ИСТЕЧЕНИЕ И ТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ ПО КАНАЛАМ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Аналитическое выражение первого закона термодинамики для потока

В предыдущих главах рассматривались газы и пары, находящиеся в неподвижном состоянии (закрытые системы). Однако имеется достаточно много машин и аппаратов, в которых газ перемещается - например, паровые и газовые турбины, ракетные двигатели и другие (открытые системы).

Для 1 кг газа без внутренних источников работы, движущегося в неподвижном канале, уравнение первого закона термодинамики можно записать в виде

Sq = du +

где 81' - работа против внешних сил (работа проталкивания га-щ²

за по каналу); d — - изменение внешней кинетической энергии 1 кг газа в потоке - располагаемая работа.

Если поток совершает полезную техническую работу 81 _т, уравнение первого закона термодинамики будет иметь вид

Я’ Я

8q — du + 61 + d--h 8lj. (7.2)

В этом случае располагаемая работа + Последнее

2 уравнение справедливо как для обратимых, так и для необратимых процессов.

Чтобы определить работу проталкивания в канале переменного сечения, по которому движется газ, выделим в этом канале элементарный объем сечениями I-I и П-П (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Течение газа по каналу переменного сечения

Поток газа будем считать стационарным. При этом параметры р, v, Т по длине канала могут быть разными, но в каждом сечении, к которому они относятся, остаются постоянными во времени. Осуществляется условие неразрывности потока, то есть через любое сечение канала в единицу времени протекает одинаковая масса рабочего тела:

_ /1^1 _ Л^2 _ ₌

(7.3)

где - сечения канала; wi...w_n - скорости рабочего тела в соответствующих сечениях; V]...v_n - удельные объемы в этих сечениях.

В сечении I-I площадь сечения канала/, давление рабочего тела р, скорость - w, в сечении П-П площадь сечения / + df, давление р + dp, скорость w + dw.

В сечении I-I действует сила pf, в сечении П-П - сила (p+dp)(f+df), противодействующая силе pf. Каждая сила совершает свою работу, алгебраическая сумма которых будет работой dL', затраченной на проталкивание элементарного объема газа массой m за единицу времени:

8L' = (р + dpf+df w+dw) - pfw.

Раскрываем скобки:

dL'= (pf+pdf + fdp + dpdf) (w + dw)-pfw = pfw +

+ wpdf + wfdp + wdpdf + pfdw 4- pdfdw 4- fdpdw 4- dpdfdw - pfw.

Отбрасываем величины малого порядка (произведение двух и трех дифференциалов):

SL' = wpdf + wfdp + pfdw',

dL'= p(wdf + fdw) + wfdp = pd(wf) + wfdp.

Из выражения (7.3) следует, что

fw= riiu>,

тогда

dL' = pd(mv) + mudp = mfpdv + vdp) = md(pij)

8L'= pd(mv) + mvdp = m(pdv + vdp) = md(pv).

Разделим правую и левую части полученного равенства на массовый расход т и получим элементарную удельную работу проталкивания:

dl'=d(pv). (7.4)

Равенство (7.4) подставим в уравнение первого закона термодинамики (7.1):

w² w²

dq = du + d(pv)+ d— = d(u + pv)+d —,

Аналитическое выражение первого закона термодинамики (7.5) показывает, что теплота, подведенная к рабочему телу в потоке, расходуется на изменение его энтальпии и кинетической энергии.

Из сопоставления уравнения первого закона термодинамики для открытой системы (7.1):

dq = du + ol +d —

и уравнения

dq = du + pdv

видно, что

pdu = 81’+ d~Y>

то есть работа расширения pdv затрачивается на проталкивание газа по каналу и на увеличение скорости потока.

Из уравнения (7.6) определяем располагаемую работу:

w²

d^- = pdv-8l'.

Вместо dV подставим его значение из формулы (7.4):

2

d— - pdv-d(pv)= pdv-vdp-pdv,

w¹

d--——udp (7.7)

или

wdw = -udp ? (7.8)

Уравнения (7.7), (7.8) являются уравнениями первого закона термодинамики для обратимого адиабатного течения газа; из них видно, что dw и dp имеют противоположные знаки. Если dp > 0, газ сжимается и его скорость уменьшается (Jvv < 0). И наоборот, если dp < 0, газ расширяется и его скорость увеличивается (dw > 0).

Рассмотрим, как воздействует на поток, а именно на скорость и на параметры состояния газа, изменение сечения канала, по которому течет газ.