Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки

15.4. Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки

Рассмотрим перенос теплоты через цилиндрическую стенку, состоящую из п слоёв с учётом контактного термического сопротивления между слоями (рис. 15.4.1).

Для стационарного режима величина теплового потока через единицу длины С стенки одинакова на всех её участках.

Тепловой поток через первый слой

2 • я • • (t_wl — t _w2)

Тепловой поток через первый контакт (между первым и вторым слоем)

¹

Q? ⁼ n (^f,lV2 - • 2 • д • r₂.

^KK1

Тепловой поток через второй слой

2 • ТС • Л₂ ’ (t W2 ~ t и/з)

Рис. 15.4.1

Тепловой поток через второй контакт (между вторым и третьим слоем)

¹

Qt ⁼ Б (t'w3 ~ ’ 2 • тс ? г₃.

^КК2

Тепловой поток через п-й слой

2 • тс • Л_п ? (t _Wn — tw_n+i)

Яс - ----------г—,--------

1п^ г_п

Выразим из этих уравнений частные температурные напоры:

ЯС^ у- __ f' — ___________1 .

^llVl ¹ W2 - _э _ •, >

Z • TC • Л_г

t W2~ t"w2 ~

t"lV2 “ t W3 ⁼

t W3 ~ t"lV3 ⁼

Яс' Rki 2- tc • r₂ ’

__________^r2 .

2 • TC • A₂ ’

ЯС ' Rk2 2-tc-t₃ '

(15.4.1)

яс' ^ln^r t wn ~ twn+i ~ ;

z • те ? л_п

Суммируя левые и правые части уравнений системы, получим

1 г₂ 1 1 г₃

tuzi ^— tivn+1 = Qf ' 5“Z—У' lⁿ~⁺ ₉ _ „ ? ⁺ ₉ ? 1-^п~

lz • тс • г 2 • тс • г₂ 2 • тс • Z₂ г₂

¹ 1 , г_п+11

+ ---R_K1... + -------— ? In----.

2 • тс -r₃ 2 • тс • Л_п г_п

Следовательно, тепловой поток через единицу длины стенки

Яс - 2 • тс • (t_wl — t_Wn+1

, ^ri+i V^-1 ^Ki

In---+ > ---

n r_i+1 i=i

(15.4.2)

Теплопроводность при нестационарном режиме

Уравнения температурного поля и теплового потока при нестационарном режиме

16.1. Уравнения температурного поля и теплового потока при нестационарном режиме

Тепловые процессы, которые протекают в условиях изменяющегося во времени температурного поля, называются нестационарными процессами.

Нестационарные процессы теплопроводности широко распространены в технике.

Процесс передачи теплоты при нестационарном режиме можно рассчитать, если известен закон изменения температурного поля и теплового потока во времени в пространстве:

t=fi(x,y,z,x); (16.1.1)

Q=f₂(x,y,z,T), (16.1.2)

где x,y,z - координаты точки, г - время.

Зависимости (16.1.1) и (16.1.2) могут быть получены в результате решения дифференциального уравнения теплопроводности

dt (d²t d²t d²t

дт dx² dy² dz² J ^,

Уравнение (16.1.3) имеет однозначное решение, если известны граничные условия и начальное распределение температур в теле. Характер взаимодействия тела с окружающей средой может быть задан граничными условиями третьего рода

-Act'^L__o. (16.1.4)

где Л_ст - коэффициент теплопроводности стенки, Stl

—| - градиент на поверхности тела

t_w -температура поверхности стенки,

tf - температура окружающей среды (теплоносителя),

а - коэффициент теплоотдачи между теплоносителем и поверхностью тела.

Физические величины Act пав процессе передачи тепла не изменяются. В начальный момент времени, то есть при г=0 температура тела распределена равномерно, то есть to=const.

Решение дифференциального уравнения (16.1.3) при граничных условиях (16.1.4) с учётом начальных условий, даёт уравнение температурного поля

t=f(a, А, а, т, х, у, z, to, tep, ?о. tn)- (16.1.5)

Здесь tj - геометрические параметры тела или системы, а - коэффициент теплоотдачи.

Из уравнения (16.1.5) следует, что распределение температуры в системе зависит от большого числа переменных. Поэтому решение уравнения (16.1.5) в общем виде не имеет смысла. Его следует решать для конкретных систем и условий.

Для решения уравнения (16.1.5) входящие в него переменные удобно группировать в три безразмерных комплекса:

а • С

----= Bi - число Био,

Л_сг

а ? т -p-^F°

_ X _ у _ Z

?? - характерный размер тела.

При нестационарной теплопроводности температурное поле определяется обобщённым выражением

в = f(Fo, Bi,x,y,z).

• - число Фурье,
• - безразмерная координата,
• (16.1.6)

Вид функции зависит от формы тела

- в t — tf ^д=^=

С7 С — Lf tut¹- температура в произвольной точке тела соответственно в начальный момент времени ('ив начальный момент времени t.