Определение случайной погрешности многократных измерений

При проведении многократных измерений для определения их доверительного интервала чаще всего используют закон нормального распределения Гаусса. Число измерений в данном случае должно быть достаточно велико, не менее п = 50. Нормальное распределение было получено немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Случайная величинах с нормальным распределением может принимать любое значение в интервале от -оо до оо, а её функция плотности вероятности подчиняется закону Гаусса:

  • (1.18)
  • ?V2tco

Нормальное распределение Гаусса имеет следующие свойства. Распределение является симметричным относительно точки х = хм. Математическое ожидание определяется по формуле (1.16) и равно максимальному значению плотности вероятности/(х) = 1/(Ол/2тс). Дисперсия определяется по формуле (1.17).

При обработке результатов измерений важно определить вероятность того, что измеренные значения находятся в интервале (хм - Дх; хм + Дх) вблизи хм. Значения вероятности а того, что результат измерения принимает значение из интервала Дх, пропорционального о, приведены в табл. 1.1.

На рис. 1.6, а и 1.6, б приведена функция плотности нормального распределения Гаусса схематично и с указанием вероятностей для интервалов ±о, ±2о, ±3о соответственно [22].

Погрешность серии измерений в общем случае равна

Дх = ко,

(1.19)

где к - коэффициент, к = 1, при а = 68,1 %; к = 2, при а = 95,5 %.

Исходя из равенства среднего арифметического значения хср и математического ожидания хм результатов измерений в распределении Гаусса, среднеквадратичное отклонение о можно определить по формуле

Ё(*ср -^)2

  • - 1=1____________________
  • (1.20)

у п(п — 1)

Результат многократных измерений с указанием доверительного интервала записывается так: х = хср ± Дх, с доверительной вероятностью а, %. При технических измерениях доверительная вероятность считается равной а = 95 %.

Кривая функции плотности распределения Гаусса

Рис. 1.6. Кривая функции плотности распределения Гаусса: а - показанная условно; б - с указанием вероятностей для интервалов ±о, ±2о, +3о

Зависимость вероятности от выбранного интервала

Таблица 1.1

Интервал

Вероятность а, %

от -о до о

68,3

от -1,96о до 1,96о

95,0

от -2о до 2а

95,5

от -2,58о до 2,58о

99,0

от -За до За

99,7

При малом числе измерений (2 < п < 10), когда среднее арифметическое значение результатов измерений не равно математическому ожиданию хм ± хср (рис. 1.7), пользоваться распределением Гаусса недопустимо.

В данном случае доверительный интервал определяется с помощью закона распределения Стьюдента (Уильяма Сили Госсета), являющегося распределением случайной величины V.

хм -х__

г = —---(1.21)

G

Закон Стьюдента не что иное, как закон распределения ошибок измерений нормальных гауссовских случайных величин. В распределении Стьюдента, являющемся функцией плотности вероятности Sn(f) (рис. 1.8), доверительная вероятность попадания значения t в интервал от -гст до -Нст равна

а= (1.22)

где fCT- коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл. 1.2 [22].

Погрешность серии измерений в данном случае равна

Ax = ZctO. (1.23)

При значительном числе измерений п > 50 число Стьюдента будет равно коэффициенту пропорциональности к, приведенному в формуле (1.19).

Кривая плотности распределения при малом числе измерений

Рис. 1.7. Кривая плотности распределения при малом числе измерений

Распределение Стьюдента

Рис. 1.8. Распределение Стьюдента

Таблица 1.2

Коэффициенты Стьюдента при доверительных вероятностях а

п

а = 0,9

а = 0,95

а = 0,99

2

6,31

12,7

636,6

3

2,92

4,30

31,6

4

2,35

3,18

12,9

5

2,13

2,78

8,61

6

2,02

2,57

6,37

7

1,94

2,45

5,96

8

1,89

2,36

5,41

9

1,86

2,31

5,04

10

1,83

2,26

4,78

00

-

1,96

3

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >