вторая. Теория принятия решений в управлении финансовыми системами и объектами

Теория принятия решений

в управлении финансовыми системами

и объектами

Методы теории вероятностей и математической статистики для количественной оценки риска

Теория вероятностей и основанная на ней математическая статистика дают, пожалуй, самые широко используемые методы оценки и управления рисками. Базовым здесь является понятие случайной величины. Простейший, но важный класс образуют дискретные случайные величины с конечным множеством значений. Каждая случайная величина из этого класса определяется своим распределением, которое может быть заданно в виде таблицы где Xj (i = 1,2,..., N) — значение случайной величины; Pt вероятность реализации (появления) значения Xt. Значениями случайной величины могут быть количественные оценки последствий какого-либо действия, например, величины дохода, прибыли и иных характеристик экономико-управленческой деятельности.

Эквивалентный способ задания дискретной случайной величины — это определение ее функции распределения, т. е. функции вида F(x) = Р(Х( < х), показывающей вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше фиксированного значение х. Для дискретной случайной величины функция распределения является кусочно-постоянной (рис. 1).

Основными характеристиками случайной величины, используемые при расчете риска, являются:

  • — математическое ожидание (ожидаемое или среднее значение) М изучаемой случайной величины (последствий какого-либо действия, например, дохода, прибыли и т. п.);
  • — дисперсия о2;
  • — стандартное (среднеквадратичное) отклонение о;
  • — коэффициент вариации V(стандартное относительное отклонение).

Часть вторая. Теория принятия решений в управлении финансовыми системами и объектами

Среднее значение дискретной случайной величины с конечным множеством значений определяется соотношением М(Х) = ±Х^.

/=1

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику ожидаемого результата.

Важной характеристикой, определяющей меру изменчивости возможного результата, является дисперсия — средневзвешенное из квадратов отклонений действительных результатов п 2

от среднего о2 -Л/(Х))‘Т’, а также очень близко с ним /=1

связанное стандартное или среднеквадратичное отклонение, /-- F 2

определяемое равенствами с = Уст2 = - Л/(АЭ)‘ У’. Ины-

V /=1

ми словами, дисперсия — это усредненное отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Стандартное отклонение показывает меру отклонения измеряемой величины от своего среднего значения в тех же единицах, что и она сама (не в квадратах, как дисперсия).

Средний квадратический разброс можно также рассчитать по формулам

а2 = X Р,Х, + X Р,М(ХУ -2М(Х)Х Р,Х,-, i i i

^=^РХ:-М(Хг.

i

Стандартное относительное отклонение — это стандартное отклонение, выраженное в долях математического ожидания,

(1)

М(Х)'

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение служат л/е-рами абсолютного рассеяния, в то время как стандартное относительное отклонение по самому своему определению есть мера рассеяния возможных результатов, учитывающая средний ожидаемый результат.

Кроме рассмотренных выше дискретных случайных величин, существуют случайные величины с иными типами распределения вероятностей. Наиболее часто используются непрерывные случайные величины. Они могут принимать бесконечное множество значений, считается, что значение теоретически может быть любым числом из заданного промежутка или всей числовой прямой. Как и для любой случайной величины, функция распределения, задаваемая равенством F(x) = Р(Х,<х), полностью определяет непрерывную случайную величину. Специфика непрерывных случайных величин состоит в том, что функция F(x) для них предполагается непрерывно дифференцируемой на всей числовой прямой (иногда накладывают несколько более слабые условия).

В силу сделанных предположений и свойств, вытекающих из определения функции распределения как вероятности некоторого события, зависящего от аргументах, для величины F(x) справедливо представление

Лх)=

где f — так называемая плотность распределения, или дифференциальная функция распределения, /(х) = Fx).

Важным свойством графика дифференциальной функции распределения (рис. 2) является то, что площадь, ограниченная кривой y = f(x) и осью абсцисс, всегда равна единице.

Использование функции плотности распределения позволяет вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (а,р), которая определяется следующим образом:

?

P(y где f(t) — дифференциаль-

У

ная функция распределения случайной величины X.

Плотность нормального распределения случайной величины

Рис. 2. Плотность нормального распределения случайной величины

Изложенные выше положения довольно часто являются исходной базой количественной оценки риска на основе использования вероятностно-статистических методов. Характер, тип распределения отражает общие условия, вытекающие из сущности и природы явления, и особенности, оказывающие влияние на вариацию исследуемого показателя (ожидаемого результата).

Для моделирования распределений, возникающих при исследовании социально-экономических явлений, наиболее часто используется так называемое нормальное распределение. Известно, что закон нормального распределения характерен для распределения событий в случае, когда их исход представляет собой результат совместного воздействия большого количества независимых факторов и ни один из этих факторов не оказывает преобладающего влияния. В действительности нормальное распределение для экономических явлений в чистом виде встречается редко, однако если однородность совокупности соблюдена, фактические распределения можно считать близкими к нормальному. На практике для проверки обоснованности выбора того или иного типа распределения используются различные статистические критерии согласия (между эмпирическим и теоретическим распределением), которые позволяют принять или отвергнуть принятую гипотезу о законе распределения.

Нормально распределенная случайная величина является непрерывной, и ее дифференциальная функция распределения -(х-М(Х))2

имеет вид у = f(x) =—2°2

а>/2л:

График функции плотности нормального распределения описывается так называемой нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 3).

Определение вероятности события по плотности распределения

Рис. 3. Определение вероятности события по плотности распределения

Пусть планируемое значение некоторой случайной величины равно М(Х) и известна плотность распределения вероятности. Зададим максимально допустимое отклонение Д фактического результата %схр от Л/(А). В таком случае границы, в которых должен находиться этот результат, будут X* = М(Х) — Д, %** = М(Х) + Д. В общем случае нет необходимости предполагать, что планируемый результат совпадает с М(Х), ожидаемая

(планируемая) величина может отличаться от средней. Границы возможных изменений по отношению к ожидаемой (запланированной) величине также могут располагаться асимметрично. Исходя из смысла функции плотности распределения вероятность Р, того, что достигаемый результат Хехр будет находиться в допустимых пределах, определится равенством /’. = Р(Г<%ехр<Г‘)= Xf(t)dt.

х'

Вероятность Р* равна площади заштрихованного участка на рис. 3.

Полученную таким образом вероятность Р* можно назвать вероятностью достижения ожидаемого (планируемого) результата. Возникает вопрос о том, какова вероятность попадания величины %ехр за пределы допустимых границ. Эту вероятность мы обозначаем символом Р*. Вычислив площадь неза-штрихованного участка на рис. 3, мы получаем ответ на вопрос. Заметим, что справедливо равенство

Р* = Р (Ххр < Г) + Р ехр > Г*) = 1 - Р (Г < Хехр < Г*),

т.е. Р* = 1 — Р*.

Как правило, граница изменения ожидаемого результата в положительную сторону (направление) не устанавливается, поэтому при определении Р* в большинстве случаев речь идет только о величине Р* = Р (Jfexp < X*).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >