорость газа и его расход при истечении из суживающегося сопла

В резервуар с идеальным газом, имеющим параметры pi, V], Т], вставлено сопло (рис. 7.2). В устье сопла параметры газа Р2, V2, Т2.

Истечение газа из суживающегося сопла

Рис. 7.2. Истечение газа из суживающегося сопла

График истечения газа из суживающего сопла

Рис. 7.3. График истечения газа из суживающего сопла

Если Р2 < Р/, газ будет вытекать. Принимаем, что при этом все параметры газа в резервуаре остаются постоянными. При истечении газ переходит из состояния с параметрами pi, vj, Т] в состояние с параметрами Р2, V2, Т2 (рис. 7.3, процесс 7-2).

Будем считать, что процесс изменения состояния адиабатный. При этом элементарная располагаемая работа

dl = —udp,

2

I = - j udp.

1

Элементарная заштрихованная площадь

dF =~vdp.

После интегрирования по процессу 7-2 получим площадь, ограниченную кривой процесса осью ординат и крайними абсциссами:

2 1

F1234 = -I^P = MP’ 1 2

которая пропорциональна располагаемой работе потока при истечении газа.

Для определения скорости потока при адиабатном истечении можно воспользоваться уравнением (7.8):

wdw = -vdp ?

После интегрирования по процессу 1-2 получим

2 2 Р Р2

Скорость газа на входе в сопло W] по сравнению со скоростью истечения (в устье сопла) W2 мала, поэтому принимаем W; = 0. Тогда

  • 2 Л v=-W-D
  • (7.17)

При адиабатном истечении

к к

pv = pjV] .

Отсюда

1

Подставим в формулу (7.17) значение v и проинтегрируем:

к-1

Выносим за скобки к

И’

PV

или

так как

Как видно, кинетическая энергия потока при адиабатном истечении газа в к раз больше работы адиабатного расширения -см. формулу ( 3.18).

Скорость истечения

VV =

о к

2--7ЛЦ

к-1

(7.18)

или

то есть при неизменном Р2/Р1 скорость истечения зависит от начальной температуры газа.

Массовый расход газа в единицу времени определяется из уравнения неразрывности

ть>2 =

или

/уг

/w

т = -— =

ь>2

Подставим в последнее уравнение вместо w его значение из уравнения (7.18):

о к

2 , Р»

к-1

к-1

Л Л—

1- ?1 к

Р ц — Р1)

2

После преобразований получим

(7.19)

Максимальный расход газа и критическая скорость при истечении из суживающегося сопла

Из уравнения (7.19) видно, что т будет иметь максимальное значение, когда подкоренное выражение

2 к+1

fPlV

р) IaJ

будет наибольшим. Обозначим

= v Pi

и исследуем функцию у на экстремум. Для этого ее первую производную приравниваем нулю:

, ~ 2-к 1

dy 2 — к + 1 --^ = —v к--vk =0.

dv к к

. 2-к к + 1 —

Разделив каждое слагаемое на-----V , получим

К

--v к = 0.

к + 1

Отсюда критическое значение v:

При

у

v кр.

к—1

+ 1>

функция у, а, следовательно, и массовый расход т будут иметь

максимальные значения. Подставив в выражение (7.19) вместо

Р,

— значение

Pi

2 к—1

k К + 1>

получим максимальный расход газа:

max

Подставив VKp, в формулу (7.18), получим максимальную (критическую) скорость истечения:

w кр

PP1

L, к

Wxp=2—iPlUl’

у V к + 1

Как видно из уравнений, максимальный расход и критическая скорость зависят от _ _ то есть от атомности газа.

К - 9

Си

Рассмотрим, как меняются массовый расход, скорость и удельный объем газа при изменении р2 и неизменном pj.

Уравнение (7.19) показывает, что при p2=pi т = 0. С р, уменьшением р2 т увеличивается, а при значении 2_2_ чуть

Л больше 1/2 массовый расход т достигает максимума (рис. 7.4а, сплошная линия в правой половине). При дальнейшем уменьшении р2 т уменьшается, и при р2=0 т=0;т.е. в вакуум истечение газа не происходит (рис. 7.4а, пунктирная линия в левой половине).

При адиабатном истечении

1

/ V

*

^2=Ц — •

VPlJ

В этом выражении при p2=pi, V2=V] с уменьшением р2 t>2 увеличивается сначала медленно (рис. 7.56, сплошная линия в правой половине), затем - быстрее, стремясь к бесконечности при р2 = 0 (рис. 7.46, пунктирная линия).

Формула (7.18) показывает, что при p2=pi w = О, с уменьшением р2 увеличивается w сначала резко (рис. 7.4в, сплошная линия в правой половине), затем - медленнее и при Р2 = 0 достигает значения wmax (рис. 7.4в, пунктирная линия).

Таким образом, в правой половине диаграмм (сплошные линии) рост скорости истечения опережает рост удельного объема, поэтому массовый расход, как видно из выражения

/w т = —

О2

увеличивается.

В левой половине диаграмм (пунктирные линии) рост w отстает от роста V2, массовый расход убывает, и при р2 = О, Ц=ОО, а /77=0. Так получается в соответствии с уравнениями (7.18) и (7.19). На практике происходит по-другому.

Результаты, полученные опытным путем, показывают, что правая половина диаграмм т = m(v),

l>2=d2(v), w = w(v) в общем соответствует действительности. Однако, достигнув максимума, при дальнейшем уменьшении р2 массовый расход остается постоянным и равным .

Максимальному расходу соответствует критическое давление в устье сопла

в

Рис. 7.4. Графики зависимости: а - массовый расход;

б - удельный объем;

в - скорость от давления окружающей среды р2

Р2кР, при котором скорость истечения становится равной скорости звука, (критической скорости wKp), а удельный объем - критическому объему (р2 = V2Kp) - сплошные линии в левой половине диаграмм.

Постоянство расхода объясняется тем, что при уменьшении давления окружающей среды давление в устье сопла не опускается ниже р2Кр, так как импульс давления распространяется в среде со скоростью звука.

Пока скорость истечения меньше скорости звука (критической скорости), уменьшение внешнего давления передается по потоку газа внутрь канала, и в выходном сечении канала давление понижается.

Если скорость истечения равна скорости звука (критической скорости), импульс уменьшения давления не проходит внутрь канала, и в устье канала давление остается постоянным и равным р2кр.

По этой же причине остаются постоянными удельный объем

»2 = »2кр и скорость

W = WKp (сплошные линии в левой половине диаграмм). Следовательно, формулу (7.19) можно считать правильной и для левой части графика, если понимать под р2 не давление среды, куда происходит истечение газа, а давление в устье сопла.

Таким образом, путем понижения давления в среде ниже критического нельзя добиться такого же понижения в устье сопла, а следовательно, нельзя в нем получить скорость истечения выше скорости звука.

Все изложенное относится к суживающемуся соплу, с помощью которого можно получить скорость истечения газа не более скорости звука.

Чтобы получить сверхзвуковую скорость, нужно понизить давление в устье сопла ниже критического р2Кр- Достигается это путем присоединения к суживающемуся соплу расширяющейся части. Такое сопло предложил шведский инженер Лаваль, и оно получило название сопла Лаваля (рис. 7.5).

Сопло Лаваля

Рис. 7.5. Сопло Лаваля

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >