Автоколебания в технологических системах механической обработки

Металлорежущие станки, как основообразующие подсистемы технологических систем механической обработки, как известно, относятся к обширному классу виброактивных систем. Среди различных видов колебаний, возникающих при обработке металлов резанием, особое место занимают самовозбуждающие колебания или автоколебания. Проблема автоколебаний является актуальной для различных технических систем (в том числе систем автоматического регулирования и управления, технологических и транспортных машин, механических, радиотехнических и др.), а также химико-биологических и т.п. Само понятие «автоколебаний» и огромный вклад в постановку и решение проблем автоколебаний внесены акад. А.А.Андроновым и учеными созданной им нижегородской школы теории нелинейных колебаний [100].

Не останавливаясь на обзоре современного состояния и направлений развития теории и практики автоколебаний, поскольку это выходит за рамки настоящей работы, отметим, что применительно к технологическим системам механической обработки эта проблема отличается существенной спецификой. Как справедливо указано в работе [28], до начала 50-х годов решением проблемы автоколебаний при резании занималось сравнительно небольшое число исследователей: Н.И.Резников, Сидзу Дои, И.С.Штейнберг, Н.А.Дроздов, А.И.Каширин,А.П.Соколовский и др. Своеобразный прорыв в решении проблемы автоколебаний в металлорежущих станках связан с работами И.Тлустого [28], В.А.Кудинова [64], М.Е.Эльясберга [109].

Основные концепции неустойчивости процесса резания и возникновения автоколебаний

Автоколебательные режимы технологических систем механической обработки, как правило, не являются рабочими режимами. Поэтому одной из актуальных задач является не столько определение параметров автоколебательных процессов при резании, сколько определение положения границы области устойчивости в пространстве параметров технологической системы. Иногда эта задача интерпретируется как задача определения предельных (по условию устойчивости) режимов резания [100]. Если ограничиться при этом приближенным подходом, то можно использовать метод Ляпунова оценки устойчивости движения технологической системы механической обработки по уравнениям первого приближения, которые можно представить в виде [ 100]

х=Ах + Х, (3.40)

где x(t)-n - мерная вектор-функция обобщенных координат; Л-(п*п) -матрица с постоянными элементами, определяемыми параметрами системы; Х-п — мерная нелинейная вектор-функция, содержащая компоненты х12,...,х11 вектор-функции x(f) в степени, выше первой.

Характеристический определитель линейной системы однородных уравнений первого приближения

вида

х — Ах

(3.41)

det(T-V) =

«12 ... а„

— ••• &2п

(3.42)

«Л-1 «Л2 -

имеет п корней

^i, х2,...

(3.43)

Поскольку для практически достижимой точности задания исходных данных в системе случай строго кратных корней нереален, а исследование его представляет чисто математический интерес, будем полагать в дальнейшем корни det(/4-V) различными. При простых корнях характеристического определителя существует неособенное линейное преобразование

  • (^=i«), (3-44)
  • 7=1

где - некоторые постоянные числа, которые приводят систему уравнений первого приближения к виду

z = Az,, (3.45)

где A=diag[Xi, Х2, ... Х„] -диагональная матрица.

Переменныеzi,z2,...,z,; называются каноническими переменными.

Теоремы об устойчивости линейной автономной системы в исходных (х) или канонических (z) переменных при указанных выше предложениях относительно корней характеристического уравнения

det(^-l/) = O (3.46)

представлены в [11,41].

Если действительные части всех корней характеристического уравнения (3.46) ReXk<0, т.е. отрицательны, то невозмущенное движение системы асимптотически устойчиво (все zk ->0при/ —> 0).

Если среди корней характеристического уравнения (3.46) имеется хотя бы один, действительная часть которого положительна, то невозмущенное движение неустойчиво (хотя бы одно z*. —> О при t 0 ).

Если действительные части некоторых корней характеристического уравнения (3.46) равны нулю, а действительные части отрицательных корней отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически (все zk ограничены, но лишь часть из них стремится к нулю при/ -> 0 ).

Теорема Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению:

Если действительные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению:

Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

Если наряду с корнями, имеющими отрицательные действительные части, существуют корни с нулевыми действительными частями (в особом случае), то для определения характера устойчивости движения одних уравнений первого приближения недостаточно.

Исторически одна из первых концепций возникновения автоколебаний при резании основывалась на представлении зависимости касательной составляющей силы резания от скорости, имеющей падающий участок. Такая концепция соответствует подходам, используемым при анализе автоколебаний в электронных приборах (в автогенераторах), исследованию процессов в которых были посвящены работы ученых нижегородской школы А.А.Андронова. Наиболее широко исследования автоколебаний с использованием указанной концепции представлены в работах А.И.Каширина, Л.С.Мурашкина, С.Л.Мурашкина, А.А.Харкевича. Отличие подхода, изложенного в работе [84], от работ авторов данного направления заключается в попытке рассмотрения процессов как в касательном, так и в нормальном контурах, что приближает его к современным представлениям об автоколебаниях в технологических системах механической обработки.

Не ставя задачу подробного изложения указанной концепции, отметим, что рассматривается однокоординатная модель с касательным контуром согласно рис. 3.17, где М - приведенная масса (та часть массы системы, которая принимает участие в колебательном движении); j - коэффициент жесткости; h - коэффициент линеаризованного сопротивления; Pz(z) -нелинейная по скорости сила резания.

Зависимость p(z) по предложению Л.С.Мурашкина [73] аппроксимируется полиномом третьей степени от скорости z:

P-^ = P„ +H,[i-z7(3vo2,)], (3.47)

где р - сила резания Рг при отсутствии вибраций; 2val - протяженность падающего участка характеристики силы резания на графике (z-Pz(z)); z = v - скорость резания; Нх - коэффициент крутизны характеристики резания.

Динамическая модель технологической системы механической обработки резцом по Л.С. Мурашкину

Рис. 3.17. Динамическая модель технологической системы механической обработки резцом по Л.С. Мурашкину

В рамках используемой гипотезы можно определить границу области устойчивости и характеристики автоколебаний в плоскости за границей области устойчивости. Применительно к системе с одной степенью свободы при решении задачи определения характеристик автоколебаний используются известные методы: малого параметра (в качестве малого параметра принимается z=Hm/j, где H=H-h - коэффициент крутизны обобщенной силы; о - собственная частота линеаризованной модели); метод гармонической линеаризации; метод фазовой плоскости [73].

Существенными недостатками данного метода являются [63, 64]: однокоординатное рассмотрение (к тому же, в касательном контуре, имеющем вспомогательный характер); использование в динамической модели квазистатической характеристики силы резания в ее зависимости от скорости.

Переход от рассмотрения модели технологической системы как системы с одной степенью свободы к модели, как минимум, с двумя степенями свободы является принципиальным моментом, поскольку в реальных условиях происходит пространственное (в частном случае - плоское) движение режущего инструмента относительно обрабатываемой заготовки. Это обстоятельство особенно четко было зафиксировано И.С.Амосовым, и послужило исходным положением для разработки так называемого принципа координатной связи [73], сущность которого заключается в следующем.

Рассмотрим возможные колебания резца токарного станка (при плоском резании) около его положения, соответствующего установившемуся (равновесному) процессу резания (рис. 3.18). Будем считать изделие абсолютно жестким, а приведенную к вершине резца массу системы (ту ее часть, которая участвует в колебаниях) обозначим т . Следуя автору работы [73], учитывая скорее качественный характер анализа, не будем различать т и mz в соответствующих контурах Оу и Oz . Также не будем учитывать диссипативные силы в соответствующих контурах. Начало отсчета координат и точку приложения силы резания Рр считаем приложенной в центре масс (ц.м.) резца. В действительности резец является твердым телом и, перенося силу резания в центр масс резца, необходимо приложить момент и рассматривать резец как систему с тремя степенями свободы [65].

Обозначим: ОуУ, aV3, azz - коэффициенты податливости упругого закрепления резца (например, avz - есть деформация по направлению оси Оу , вызванная единичной силой, приложенной в направлении оси Oz ).

Тогда при приложении к ц.м. резца силы Рр с составляющими по осям Р и Pz он получит перемещения

y=UyyPy+ayZPz; z=ayzPy+azzPz; (3.48)

Если к резцу приложена некоторая сила Ра, под углом а к оси Оу, то, раскладывая эту силу по осям Оу и Oz , из (3.48) находим:

y=(awcosa+av.3sina)P;; z=(avzcosa+azzsina)Pa. (3.49)

Перемещения резца Х[ и Х2 по каким-либо осям (Ц, 0х2, наклоненным к осям Оу, Oz под углом do, связаны с перемещениями у и z формулами:

xi=ycosa0+zsinao; x2=zcosa0-^ sinao;

у= Xicosao+^sinao; z= x2cosao+^isinao.

(3-50)

Справедливость формул (3.50) легко установить из геометрических построений согласно рис. 3.18,6.

Предположим, что сила Pvl приложена по оси хх.

Тогда из формул (3.49), (3.50), полагая в (3.49) а=а0, находим xi=(alTcos2ao+aV;Sin2ao+ av-sin2a0)Pvi;

x2=[av-cos2ao+0,5(ou-avl) sin2a0]/’Vz- (3.51)

К выводу уравнений движения резца

Рис.. 3.18. К выводу уравнений движения резца

Из формул (3.51) видно, что если угол а0 такой, что av-cos2a()+0,5(a,,-avv)s in2ao=0, (3.52)

то перемещение x2, вызванное силой Pxi, равно нулю. Аналогично можно показать, что в этом случае и перемещение, вызванное силой Рх2, равно нулю.

Направления Xj и х2 называются главными направлениями жесткости. Коэффициенты жесткости крепления резца сх| и сх2 в главных направлениях определяются как коэффициенты пропорциональности в формулах

Л1 =Cxl^i; Рх2=Сх2Х2-

(3.53)

Сравнивая формулы (3.51) и (3.53) и исключаяиз них при помощи уравнения (3.52) угол Оо, находим:

— = 0,5[a>y + a2Z - 5

Cxl

— = о,5[ая, + агг +7(а^-агг)2+4а^] • (3.54)

Сх2

Таким образом, с точки зрения упругих свойств любое упругое закрепление резца может быть при расчете заменено двумя взаимноперпендикулярными упругими элементами, расположенными по главным осям жесткости крепления. В станках эти главные оси, как правило, не совпадают ни с осями Ох , Оу , ни с направлениями силы резания.

Относительно силы резания предполагается, что она зависит только от мгновенного значения толщины снимаемой стружки, причем по линейному закону

(3.55) где Рт - значение силы резания при отсутствии колебаний; г - постоянный коэффициент (зависящий от удельной силы резания). Характеристика (3.55) является квазистатической, что обусловливает приближенность рассматриваемого метода.

Принимая в качестве обобщенных координат перемещения ц.м. резца по осям ОХ] и 0х2, составим выражение для кинетической энергии системы

Т=1т(^+х22). (3.56)

В число сил, для которых можно ввести потенциальную энергию, входят реакции упругих элементов и постоянная составляющая силы резания Рро. Потенциальную энергию будем считать равной нулю, когда резец занимает положение, соответствующее исходному режиму резания, т.е. когда его центр масс находится в начале координат xix2. Тогда можно записать

П = 0,5m(cxlX]2 + сх2х2) ? (3.57)

Для вычисления обобщенных сил Qx] и Qx2, соответствующих переменной составляющей силы резания (-гу), находим выражение для работы, которую совершает эта сила, если в произвольном положении резца ему сообщить малые перемещения Sxi и бх2:

SFF=-rycos(P-a0) 5xi-rysin(P-ao) Sx2 (3.58)

Подставляя в (3.58) значения у из (3.50) и сравнивая полученную таким образом формулу с выражением

6W=Qxibxx+ Qx26x2 , (3.59)

получим:

Qxi~ -rcos aocos(p-ao)xi + rsinaocos(p-ao)x2;

Qx2= -rcos aosin(P-ao)xi + rsinaosin(P-ao)x2 (3.60)

Введем обозначения, рис. 3.19:

cos aocos(P-ao)=^n ; sinaocos(p-a0) =?i2 ;

cos aosin(p-ao) =?2J; sinaosin(p-ao) =^22- (3.61)

Воспользовавшись уравнением Лагранжа второго рода [9, 11], получим:

wx, + сх1х( = -r^nxx -г(^2х2;

тх2 + сх2х2 = -гС,21хх + гС>22х2. (3.62)

Структурная схема системы (3.62) представлена на рисунке 3.19, где приняты обозначения:

Т^т/со; cxi=c0; г/с0=^; схХссху, кс= сх2х] (3.63)

Система дифференциальных уравнений колебаний (3.62) может быть представлена в виде

Т2‘хх + (1 + 1ф)х1 - (^12фх2 = 0;

Т2х2 + (кс -?22ф)х2-;21фх. =0. (3.64)

Структурная схема системы с координатной связью

Рис. 3.19. Структурная схема системы с координатной связью

Характеристическое уравнение системы (3.64) будет

z4 +[l+fc +«„ - &2)ф]? + t+fUn-fe) <№1?22- ?12621) ф2=0. (3.65)

Уравнение (3.65) является биквадратным. Обозначим

(3.66)

Тогда получим квадратное уравнение вида

и1 +[l+*t +«ц- Ь1)Ф]«+ ф-«1«22- tl&l) Ф-0. (3.67)

Уравнение (3.67) имеет два корня. Если коэффициенты этого уравнения положительные, то возможны два случая: случай I - оба корня действительные отрицательные; случай II - корни комплексно-сопряженные.

В случае I согласно (3.66) все корни z7 будут чисто мнимыми. Это значит, что решение системы (3.64) будет выражаться через тригонометрические функции. Если учесть влияние в реальной системе диссипативных сил, то такое колебательное движение резца будет затухающим и режим резания будет устойчивым.

Если резец вследствие каких-либо случайных причин был выведен из положения равновесия, он вернется в это положение. Условием существования случая I является положительность дискриминанта уравнения (3.67), т.е.

041+fo +К11- &2)ф]2-4[^ +(кс - адф - (?„&- Cnfe) ф2]>0. (3.68)

В случае II дискриминант D < 0. Представим комплексные корни в тригонометрической форме

«1,2=р ехр(±/ф),

тогда согласно (3.66) имеем:

z1>2=±p0,5 е0,5 exp(zq>/2); z3>4=±p0,5 е0,5 exp(-zcp/2),

или z^2 =±(a+ib); =±(a-ib),

где a=p0,5cos((p/2); Z>=p°’5sin(q>/2). (3.69)

Заметим, что в этом случае а * 0 , так как, если бы cos((p/2)=0, то это означало бы, что ф=л:, т.е. что числа ил 2 чисто мнимые.

Если, например, а > 0 , то это будут числа:

z =a+ib; z2 =a-ib (3.70)

Из (3.69) и z=Tk находим

li =ra+ib); Х3 =Ta-ib) , (3.71)

и, следовательно, действительные решения уравнений (3.64), соответствующие корням (3.71), будут иметь вид

Формула (3.72) показывает, что в случае II амплитуда колебаний будет быстро нарастать вследствие наличия множителя ехр^ау) . Это означает, что установленный процесс резания будет неустойчивым: при малом случайном отклонении резца от положения равновесия он не вернется в исходное положение и будет колебаться с неограниченно возрастающей амплитудой.

В реальной системе при наличии диссипативных сил амплитуда колебаний не может нарастать неограниченно. Однако так как технологические системы относятся, как правило, к слабодиссипативным системам, уровень установившихся автоколебаний может оказаться настолько большим, что осуществление процесса резания оказывается невозможным. Исследования показали существенное влияние автоколебаний на стойкость инструмента, производительность обработки, волнистость и шероховатость обработанной поверхности, остаточные напряжения поверхностного слоя. Такое влияние является обычно отрицательным, поэтому, как указывалось выше, автоколебательные режимы даже с ограниченной амплитудой не рекомендуются в качестве рабочих.

Пример 1. Положим в качестве исходных данных:

Оо=30°; 0=60°; cxl = с0; сх2 =2,25с0 с =2,25).

Вычисляя коэффициенты у,Л = 1,2 по формулам (3.61), находим: ?ц=3/4; zi2=30,5/4; z2i=30,5/4; ?22=1/4, причем ?n^22-?i2?2i=0. Тогда уравнение (3.67) приобретает вид

м2+(3,25+0,25ф>+(2,25+1,437ф)=0, (3.73)

причем все его коэффициенты - положительные.

Дискриминант D уравнения (3.68) будет меньше нуля, если

(3,25+0,25ф)2-4(2,25+1,437ф)<0.

Решая это неравенство, находим

0,67< ф<9,33

Таким образом, автоколебания впервые могут возникнуть при г > О,67со.

Пусть в данном случае принято:

сх1О =12 104 н/см; Сх2 =2,25 -с0 = 27 -104 Н/см.

Такие значения коэффициентов жесткости соответствуют закреплению резца на свободном конце заделанного стального стержня прямоугольного сечения с размерами, указанными на рис. 3.20.

Автоколебания в этом случае начнутся

при г = 0,67 • 12 • 104 = 8,04 • 104Н/см = 8040 Н/мм.

Как следует из формулы (3.55), коэффициент г численно равен увеличению толщины снимаемой стружки на 1 мм. Если удельное сопротивление резанию принять р0 = 2 ? 103 Н/мм2, то полученное значение г будет соответствовать поперечному точению резцом с шириной режущей кромки ~ 4 мм.

Эквивалентная схема крепления резца (/ = 100 мм; b = 30 мм; h = 20 мм)

Рис. 3.20. Эквивалентная схема крепления резца (/ = 100 мм; b = 30 мм; h = 20 мм)

Источником колебаний в рассмотренном примере является, очевидно, процесс резания. Если измерить усилие резания при колебаниях, то окажется, естественно, что это усилие с течением времени периодически изменяется с той же частотой, с которой происходят автоколебания. Отметим, что частота установившегося автоколебательного режима обычно близка по величине к собственной частоте свободных колебаний упругой технологической системы, но не равна ей. Переменная составляющая усилия резания, которая на первый взгляд является возмущающей силой, вызывающей колебания, в действительности возникает лишь благодаря наличию установившегося колебательного процесса.

В соответствии с рассмотренным принципом координатной связи в процессе автоколебаний, резец колеблется одновременно по двум направлениям (bq и 0х2, поэтому его траектория представляет собой замкнутую кривую АтВп (рис. 3.21). Если движение резца по этой кривой происходит в направлении, указанном стрелками, то на части пути АтВ сила резания производит отрицательную работу, так как ее направление противоположно направлению движения. Отметим, что на пути АпВ сила резания производит положительную работу, причем на этом пути сила резания в среднем больше, чем на пути АтВ . Следовательно, в течение одного цикла колебания сила резания совершает некоторую положительную работу.

Поскольку работа силы резания при перемещении резца из точки А в точку В зависит от пути (АтВ или АпВ), по которому осуществляется это перемещение, то эта сила является непотенциальной [70]. Именно поэтому сила резания и может совершать работу, поддерживающую колебательный процесс при наличии трения. При этом энергия, рассеиваемая в системе на трение, сообщается ей извне приводным двигателем (не колебательным источником), поэтому автоколебания в установившемся режиме происходят с постоянной амплитудой.

Эллипс взаимных перемещений резца и заготовки при резании в режиме автоколебаний

Рис. 3.21. Эллипс взаимных перемещений резца и заготовки при резании в режиме автоколебаний

Из представленных выше элементарных соображений очевидно, что для объяснения процесса автоколебаний при принятом выше выражении для силы резания, необходимо рассматривать систему как минимум с двумя степенями свободы. Действительно, если бы резец совершал колебания вдоль какой-либо прямой линии, то на пути от А к В сила производила бы в точности такую же работу (но обратную по знаку), как на пути от В к А. Тогда суммарная работа в течение каждого периода колебаний равнялась бы нулю. Поэтому колебания в системе, возникшие вследствие тех или иных случайных причин, затухали бы вследствие рассеяния энергии на трение.

Основы современной динамики технологических систем механической обработки резанием заложены работами, выполненными В.А.Кудиновым [63, 64, 70] и его последователями [19, 27, 69, 73]. Им впервые было предложено рассматривать технологическую систему как замкнутую многосвязную динамическую систему. В рамках такого подхода была разработана динамическая характеристика резания, представленная в общем случае зависимостью изменения силы резания от вызвавшего это изменение относительного смещения заготовки и инструмента.

При этом считается, что изменение силы резания определяется следующими причинами: изменением скорости резания или скорости скольжения стружки по передней поверхности резца; изменением сечения среза при условии резания по вибрационному следу от предыдущего прохода; изменением углов резания в связи с изменением направления вектора скорости резания и пр. (рис. 3.22)

Основываясь на современном учении о резании металлов, В.А.Кудинов установил одно из важнейших для понимания процесса стружкообразования положений: изменение какого-либо параметра резания вызывает не мгновенное изменение силы резания во времени (т.е. сопровождается отставанием или опережением изменения) [70].

Схемы зоны резания (а) и сил (б), действующих на объем деформируемой стружки

Рис. 3.22. Схемы зоны резания (а) и сил (б), действующих на объем деформируемой стружки

Динамическая характеристика резания в предположении, что она определяется силами, действующими на передней и задней поверхностях резца, получена в виде

р =к '^Р^Р^ (3.74)

’ + Трр '

где Тауау; Ту, Та - соответственно постоянные времени переднего и заднего углов; T(V=(TaTp)°’5, Тр - постоянная времени процесса стружкообразования; кр - коэффициент резания; у - относительное смещение резца и заготовки по нормали к поверхности резания.

Постоянная времени переднего угла определяется по формуле

Т7=а„К,/(у^),

(3.75)

где ао, - стационарные значения соответственно толщины срезаемого слоя а и усадки 4 (а а, см. рис. 3.22); Ку - отношение приращения усадки стружки к приращению переднего угла (величина Ку ~1); v - скорость резания.

Постоянная времени заднего угла определяется зависимостью вида

(3.76)

причем h - высота фаски на задней поверхности (фаски износа или искусственной фаски); На - коэффициент контактной жесткости, полученный в результате линеаризации зависимости давления от контактной деформации по задней поверхности; К - удельная сила резания (сила резания, отнесенная к площади срезаемого слоя; Х=<Т(?о; <*о - условное напряжение, выражаемое через предел прочности обрабатываемого материала).

Постоянная времени процесса стружкообразования вычисляется по формуле

Тр =(m/n)a?0/v, (3.77)

где m = ljlt ; n = cxfcl', lx - смещение на условной плоскости сдвига точки приложения усилия резания от вершины резца; - длина сечения стружки на условной плоскости сдвига; с, - длина контакта стружки по передней поверхности резца; сх - смещение точки приложения силы резания по передней поверхности от вершины резца (рис. 3.22,6).

Для стали в условиях стационарного резания m/п » 4; для динамически нестационарных условий резания т/п = 1,...,,5. Методика определения отношения т/п и влияние параметров процесса резания получены в работе В.А.Кудинова [64].

Коэффициент резания Кр определяется из выражения

КР=КЬ, (3.78)

где b - ширина срезаемого слоя.

Отметим, что рассмотренная выше динамическая характеристика резания выведена на основе варьирования параметров квазистатической характеристики резания, а не на основе рассмотрения строго нестационарных процессов стружкообразования в зоне резания. Коэффициенты и постоянные времени, а следовательно, и динамическая характеристика резания могут быть получены экспериментально. Вместе с тем, эту характеристику можно построить расчетным путем. Некоторые данные для этого имеются в работе [63], там же приводятся примеры расчета характеристики.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >