Синтез и качество переходных процессов систем автоматизации и защиты от растяжки

В п. 3.2 проводится исследование систем автоматического транспортирования и защиты от растяжки с целью определения зоны выбора варьируемых параметров систем. Полученные рекомендации должны облегчить практическую настройку этих систем и обеспечить получение практически монотонных, без колебаний и перерегулирований переходных процессов. Такое исследование особенно существенно для системы защиты от растяжки, поскольку возможность испытания этой системы с целью ее настройки без предварительных рекомендаций на действующем экскаваторе в полном объеме весьма ограничена, так как это связано с реальными аварийными режимами или близкими к ним.

Исследование проведем для режима защиты от растяжки, как наиболее опасного при движении порожнего ковша к стреле с мак-симально возможными скоростями приводов подъема и тяги.

Переходные процессы в исследуемой системе защиты от растяжки описываются системой уравнений 12-го порядка (3.26)— (3.37), из которой следует, что система управления электроприводами в режиме растяжки ковша относится к многосвязной однотипной системе автоматического регулирования (МОСАР) с симметричными обратными перекрестными связями.

Функциональная схема системы защиты от растяжки представлена на рис. 3.3.

Высокий порядок системы существенно затрудняет исследование ее аналитическими методами, поэтому рассмотрим возможность упрощения приведенной системы уравнений. Для этого воспользуемся одним из эффективных приемов исследования МОСАР методом декомпозиции [47], который предусматривает для МОСАР с симметричными обратными перекрестными связями исследование двух движений: усредненного и относительного [47]. Дифференциальные уравнения, описывающие эти движения, имеют тот же порядок, что и дифференциальные уравнения, описывающие процессы в одной изолированной сепаратной системе регулирования [47].

При исследовании системы сделаем следующее допущение: на идентичные входы обоих сепаратных каналов подаются одинаковые возмущения. Это допущение обосновано тем, что предполагается подача максимальных возмущающих сигналов, что соответствует оо

оо

Функциональная схема системы защиты от растяжки наиболее опасному режиму

Рис. 3.3. Функциональная схема системы защиты от растяжки наиболее опасному режиму. Результаты же исследования можно распространить на менее опасные режимы. Принимая во внимание данное допущение, систему необходимо исследовать только в усредненном движении. Далее отметим, что система защиты от растяжки представляет МОСАР с идентичными передаточными функциями в обоих каналах, и, следовательно [47], достаточно изучить процессы регулирования в одном сепаратном канале. Использование этих рекомендаций позволяет снизить порядок исследуемой системы до шестого.

Система защиты от растяжки, упрощенная функциональная схема которой дана на рис. 3.4, представляет собой кусочно-линейную систему. Характеристики кусочно-линейных элементов этой системы состоят из отрезков прямых, а следовательно [66], можно применять для изучения ее устойчивости методы исследования линейных систем.

Процессы в кусочно-линейных системах характеризуются нарушениями гладкости в моменты переключения [96]. В связи с этим для получения надежных результатов при математическом описании рассматриваемых систем целесообразно использовать аппарат обобщенных функций [62], применение которого исключает необходимость пересчета начальных условий при переключениях.

Упрощенная структурная схема системы защиты от растяжки

Рис. 3.4. Упрощенная структурная схема системы защиты от растяжки

Пользуясь методикой, изложенной в [62], определим передаточную функцию исследуемой системы. На основании уравнений движения отдельных звеньев (3.3), (3.5), (3.8), (3,15), (3.22) и ус редняя значения входных и выходных координат [47], запишем следующую систему дифференциальных уравнений в обобщенных производных, описывающую динамику системы защиты от растяжки:

TypDUyp =—Uyp +Kgl + КС+,

TJ>U„ = -КЗЛК^КЭУ+ + КзлКрмКаЩр,

TVD пр + епр = (3.40)

+ 4^я = епр^Е^+,

mQDV+ = КГ1Я - Fc+,

Dl+ = 2V+,

где V+ среднее значение первой входной координаты; Fc+ среднее значение второй входной координаты; 1+ — среднее значение выходной координаты.

Систему уравнений (3.40) можно записать в матричной форме, которая является нормальной формой системы:

УР.Т

? пр

И+

1+

о о «21 о о

0 а31 а32 0 0 я4|

ООО ООО

  • 0 о12 «13
  • 0 а22 0

ООО д42 «43 о

«5) о о

0 1 о

и,*

«14

0

0

0

? '-'пр

+

0

0

0

0

у+

0

а52

/+

1

0

(3.41)

Уравнение (3.41) является уравнением состояния линейной модели рассматриваемой системы защиты от растяжки. Уравнение

/+=||0 0 0 0 0 1||

уу.р

Е пр

4

и+

/+

(3.42)

представляет собой уравнение выхода. Вектором состояния и вектором входного сигнала являются соответственно векторы

^р.т ?

пр Л и+ /+

(3.43), (3.44)

Введя обозначение:

а

0

0

0

«12

«13

«14

0

а2

0

0

0

«22

0

0

0

0

аз

а32

0

0

0

= А,

0

0

= G,

0

0

а4

«42

«43

0

0

0

0

0

0

«51

0

0

0

«52

0

0

0

0

1

0

1

0

(3.45), (3.46)

И ||0 0 0 0 0 11| = В,

(3.47)

можно записать (3.41) и (3.42) так:

DY=AY+GY,

X=BY,

(3.48)

где X — выходной сигнал, представляет собой однокомпонентный вектор /+: %= 7+.

Коэффициенты матриц А и С даны в прил. 3.

Найдем передаточную функции и характеристический полином системы.

Запишем уравнение (3.48) в операторной форме [62]:

  • (?р-Л)Г(р) = №(р), Др) = 5Г(р).
  • (3.49)

Характеристический полином системы (3.48) имеет вид

Р~а

0

0

0

«12

-«13

~

0

0

0

"«22

0

Р(р) = det(?p — Л) =

  • 0
  • 0

“«31 0

Р"«32

“«41

0 р-«42

  • 0
  • -«43
  • 0
  • 0

0

0

0

"«51

0

0

0

0

0

0

-1

0

= В6р6 + В5р5 + В4р4 + В3р3 + В2р2 + + К„)р + Ve. (3.50)

Коэффициенты выражения (3.50) даны в прил. 3. Величины Ve и Vv являются коэффициентами усиления разомкнутой системы по сумме длин канатов и сумме скоростей приводов и считаются варьируемыми параметрами:

Ve = K& Kg,Vv = Ka Kc.

Передаточной функцией системы с уравнениями движения (3.48) согласно [62] будет следующая матрица:

W(p) = B(Ep-AylG. (3.51)

Находя матрицу (?рА) 1 и умножая ее на матрицу В, находим

В(Ер - Л)-!=(0 0 0 0 0 1) (?р - Л)’1 =

= Р(^)Р16(р) ^26(р) ^36(р) ^46(р) ^56(р) ^6(р> II’

и w(p) В(ЕР — А) *<7- Аб(Р) Аб(Р) ^зб(р) Аб(Р) Аб(Р) Аб(Р) ||х

«14

0

0

0

z

0

0

д14Аб(р)Аб(Р)

а52^56(р)

X

0

0

р(р)

Р(Р)

0

«52

1

0

(3.52)

где Ау — алгебраическое дополнение элемента матрицы Ер—А, стоящего в i-й строке и в j-м столбце.

Таким образом, передаточная функция есть матрица, имеющая одну строку по числу выходов и два столбца по числу входов.

Передаточная функция от первого входа к первому выходу имеет вид:

В6р5В5р4В4р3В,р2+В + (И,.-ИДУ) + В2

р) =----т-----z---------------------------------—. (3.53)

В6р65р54р4+В,р32р2 +(B + rv)p + re

Таким образом, с помощью матричных преобразований получена передаточная функция системы защиты от растяжки. Для обеспечения синтеза системы необходимо определить величины Ve и Vv (варьируемые параметры), входящие в (3.53). При этом целесообразно воспользоваться методом Д-разбиения в плоскости двух варьируемых параметров |1; 101; 68].

Высокий порядок системы вызывает определенные трудности при ее исследовании, в связи с этим целесообразно понизить ее порядок путем отбрасывания членов с производными выше четвертого порядка и произведя корректировку коэффициентов при третьей и четвертой производных [86; 17]. Границу области устойчивости исходной системы в плоскости варьируемых параметров (кривая 5 на рис. 3.5) можно построить по выражениям [86; 17]:

Ve = - fi4w4 + B2w2,

Vv =—B5w4 + B3w2 — b. (3.54)

Исследования показали, что упрощение исходной системы целесообразно проводить из условия обеспечения минимального от клонения границ областей устойчивости исходной и упрощенной системы. Исходя из этого были выделены точки D и С (см. рис. 3.5), характерные для кривой области устойчивости и определяющие пределы изменения варьируемых параметров внутри области устойчивости. Точка С — пересечение кривой Д-разбиения с осью Vv, а точка D — экстремум этой кривой. Таким образом, для обеспечения идентификации исходной и упрощенной системы необходимо, чтобы граница области устойчивости упрощенной системы про-dV

ходила вблизи этих точек. Решая уравнения К = 0, —- = 0 и пре-dw

небрегая малыми коэффициентами при старших производных, можно определить величины wd и wc [86]:

Значения параметров системы, при которых производятся расчеты, приведены в прил. 3.

Характеристическое уравнение четвертого порядка имеет вид:

+ ВУ + (b+ Vv)p + Ve = 0, (3.57)

где А4 и А3 — скорректированные коэффициенты характеристического уравнения четвертого порядка, обеспечивающие близость границ областей устойчивости для упрощенной и исходной систем:

(3.58)

а3 = в35

(3.59)

Подставляя значения величин wj и wf в (3.58 и 3.59), получим новые выражения для А4 и А3 (значения даны в прил. 3):

D

А4 = В4-3/4—?-В2;

в4

d ( R

Я3 = В353/4-^+«75/8|-^ I .

(3.61)

Диаграмма положения ближайших полюсов и нулей системы в плоскости варьируемых параметров

Рис. 3.5. Диаграмма положения ближайших полюсов и нулей системы в плоскости варьируемых параметров:

/ — граница области устойчивости скорректированной системы 4-го порядка;

2— граница области апериодичности; 3 — верхняя граница зоны выбора варьируемых параметров; 4— граница области устойчивости нескорректированной системы 4-го порядка; 5 — граница области устойчивости исходной системы 6-го порядка

Для исследования системы четвертого порядка проанализируем распределение нулей и полюсов системы [101].

Подставим в характеристическое уравнение (3.57) общее выражение для корняр = — a +jw и, отделив вещественную и мнимую часть, получим общее выражение для кривых в плоскости варьируемых параметров:

= —Л4[—4а4+(а2 - w2)2] - 2А3а(а2 - и>2) + В22 - w2), (3.62)

= Л42 - w2) 4а - Л, (За2 - и>2) + 2а?, - Ь,

а при iv = 0 из вещественной части получим уравнение семейства кривых, соответствующих одинаковому расстоянию от мнимой оси ближайшего вещественного полюса:

Ve - Vva + Л4а4 + Л3а3 + В2а2 - Ьа = 0. (3.63)

Формулы (3.62), (3.63) позволяют построить семейство кривых в плоскости варьируемых параметров, характеризующих распределение корней (полюсов системы) характеристического уравнения. Рассмотрим некоторые из этих кривых.

Полагая а = 0, получаем из (3.62) параметрическое уравнение границы области устойчивости (кривая 7, см. рис. 3.5):

Ve = —A4w4 + B2w2, (3.64)

y, = A3w2-b.

Границу области устойчивости можно также записать в виде нового уравнения второго порядка, если выразить w2 из (3.64) через Vv и подставить в выражение для Ve:

+r-z,fA_AL0. (3.65)

A3 U A2 J ” е А2)

Таким образом, поскольку граница области устойчивости представляет собой квадратное уравнение, она может быть построена без дополнительных выкладок сразу после получения характеристического уравнения.

Подставив w = 0 в (3.62), получаем в параметрической форме границу области апериодичности:

Vv = -b + 2В2 а - ЗЛ3а2 + 4Л4а3, (3.66)

Ve = a2(B2 — 2A3a + ЗЛ4а2),

(кривая 2, см. рис. 3.5).

Видно, что область апериодичности невелика и находится вблизи начала координат, поэтому выбор варьируемых параметров внутри этой зоны из условия обеспечения высокой статической точности невозможен.

Таким образом, при практически возможных величинах варьируемых параметров в переходном процессе всегда будет иметь место колебательная составляющая. Поэтому целью дальнейших исследований будет нахождение зоны варьируемых параметров, в которой влияние колебательной составляющей на переходный процесс было бы минимально.

Для выполнения этого требования необходимо, чтобы колебательная составляющая процесса затухла раньше, чем апериодическая составляющая, т.е. чтобы вещественная часть пары комплексных корней уравнения (3.57) была больше действительного корня, который должен быть доминирующим [101]. Границу зоны, в которой выполняется указанное требование, можно найти, построив кривые равных расстояний корней от мнимой оси, полагая а = const и изменяя со в формуле (3.62). Получим кривые, соответствующие одинаковому расстоянию ближайших полюсов от мнимой оси, т.е. кривые, на которых расположены комплексные корни с одинаковой вещественной частью (сплошные линии, см. рис. 3.5, индексы на кривых равны значениям а).

Изменяя в (3.63), получим семейство прямых, соответствующих одинаковому расстоянию от мнимой оси ближайшего вещественного полюса (штрих-пунктирные прямые, см. рис. 3.5).

Сплошные линии пересекаются со штрих-пунктирными прямыми с одинаковыми индексами по линии 3 (см. рис. 3.5), на которой все три корня уравнения имеют одинаковые вещественные части. Эта линия и есть искомая граница, выше которой вещественная часть комплексных корней меньше действительного корня и колебательная составляющая переходного процесса затухает медленнее, чем экспоненциальная составляющая, определяемая действительным корнем, что недопустимо. Таким образом, для уменьшения влияния колебательной составляющей переходного процесса необходимо выбирать варьируемые параметры в зоне ниже кривой 3 (см. рис. 3.5), которая является верхней границей этой зоны.

На характер переходного процесса существенное влияние оказывают нули системы, в связи с чем необходимо построить плоскость распределения нулей системы. Подставив в многочлен числителя передаточной функции (3.53) общее выражение комплексного корня, можно получить выражение для определения ближайших нулей системы методом Д-разбиения. В |91] показано, что нет необходимости строить кривые Д-разбиения с помощью этого выражения. Достаточно через точки пересечения с осью абсцисс кривых Д-разбиения для полюсов, построенных по выражению (3.62), провести прямые с угловым коэффициентом ctgTyp и присвоить им значения а и со для нулей, которые совпадают со значениями этих величин для полюсов в указанных точках. Эти прямые соответствуют постоянным значениям вещественной и мнимой составляющих, ближайших к мнимой оси комплексных нулей (пунктирные прямые, см. рис. 3.5).

Пунктирной прямой с индексами ан = 3,1; сон = 0 соответствует кратный вещественный нуль системы. При удалении влево от этой прямой один нуль возрастает, а другой уменьшается и на прямой ан = 0 попадает в начало координат плоскости корней. При удалении вправо от этой прямой появляются два комплексных нуля, мнимая составляющая которых возрастает, а вещественная — уменьшается и становится равной нулю на прямой, соответствующей ан = 0; <вн = 17,2.

Семейство линий дает полную характеристику положению ближайших к мнимой оси полюсов и нулей системы в зависимости от величины варьируемых параметров. Для того чтобы уменьшить влияние колебательной составляющей на характер переходного процесса, необходимо варьируемые параметры выбрать таким образом, чтобы ближайшим к мнимой оси был вещественный полюс (ниже кривой 5), а комплексные полюсы были близки к комплексным нулям [68]. Это требование достаточно хорошо выполняется, например, в точке А для которой вещественный полюс /’=—1,18, а ближайшие комплексные полюсы (—1,31 ±у 9,8) близки к комплексным нулям (—1,87 ± j 10,35).

Удаление вниз от кривой 3 приводит к увеличению длительности переходного процесса, поэтому точки целесообразно выбирать вблизи этой кривой, но ниже ее. Как видно, нахождение верхней границы зоны выбора варьируемых параметров (кривая 3) связано с довольно трудоемким графо-аналитическим построением. Учитывая, что эта граница указанной зоны весьма существенна для обеспечения не колебательного процесса для каждого экскаватора, была поставлена задача получения аналитического выражения для нахождения верхней границы этой зоны.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >