Теоремы о возможности реализации меха низмов потери устойчивости или прогрессирующего обрушения системы

ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ИЛИ ПРОГРЕССИРУЮЩЕГО ОБРУШЕНИЯ СИСТЕМЫ

В первую очередь необходимо определиться с терминологией. В зарубежной литературе при катастрофах, обрушениях и иных чрезвычайных ситуациях часто применяется термин «коллапс». Под коллапсом (от лат. collapsus - упавший) понимается разрушение какой-либо структуры под влиянием системного кризиса. В то же время в теории предельного равновесия каждый вид обрушения (коллапса) следует дифференцировать. Систематизируем их согласно природе коллапса (табл. 2.3).

В работе [4] для статически неопределимых упругопластических систем, находящихся в условиях многопараметрического нагружения, сформулирован и доказан статический принцип свободы выбора возможных перемещений. Показано, что каждое фиксированное поле возможных перемещений статически неопределимой упругопластической системы может быть выбрано для исследования статических условий коллапса системы при многопараметрическом нагружении. В предельном состоянии системы каждое поле возможных перемещений из числа уравнений равновесия, на котором внешние силы совершают положительную работу, определяет в W-мерном евклидовом пространстве комбинаций параметров нагрузок, по крайней мере, одну гиперплоскость, представляющую собой бесконечное множество комбинаций параметров нагрузок, которые могут реализоваться в момент коллапса системы.

Таблица 2.3

Природа и виды коллапса

Вид коллапса

Природа коллапса

Пластический

Наступает вследствие достижения реакциями некоторых связей предела текучести, причем количество и сочетания связей, перешедших в состояние текучести, достаточно для обращения системы в геометрически изменяемую. При этом на некоторых возможных перемещениях системы, вероятных в состоянии коллапса, реакции связей совершают строго отрицательную работу

Гравитационный

Наступает вследствие полного выключения реакций некоторых связей системы (реакции связей равны нулю), при действии на нее гравитационных сил, причем количество полностью выключившихся связей достаточно для обращения системы в геометрически изменяемую

Реактивный

Наступает вследствие достижения реакциями некоторых связей предела текучести, причем количеств связей, перешедших в состояние текучести, достаточно для обращения системы в геометрически изменяемую. При этом на возможных перемещениях системы, вероятных в состоянии коллапса, реакции связей превращаются во внешнюю нагрузку и совершают строго положительную работу

Общего вида

Наступает вследствие выключения некоторых связей системы, причем количества и сочетания выключившихся связей достаточно для обращения системы в геометрически изменяемую. При этом на перемещениях системы, вероятных в состоянии коллапса, часть реакций связей превращается во внешнюю нагрузку и совершает строго положительную работу, часть реакций связей выключается полностью, а часть реакций связей совершают строго отрицательную работу

В табл. 2.4 приведены достаточные условия коллапса системы.

В дальнейшем под термином гравитационный коллапс будем понимать потерю устойчивости либо части, либо всей системы в целом, под реактивным коллапсом - процесс прогрессирующего обрушения или просто разрушения системы.

Сформулируем основную статическую теорему теории свободы выбора возможных перемещений. Она утверждает неизбежность коллапса пластической системы в случае возможности реализации статического принципа свободы выбора возможных перемещений.

Таблица 2.4

Достаточные условия коллапса

Вид коллапса

Достаточные условия коллапса системы

Пластический

Реализация статического принципа свободы выбора возможных перемещений, при которой в некотором уравнении равновесия знаки реакций пластически выключившихся связей обратны знакам коэффициентов при них в количестве, достаточном для обращения системы в кинематическую цепь в соответствии с рассматриваемым условием равновесия, а внешние силы совершают положительную работу

Гравитационный

Реализация статического принципа свободы выбора возможных перемещений, при которой в некотором уравнении равновесия количество и сочетание реакций полностью выключившихся связей достаточно для обращения системы в кинематическую цепь в соответствии с рассматриваемым условием равновесия, а внешние силы совершают положительную работу

Реактивный

Реализация статического принципа свободы выбора возможных перемещений, при которой в некотором уравнении равновесия знаки реакций пластически выключившихся связей совпадают по знакам с коэффициентами при них в количестве достаточном для обращения системы в кинематическую цепь в соответствии с рассматриваемым условием равновесия, а внешние силы совершают положительную работу

Статическая теорема о неизбежном коллапсе [4].

Возможность реализации статического принципа свободы выбора возможных перемещений, при котором количество и сочетание выключившихся связей упругопластической системы достаточны для превращения системы в кинематическую цепь, является достаточным условием для неизбежного коллапса системы. Каждое поле возможных перемещений упругопластической системы, в отношении которого осуществим принцип свободы выбора возможных перемещений, является возможным в состоянии коллапса и определяет кинематически допустимую гиперплоскость комбинаций параметров нагрузок, могущих возникнуть в состоянии коллапса в соответствии с рассматриваемой формой возможных перемещений. Нагрузка в момент коллапса может возрастать неограниченно.

Рассмотрим условия реализации возможности трансформации пластического течения в механизм потери устойчивости или прогрессирующего обрушения.

Под состоянием пластического течения в состоянии предельного равновесия будем понимать такое состояние системы, при котором количество связей системы, перешедших в пластическое состояние и 42

совершающих на первоначальном этапе течения строго отрицательную работу, достаточно для обращения ее в кинематическую цепь. Сформулируем следующее условие трансформации пластического течения системы в гравитационный коллапс.

Теорема 1 (О трансформации упругопластического течения в гравитационный коллапс) [4, 6].

Пусть при данной комбинации сил или в окрестности этой комбинации выполняются следующие условия:

  • -упругопластического течения системы в форме безразличного или неустойчивого равновесия;
  • - пластичности системы;
  • - течения и пластичности при нулевых значениях реакций связей, перешедших в пластическое состояние.

Тогда это обстоятельство является достаточным для возможности трансформации пластического течения в гравитационный коллапс при рассматриваемой комбинации сил или в ее окрестности.

Доказательство.

В соответствии с условиями теоремы для рассматриваемой комбинации сил или в ее окрестности выполняется система соотношений:

- условие безразличного или неустойчивого упругопластического течения системы:

±U.p.+±s,S., + ±WjX, + Aai>0; (2-4°)

И=1 1=1 /=1

- условие, гарантирующее положительный знак работы, совершаемой внешними силами:

t2,41)

Л=1

- условия, означающие переход соответствующих связей в состояние пластичности:

S.,= S,, 1 = 1,...,/;

(2-42)

~ & > i = I,---, / >

(2-43)

условия пластичности связей:

j,min — j — ^7,max > J ~

(2.44)

Окрестность комбинаций сил, в которой выполняются условия упругопластического течения системы:

Р*„-Ъ<р„ <р*„ +5, n = l,...,N. (2.45)

В выражениях (2.40-2.45) приняты следующие обозначения:

рп (и=1,...,ЛГ) - силы переменной части нагрузки; ип - перемещения точек приложения сил рп по направлению или против направления действия этих сил; 5*/, (/=1,...,/), X], (/=1,...,/) - реакции пластически выклю-43

ченных и пластически невыключившихся связей соответственно; s*i, (7=1,...,/), Wj, (/=1,...,/) - деформации связей по направлению или против направления действия реакций пластически выключенных и невыключившихся связей соответственно; Ави - работа гравитационных сил на поле возможных перемещений, определяющем условия устойчивого или безразличного равновесия; е - малое положительное число; 5 - число, определяющее окрестность рассматриваемой комбинации переменных сил р*п, (n=l,.. JV).

Вследствие совместности системы (2.40-2.45) представленная ниже экстремальная задача имеет решение:

Maximized V + А(. . (2.46)

nr п (jU

»=1 7

Ёи» Рп+2 +S wjx.i+agu °- t2,47)

11=1 1=1 j=

t«,,P,,+Aa>e. С2-48)

S.,=S,,i = l...../. (2.49)

s,S., <-e,i = 1,...,/. (2.50)

- xj 2 5/тах, j = (2.51)

p.„-8n = ,...,N. (2.52)

Система (2.46-2.52) описывает условия безразличного или неустойчивого равновесия в окрестности (2.52). Это означает, что система перестала быть геометрически неизменяемой. Поэтому в общем случае предполагается: в этом состоянии совокупность условий равновесия может и не выполняться, что принципиально отличает предлагаемый подход от классической теории предельного равновесия. При этом критерий (2.46) определяет максимум работы внешних сил в окрестности (2.52), где под внешними силами на данном этапе понимаются внешние переменные и постоянные гравитационные силы.

На следующем этапе предполагается, что по отношению к образовавшейся кинематической цепи силы реакций связей превращаются в активные силы, причем режим нагружения является нестационарным. Для исследования условий возможности гравитационного коллапса следует решить следующую экстремальную задачу:

Maximize ЁМ«Л,+ +ZWAi + Аы ' (2-53)

V л=| '=1 ./=1 7

.V / .1

Таи„Рп + ZwJXi + Ааи 0 ? t254)

п=1 (=1 ;=1

±ир+Ас >е- (2.55)

?,=0, z = 1,...,/. (2.56)

^/.min - ~ ^/,max ’ J ~ Ь---Д ? (2.57)

P*n~^Pn /Ч+5' n = ,...,N. (2.58)

Если задача (2.53-2.58) имеет решение, то в состоянии неустойчивого пластического течения системы в окрестности (2.58) возможна трансформация пластического течения в гравитационный коллапс.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 (Признак возможности трансформации пластического течения в гравитационный коллапс) [4, 6].

Пусть при данной комбинации сил или в окрестности этой комбинации, выполняются условия:

  • -упругопластического течения системы в форме безразличного или неустойчивого равновесия на перемещениях фиксированной кинематической цепи;
  • -условия пластичности системы.

Тогда для возможности трансформации неустойчивого пластического течения в гравитационный коллапс в рассматриваемой окрестности достаточно разрешимости хотя бы одной экстремальной задачи, в которой количество и сочетание полностью выключившихся связей определяет трансформацию исходной пластической кинематической цепи в кинематическую цепь той же конфигурации, но с выключенными связями.

Доказательство.

В соответствии со сформулированным признаком на начальном этапе неустойчивого пластического течения выполняется система соотношений (2.40-2.45). Для возможности осуществления гравитационного коллапса на заключительном этапе должна выполняться следующая система соотношений: N К М

  • (2-59) л=1 4=1 т=1
  • (2-60)

S.,=0, k = ,...,K. (2.61)

Х:п^<Х„<Х,п,т,т = ,...,М. (2.62)

/>.„-8<р„<р.„+5, n = ,...,N. (2.63)

В системе соотношений (2.59-2.63) предполагается, что на этапе гравитационного коллапса множество полностью выключенных связей S=0, (к=1,в общем случае не совпадает с множеством пластически выключенных связей на этапе неустойчивого пластического течения. В соответствии с последним обстоятельством множество не 45

выключившихся связей Хт, (т=1,...,М) на этапе гравитационного коллапса также может не совпадать с множеством, не перешедших в пластическое состояние связей на этапе неустойчивого пластического течения. Само рассматриваемое кинематически допустимое поле возможных перемещений точек системы остается неизменным, т.е. трансформация неустойчивого пластического течения в гравитационный коллапс рассматривается на фиксированном кинематически допустимом поле возможных перемещений.

Что касается выбора критерия оптимизации, то, как было отмечено выше, единственное ограничение заключается в том, что критерий оптимизации не должен противоречить системе (2.59-2.63). Это связано с тем, что пластическая система из геометрически неизменяемой превращается в геометрически изменяемую, и в этом состоянии может быть реализовано любое кинематически допустимое распределение реакций связей, не противоречащее рассматриваемому фиксированному, кинематически допустимому полю перемещений, возможному в состоянии гравитационного коллапса.

В качестве критериев оптимизации в системе соотношений (2.59-2.63) могут быть использованы следующие критерии: / N Maximize V и р . Их П

(2.64)

Minimize V u, p, . nл n »=1 7

C N

(2.65)

Maximize} Vи ,р, + Д.

I иг п (JU

(2.66)

Minimize V ир„ +АГ

ПЛ 11 Uu

(2.67)

Maximize ^ипР„ +

(2.68)

А'=1 7И=1

К М

Minimize Ци„Р„ + + X w»,Xn, + AGu

(2-69)

к=1 т=1

Что и требовалось доказать.

Необходимо отметить, что сформулированный признак (теорема 2) носит более общий характер, чем теорема 1 о возможности трансформации пластического течения в гравитационный коллапс. Это вызвано следующими обстоятельствами:

  • 1) в соответствии с предлагаемой формулировкой выбор критерия оптимизации в экстремальных задачах может быть осуществлен в достаточно широких пределах: на выбор критерия оптимизации накла дываются относительно слабые ограничения, которые заключаются в том, что критерий оптимизации лишь не должен противоречить кинематической допустимости рассматриваемого условия течения в окрестности рассматриваемой точки;
  • 2) в соответствии со сформулированным признаком количество и сочетание полностью выключенных связей на этапе гравитационного коллапса может не совпадать с количеством и сочетанием пластически выключенных связей на этапе пластического течения. По сути дела на процесс трансформации пластического течения в гравитационный коллапс накладываются относительно слабые ограничения, которые заключаются в том, что рассматриваемый процесс лишь не должен противоречить кинематической допустимости условия неустойчивого течения в окрестности рассматриваемой точки на начальном этапе пластического течения и на заключительном этапе гравитационного коллапса.

Теорема 3 (Признак возможности трансформации пластического течения в реактивный коллапс).

Пусть при данной комбинации сил или в окрестности этой комбинации выполняются условия:

  • -упругопластического течения системы в форме безразличного или неустойчивого равновесия на перемещениях фиксированной кинематической цепи;
  • -условия пластичности системы.

Тогда для возможности трансформации неустойчивого пластического течения в реактивный коллапс в рассматриваемой окрестности достаточно разрешимости хотя бы одной экстремальной задачи, в которой количество и сочетание пластически выключившихся связей, реакции которых совершают положительную работу, определяют трансформацию исходной пластической кинематической цепи в механизм реактивного коллапса.

Доказательство.

В соответствии со сформулированным признаком на начальном этапе неустойчивого пластического течения имеет решение экстремальная задача (2.46-2.52). Для возможности осуществления реактивного коллапса на заключительном этапе должна выполняться следующая система соотношений:

Л' / ./

Е^л+Е-а+Е^А+ал0- (2,7°)

и=1 1=1 У=1

±и,Р., + Ла>г. (2.71)

л=1

st.=~s., i = (2.72)

Sl-S*/

  • (2.73)
  • (2.74)
  • (2-75)

y,min

j,max ’ J

Обозначения, входящие в систему (2.70-2.75), имеют тот же смысл, что и в задаче (2.59-2.63). В системе (2.70-2.75), так же как и в задаче (2.59-2.63), учитывается, что множество пластически выключившихся связей на этапе неустойчивого пластического течения, определяемого системой (2.46-2.52), может не совпадать с множеством пластически выключенных связей на этапе реактивного коллапса. Различие между этими двумя этапами заключается в том, что на этапе реактивного коллапса, в соответствии с соотношениями (2.72-2.73), реакции пластически выключившихся связей совершают строго положительную работу. Это означает, что реакции пластических связей в момент реактивного коллапса превращаются в активные внешние силы. В состоянии же неустойчивого пластического течения, соответствующего экстремальной задаче (2.46-2.52), реакции пластических связей, определяющих пластическое течение системы, совершают строго отрицательную работу.

В качестве критериев оптимизации в системе соотношений (2.70-2.75) могут быть использованы следующие критерии:

/ Л' км

Maximize +HSkS4 + Е V™ + AGu

к= 7И=1

  • (2-76)
  • (2.77)

Л N К М

Minimize Т.ипРп + + Е + aGii

k=i

Само рассматриваемое кинематически допустимое поле возможных перемещений точек системы предполагается неизменным, т.е. трансформация неустойчивого пластического течения в реактивный коллапс рассматривается на фиксированном кинематически допустимом поле возможных перемещений.

Что и требовалось доказать.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >