Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка можно записать в виде

У =.f(y, t). (3.25)

Это уравнение имеет семейство решений у(7). Например, если /'(у, г) = у, то для произвольной константы С функция y(z) = Се' является решением. Выбор начального значения, скажем у(0), служит для выделения одной из кривых семейства. Начальное значение зависимой переменной может быть задано для любого значения /() независимой переменной. Однако часто считают, что выполнено преобразование, обеспечивающее, чтобы /0 - 0- Это не влияет на решение или методы, используемые для приближения решения.

Зачастую имеется более чем одна зависимая переменная, и тогда задача заключается в решении системы уравнений первого порядка; например,

Решение этой системы содержит две постоянные интегрирования, и, следовательно, нужны два дополнительных условия, чтобы определить эти константы. Если значения у и z указаны при одном и том же значении независимой переменной /о, то система будет иметь единственное решение. Задача определения значений у и z для (будущих) значений t > tn называется задачей Коши.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение порядка п, которое можно записать так, что его левая часть есть производная наивысшего порядка, а в правой части эта производная не встречается, может быть записано и в виде системы из п уравнений первого порядка путем введения п - 1 новых переменных. Например, уравнение второго порядка:

и = g(u, и , ?)

можно записать как систему:

v = g(u, v, /), и = V.

В векторных обозначениях это выглядит так: y' = f(y, О,

где:

f(y^) = (gC-2,J;,Z) v У

При обсуждении методов для задачи Коши удобно представлять себе единственное уравнение:

У(‘) =f(y, t);

УМ =Уо-

Однако методы с равным успехом применимы и к системам уравнений.

Лишь очень немногие дифференциальные уравнения могут быть I решены точными или приближенными аналитическими методами.

Поэтому (особенно после появления компьютеров) широкое распространение получили численные методы, в основе которых лежит замена исходного уравнения его дискретным аналогом — разностным уравнением.

Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек (узлов): t0, Ц, t2, возможно, с переменной длиной шага hn = = Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т. е. в каждой точке t„ решение у(?„) заменяется приближенным значением (аппроксимируется) у„, которое вычисляется по предыдущим значениям. Эта функция называется сеточной функцией. Она определена только в узлах разностной сетки.

Разностный метод, дающий формулу для вычисления у„+1 по к предыдущим значениям у„, уп_, у„-2, ? ? -,уп-к+, называется ^-шаговым методом. Если к = 1, то это одношаговый метод, а при к > 1 это многошаговый метод.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >