Решение уравнений

С помощью системы MathCAD можно решать одно уравнение с одним неизвестным и системы уравнений с несколькими неизвестными.

будет следующим (рис. 16):

х1 := -5

х2 := -4.9

хЗ := 10

х := xl,х2.. хЗ

2

у1 (х) := х + 5-х

у2(х) := 10-х + 20

1.4.1. Графический метод решения уравнения

Графическим методом решаются уравнения вида:/(х) = const или fi(x) = f₂(x). В общем виде решение уравнений графическим методом основано на нахождении точек пересечения графиков, отражающих изменение значений функций левой и правой частей уравнения в интересующем нас интервале. Для этого определяют интервал изменения аргумента х, в котором предположительно находится интересующий нас корень уравнения. Если интервал большой, то не следует задавать слишком частый шаг изменения аргумента х, так как это приводит к большим затратам времени на решение уравнения и необоснованным затратам оперативной памяти, а если интервал маленький, то шаг изменения следует выбирать такой, чтобы не пропустить некоторые корни уравнения. Затем определяются две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения. Например, алгоритм решения уравнения вида х² + 5х = 1 Ох + 20

Точки пересечения графиков функций у1(х) и у2(х) будут корнями уравнения fl(x)=f2(x). Изменяя соответствующим образом интервал

изменения х от х1 до хЗ, а также шаг его изменения х2-х1, можно найти решение уравнения

практически с любой точностью. При наличии нескольких корней их можно найти последовательно.

Рис. 16. Решение уравнения графическим методом

1.4.2. Аналитическое решение уравнения

Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция root(). Аргументами этой функции являются выражение и переменная, входящая в это выражение. Находим значение переменной, при которой выражение обращается в ноль, т.е. решается уравнение вида F(x)=0. Функция root() возвращает значение переменной, которое обращает выражение в ноль.

В общем виде функция root() записывается: root(F(x), х) или root(F(x), х, xl, х2), где х - имя переменной с заданным начальным приближение искомого корня (обычно находится графическим методом); xl и х2 - интервал в котором находится корень уравнения w

Поскольку поиск ведется итерационным методом, перед решением следует задать начальное приближение переменной х, значение которой определяется с помощью функции root(). Выбор начального приближения х влияет на значение найденного корня (если выражение имеет несколько корней). В этом случае их можно найти последовательно, используя функцию root() при разных начальных приближениях искомой переменной или задавая нужный интервал xl-х2.

Например, алгоритм нахождения корней уравнений х² + 5х = Ют 4- 20 можно представить следующим образом (рис. 16.):

х:= -2.5

root(yl(x) - у2(х),х) = -2.623 root(yl(x) - у2(х),х,-5,3) = -2.623 root(yl(x) - у2(х),х,5,10) = 7.623

х:=7.5

root(yl(x) - у2(х),х) = 7.623

Решение уравнения аналитическим методом

минимумы или максимумы

В некоторых случаях после попытки решения Mathcad не может найти подходящего решения, и тогда появляется сообщение об ошибке. Ошибка может быть вызвана следующими причинами:

• - уравнение не имеет корней;
• - корни уравнения расположены далеко от начального приближения;
• - выражение имеет локальные между начальным приближением и

корнями.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график функции F(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения F(x)=0 и, если они есть, то определить приблизительно их значение. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее и точнее функция root() найдет значение корня с заданной погрешностью.

1.4.3. Решение систем уравнений

Mathcad дает возможность решать системы уравнений. Результатом решения будет численное значение каждого из корней. Для решения системы уравнений следует выполнить следующие действия:

• - определить начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;
• - указать ключевое слово Given перед определением системы уравнений;
• - определить уравнения системы. Между левыми и правыми частями определены символы логических операторов: равенство «=», «>», «<» и др.
• - ввести выражение, содержащее функцию Find() в виде: Find(Varl, Var2, ... ,VarN). Число аргументов функции Find() должно быть равно числу неизвестных. Если функция Find() имеет более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора значений.

Ключевое слово Given, уравнения системы и функция Find() называются блоком решения уравнений.

Если в результате решения уравнений не может быть найдено решение, то выдается сообщение об ошибке. Если при поиске решения встречаются трудности, то полезно вывести те или иные графики, связанные с системой. Анализ графика может облегчить поиск области, в которой может находиться искомое решение. Это поможет выбрать начальное приближение. Причиной сообщения об ошибке может быть следующее:

• - поставленная задача не имеет решения;
• - в процессе поиска решений последовательность приближений попала в точку локального минимума. В этом случае необходимо использовать другие начальные приближения или добавить ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального минимума;
• - данная задача не может быть решена с указанной точностью.

Если в процессе решения системы уравнений с помощью функции Find() решение не найдено, то вместо функции Find(), для предварительных оценок, можно использовать функцию MinErr(). Правила использования функции MinErr() такие же, как и функции Find(). Отличие функций MinErr() и Find() заключается в том, что МтЕгг() возвращает значение одной переменной или значения элементов вектора переменных, отвечающее приближенному значению с минимальной среднеквадратичной погрешностью.

Сообщения об ошибках

Как уже упоминалось, система Mathcad при неправильной работе выдает сообщение с указанием типа ошибки. Некоторые, наиболее часто встречающиеся ошибки приведены в таблице 3.

Таблица 3 Наиболее характерные ошибки в системе MathCAD