Закон сохранения потенциальной энергии деформации упругой системы

Этот закон является частичным случаем закона сохранения механической энергии.

Будем считать упругую систему консервативной, то есть не допускающей потерь механической энергии и превращения её в другие виды энергии.

Рассмотрим два состояния - нулевое (недеформированное) положение статического равновесия, которое обозначим индексом «О», и деформированное, которое обозначим индексом «1».

Поскольку в соответствии с законом сохранения механической энергии сумма кинетической и потенциальной энергий для различных состояний упругой системы величина постоянная, будем иметь:

Т_о + У' + и ‘ = т_г + + U[. (а)

Здесь:

Г, Т - кинетическая энергия системы в состоянии «О» и «1»;

Uq, U^lo, ^i, — потенциальная энергия внешних и внутренних сил в тех

же состояниях.

В положении равновесия «О» скорости перемещений равны нулю, а поскольку загружение считается статическим, то ввиду малости скоростей в положении «1» ими можно пренебречь.

Таким образом:

т_о = Г, = 0. (б)

Так как положение «О» принято за начало отсчёта перемещений, то потенциальная энергия в этом состоянии равна нулю, то есть:

U^e₀ = и¹_о = 0. (В)

Имея в виду соотношения (б) и (в), равенство (а) принимает следующий вид:

U, + и‘ = 0. (г)

Поскольку потенциальная энергия внешних и внутренних сил в деформированном состоянии упругой системы определяется работой внешних и соответственно внутренних сил в процессе разгрузки системы, то есть

= А₁₀; и{ = IV₁₀,

то из равенства (г) следует:

A_i0 + ⁼ 0- (д)

Для консервативной системы работа внешних и внутренних сил на замкнутых траекториях перемещений точек их приложения равно нулю:

Д₀1 + А₁₀ = О, W₀₁ 4- W₁₀ = О,

откуда:

Аю = ^—= — Woi- (^е)

Подставляя полученные соотношения в (д), найдём:

А₀₁ + %1 = О- (^ж)

Равенства (д) и (ж) справедливы при любом порядке последовательности индексов, то есть не зависят от порядка загружения упругой системы, и поэтому их можно объединить, записав в виде одного уравнения без индексов. Имеем:

А + W = 0. (3.7)

Равенства (г) и (3.7) представляют две формулировки закона сохранения потенциальной энергии деформации для упругих систем. Из (3.7) следует, что если упругая система при статическом загружении находится в равновесии, то суммы действительных работ всех внешних и внутренних сил на перемещениях и деформациях этой системы, вызванных самими силами, равняется нулю.