Постановка задачи определения распределения финансовых ресурсов в оптимальном портфеле Марковица

Пусть г,-, i=l....,n есть доля ЦБ А, в произвольном портфеле П: n=viAi+...+VnAn. Основные параметры портфеля определяются в соответствии с выражениями (3.3) и (3.4).

Необходимо выбрать доли v/ + ...+v„ таким образом, чтобы значение функции U для результирующего портфеля П=(ап, гп) было максимальным:

чс p(/atai >Xvz) -*max(зп)

Ум»1 ' " ’ ’ .=1

Ограничениями в задаче выступают условия (3.6) и (3.7): v,+...+v„=7, (3.8)

0f

Условие (3.8) показывает, что доли в сумме должны составлять единицу, а условие (3.9) говорит о том, что ЦБ нельзя брать взаймы и давать в долг. Применительно к безрисковой бумаге условие v. > 0 не учитывается.

Данная задача (3.7) - (3.9) определения условного экстремума решается известными методами математического анализа (например, методом множителей Лагранжа, сводящей задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум). Для получения конкретных результатов важно знать вид функции полезности. Наименее сложна задача определения портфеля с заданной доходностью и минимизацией риска. Доли риска в данном случае будут

определяться в соответствии с выражением г' - г„

v =---------=- V1 (г - гД).

  • (r-r0I) V (г-г01)
  • (3.10)

где v = (v,,...,vn)r- вектор долей рисковых активов в портфеле; V =(Cov(R ./?,))",., - матрица ковариаций случайных величин R,, г = (г,,...,гп)г -ожидаемые доходнос ти рисковых активов. Го - доходнос ть безрискового актива, I = (l,...J)r - вектор-столбец, все координаты которого равны единице.

Рассмотрим демонстрационный пример определения долей облигаций в инвестиционном портфеле.

Дано: сформирован оптимальный портфель, состоящий из облигаций трех эмитентов: Авангард, ВТБ, Газпром. Число временных интервалов наблюдения равно 3. Доходности облигаций в заданных временных интервалах наблюдения распределены следующим образом: Авангард: 0,175; 0,169; 0,178; ВТБ - 0,189; 0,195; 0,197; Газпром - 0,167; 0,171; 0.163.

Найти: доли облигаций в портфеле.

Решение. Среднее значение доходностей облигаций найдем по формуле (3.3):

- 0,175 + 0.169 + 0,178

г. = —------------— = 0,174,

- 0.189 + 0.195 + 0,197

г'- 3

- 0.167 + 0.171 + 0.163

г, =-----------------------

3

Получим вектор средних доходностей: '0,174 0,193(6)

0,167

Матрица ковариаций определяется следующим образом:

ст,, = ((0,175 - 0.174)2 + (0.169 - 0.174)2 + (0.178 - 0,174)2 )/3 = 1,4е - 05, <7,, = ((0.175 - 0.174)(0,189-0.193(6)) + (0.169-0.174)(0,195 - 0.193(6)) + (0.178 - 0.174)(0.197 -193,3(6)) /3 = -6,6(6)7

Аналогично вычисляем остальные значения. Получаем:

1,4г-05

сг= -6,6(6)7г-07

  • -1,2г-05
  • -6,6(6)г-07 1,15(5)6е-05 2,6(6)7г-06
  • -1,2г-05 -2,6(6)7г-06 1,06(6)7е-05

Обратная матрица к матрице ковариаций равна:

-1,225019088е 4- 21 - 2,6250409028г + 20 -1,4437724965г + 21

о-"1 = - 2,6250409028г + 20 - 5,6250876488г +19 - 3,0937982068г + 20

- 1,4437724965г + 21 - 3.0937982068г + 20 -1,7015890138г + 21

Доли облигаций в портфеле найдем по формуле (3.10). Получим:

  • -1,225019088с- + 21 - 2,6250409028г + 20 -1,4437724965с- + 21 1
  • - 2,6250409028г + 20 - 5,6250876488с- +19 - 3,0937982068с- + 20 х 1
  • - 1,4437724965с* + 21 - 3,0937982068с- + 20 -1,7015890138е + 21 |_1_
  • 11 ?Л.225019088г+ 21 ~^2.6250409028г + 20 ~1.4437724965г + 21 Т1
  • 1 х- 2.6250409028е + 20 -5.6250876488г+ 19 - 3.0937982068г + 20 х 1
  • 1 -1.4437724965г+ 21 - 3.0937982068г - 20 -1.7015890138г+ 21 1

Общая доходность портфеля, рассчитываемая по формуле (3.3), составит:

["41,791

пгр = [0,174

  • 0,193(6) 0,167]х 8,96 = 17,23%-
  • 49,25
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >