Классификация картографических проекций

2.2. Классификация картографических проекций

Проекции классифицируются по следующим основным признакам:

  • — по характеру искажений;
  • — по виду нормальной сетки параллелей и меридианов;
  • — по ориентировке вспомогательной поверхности.

По характеру искажений различают проекции:

  • 1. Равновеликие, в которых на карте отсутствует искажение площадей р = const = 1:
  • 1 1 со т — п

р = т п-, т = ~ п = — tg— = .

п т 2 2

2. Равноугольные, в которых на карте отсутствует искажение углов, вследствие этого в них не искажаются формы фигур, а масштаб длин в любой точке остается одинаковым по всем направлениям.

Основные зависимости: т = п = а = Ъ = ц0; со = 0; р = а1.

В этих проекциях карты больших территорий отличаются значительным искажением площадей.

3. Произвольные, в которых искажаются углы, площади и длины линий. Однако среди них особое место занимают проекции равнопромежуточные, в которых масштаб длин по одному из главных направлений сохраняется постоянным, т. е. а = 1 или b = 1; р = а или р = Ь;

.со а-Ь

sin— =----.

2 a + b

Если проекции рассчитываются под условием не искажения масштаба по меридианам, то т = 1; р = 1;

со т-п 1 -

sin — =----= ----

2 т + п 1 + П/

Нормальной сеткой называется сетка меридианов и параллелей, когда полюс используемой сетки координат совпадает с географическим полюсом.

По виду нормальной сетки проекции подразделяются на:

— конические, когда поверхность эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного к нему (рис. 2.1, а) или секущего его конуса (рис. 2.1, б), азатем последний разрезается по образующей его линии и развертывается в плоскость.

В конических проекциях параллели — это дуги одно-центренных окружностей, а меридианы — прямые линии, сходящиеся в одной точке (полюсе) под углами, пропорциональными разности долгот (рис. 2.1, в).

Частные масштабы и искажения зависят только от широты, поэтому изоколы имеют вид дуг концентрических окружностей и совпадают с параллелями;

— цилиндрические, в которых поверхность эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного (рис. 2.2, а) или секущего (рис. 2.2, б) цилиндра, после чего последний разрезается по образующей и развертывается в плоскость.

В этих проекциях меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели также прямыми, перпендикулярными к меридианам.

Частные масштабы зависят только от широты, поэтому изоколы совпадают с параллелями и имеют вид прямых;

— азимутальные, когда проектирование эллипсоида осуществляется на касательную или секущую его плоскость. В этих проекциях меридианы нормальной сетки изображаются прямыми, исходящими из одной точки

Рис. 2.3

под углами, пропорциональными разности долгот, а параллели — концентрическими окружностями с центром в точке пересечения меридианов (рис. 2.3).

Частные масштабы и искажения в азимутальных проекциях являются функциями широты, поэтому изо-колы совпадают с параллелями. Общий вид азимутальной проекции приведен на рис. 2.4;

  • — псевдоцилиндрические (рис. 2.5, а), в которых параллели — прямые линии, перпендикулярные к прямолинейному осевому меридиану, остальные меридиа ны — кривые (синусоиды, эллипсы), симметричные относительно осевого;
  • — псевдоконические (рис. 2.5, б), когда нормальная сетка имеет низ: параллели — дуги концентрических окружностей, меридианы — кривые, симметричные относительно осевого прямолинейного;
  • — поликонические (рис. 2.5, в), в которых параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей с радиусом тем большим, чем меньше широта; средний меридиан — прямая линия, на которой расположены центры всех параллелей; остальные меридианы — кривые линии;
  • — псевдоазимутальные (рис. 2.5, г), когда параллели — концентрические окружности, а меридианы — кривые, за исключением двух взаимноперпендикулярных.

а б в г

Рис. 2.5

Наиболее полно виды искажений можно представить с помощью эллипса искажений. В теории картографических проекций доказывается, что бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида в общем случае изобразится на плоскости эллипсом, называемым эллипсом искажения.

экватор

Рис. 2.6

В равноугольных проекциях окружность, взятая на поверхности эллипсоида, будет изображаться окружностью, но со значительным искажением площади (рис. 2.6, а).

В равновеликих при сохранении площадей искажаются углы и длины линий (рис. 2.6, б).

В равнопромежуточных при т = 1 сохраняются промежутки по меридиану (малая ось эллипса), а масштаб по параллелям увеличивается со значением широты (для п = 1 — наоборот)(рис. 2.6, в);

— по ориентировке вспомогательной поверхности проекции могут быть нормальными, косыми и поперечными.

У нормальных проекций ось вспомогательной поверхности совпадает с осью земного эллипсоида; у поперечных — перпендикулярна ей (рис. 2.7, а); у косых азимут направления оси располагается в пределах от 0°до 90° (рис. 2.7, б).

а

б

? 2.3. Проекция Гадсса-Крюгера___________________

При создании средне- и крупномасштабных тематических карт чаще всего используется равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса — Крюгера. Это объясняется тем, что основным источником при камеральном способе создании карт такого масштаба служат карты топографические, созданные, в свою очередь, именно в этой проекции.

История применения проекции Гаусса — Крюгера в нашей стране началась в 1928 г. на эллипсоиде Бесселя для составления топографических карт масштаба крупнее 1:500 000, а с 1939 г. — и для масштаба 1:500 000.

В апреле 1946 г. Постановлением Правительства были утверждены новые исходные данные, характеризующие систему координат 1942 г., и в качестве математической поверхности Земли был принят эллипсоид Красовского со следующими параметрами:

большая полуось (а) — 6 378 245 м;

малая полуось (Ь) — 6 356 863 м;

сжатие (а)— 1:298,3.

Определение точных параметров эллипсоида вращения — задача очень сложная, и на протяжении многих десятилетий эти параметры, полученные разными способами и различными инструментальными средствами, постоянно уточняются. Например, в 1984 г. на основе спутниковых измерений специалистами нескольких стран были определены параметры так называемого международного эллипсоида WGS-84 (World Geodetic System)2:

большая полуось (а) — 6 378 137 м;

малая полуось (Ь) — 6 356 752 м;

сжатие (а) — 1:298,3.

Таким образом, чем точнее определены параметры эллипсоида, т. е. чем ближе математическая поверхность к поверхности геоида, тем, в конечном счете, меньше величины искажений в рассчитанных картографических проекциях.

В 1825 г. Гаусс решил задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением углов, а в 1912 г. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. Проекция получила полное название: равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса — Крюгера.

В проекции Гаусса —Крюгера поверхность эллипсоида на плоскости отображается по меридианальным зонам, ширина которых равна 6° (рис. 2.8). Меридианы и параллели изображаются кривыми линиями, симметричными относительно осевого меридиана зоны (прямая линия) и экватора. Однако кривизна меридианов настолько мала, что западные и восточные рамки карты изображаются прямыми линиями. Параллели, совпадающие с южной и северной рамками карты, изображаются прямыми на картах масштаба 1:50 000; на картах

а)

Рис. 2.9

более мелкого масштаба они изображаются кривыми линиями.

Каждая зона проектируется на поверхности своего цилиндра, касающегося эллипсоида по осевому меридиану зоны (рис. 2.9, а). Развернув поверхность цилиндра на плоскость, получают изображение зоны (рис. 2.9, б).

В каждой зоне проекции Гаусса — Крюгера своя система координат: за ось X принимают осевой меридиан зоны; за ось Y — экватор.

Для территорий, лежащих к северу от экватора, абсциссы положительны, ординаты отрицательны к западу от осевого меридиана.

Долгота осевого меридиана зоны Lo определяется по формуле: Lo = 6N3 3°, где N3 номер зоны,

N3 = Nkoa — 30, т. к. счет колонн идет с запада на восток против хода часовой стрелки от Гринвичского меридиана с долготой L = 0°.

Масштаб длин по меридиану в проекции Гаусса — Крюгера определяется из соотношения

т=1+Х

2R2

где R — радиус Земли;у—ордината в проекции Гаусса — Крюгера. Из формулы видно, что на осевом меридиане, гдеу=0, там величина т = 1, т. е. осевой меридиан передается на плоскость без искажения, а величина искажения

1 у2

ш—1 =

2R2

зависит от значения ординаты, т. е. чем больше значение у, тем дальше от осевого меридиана зоны расположена картографируемая территория и тем больше величина искажения.

Площадь в проекции Гаусса — Крюгера всегда больше площади на поверхности эллипсоида и определяется по формуле

Pv 1+Лг ;

г R ' следовательно, площади искажаются тем сильнее, чем дальше от осевого меридиана расположена картографируемая территория.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >