Условия консенсуса в сетях с нелинейными связями и переменными запаздываниями (А. В. Проскурников)

Введение

В последние годы наблюдается значительный рост интереса к различным типам регулярного кооперативного поведения в многоагентных и сложных системах, достигаемого за счет локальных взаимодействий между агентами (более простыми разнородными компонентами сложной системы). Под «локальностью» взаимодействий подразумевается отсутствие у агента возможности контактировать со всей сетью (о которой он может даже не иметь полной информации) и, как следствие, необходимость использования распределенных алгоритмов обмена данными и управления, при которых агент взаимодействует (путем обмена данными, физического воздействия и т. д.) лишь с относительно небольшой группой соседей. Одним из простейших и тем не менее очень важных примеров такого рода взаимодействия является консенсус, или синхронизация, между агентами. Принцип консенсуса лежит в основе многих природных явления и инженерных решений (например, законов движения биологических и искусственных формаций, таких как рой насекомых или группа беспилотных летательных аппаратов) и стал в последние годы предметом интенсивных исследований. История вопроса, в том числе происхождения первых консенсусных алгоритмов, может быть найдена в недавних статьях и монографиях [1, 2, 9, 13, 18, 19] (см. также ссылки в указанных источниках).

Несмотря на колоссальный прогресс в данной области, ряд вопросов по-прежнему остаются открытыми даже в том случае, когда агенты описываются динамической моделью первого порядка (интеграторы с дискретным или непрерывным временем). Среди таких вопросов — проблема робастности консенсуса по отношению к неопределенностям в связях между агентами, в том числе запаздываний по времени. Запаздывания неизбежно возникают в практических приложениях и, как хорошо известно, потенциально могут разрушать устойчивость замкнутой системы. Эффект воздействия запаздываний на данный момент хорошо изучен, тем не менее только для некоторых специальных ситуаций (см., к примеру, обзор в недавней диссертации [11]).

Относительно хорошо изучен случай, когда каждый из агентов может напрямую измерять свой выход, в то время как влияние соседей может запаздывать [4, 10, 14]. В этом случае консенсус устойчив к произвольно большим переменным запаздываниям, если только они остаются ограниченными. По существу, данный факт может быть получен в результате прямого развития метода, предложенного для систем без запаздывания и использующего диаметр выпуклой оболочки агентов в пространстве (вычисляемый в той или иной метрике) в качестве функции Ляпунова [4, 8]. Единственным отличием указанного метода в приложении к случаю запаздывающих связей является замена выпуклой оболочки конечного числа векторов (состояний агентов в текущий момент) на выпуклую оболочку всех состояний за достаточно большой интервал времени.

Вместе с тем указанная выпуклая оболочка уже не сжимается с течением времени, если присутствует запаздывание в собственном состоянии агентов. Такие запаздывания могут возникнуть, в частности, при наличии задержек в актуаторах либо задержках в выходах соседей, которые измеряются в относительной, а не абсолютной системе координат (например, имеется группа роботов, которые не имеют датчиков GPS, а могут измерять лишь относительный пеленг и дальность до некоторых соседей). В общем случае большие запаздывания в собственном состоянии агента приводят к неустойчивости алгоритма, и важной задачей становится получение порогового значения для запаздываний, ниже которого можно гарантировать консенсус. В случае линейных сетей с постоянными коэффициентами точные границы могут быть получены с помощью частотных методов [5, 6, 12, 21]. Однако для сетей с переменной топологией известны только достаточные оценки, как правило получаемые из линейных либо билинейных неравенств высокой размерности [7, 20] и накладывающие, помимо прочего, ряд ограничительных предположений на запаздывания (например, что они имеют производную, меньшую 1). Помимо этого, указанные оценки относятся только к случаю линейных связей между агентами. Вместе с тем для многих приложений требуется изучать алгоритмы консенсуса с нелинейными связями [18, 19]. К примеру, синхронизация осцилляторов обычно достигается путем применения периодических связей, другим типичным примером является зависимость интенсивности взаимодействий от расстояния между агентами [8]. Нелинейности могут также возникать из-за искажений в измеряемых данных, эффектов АЦП/ЦАП преобразований, квантования и т. д.

В отличие от предыдущих работ в данной главе речь идет о сетях с нелинейными связями, переменной топологией и переменными неизвестными запаздываниями, предположения о которых мотивированы распространенным случаем, когда запаздывание присутствует в относительных измерениях положения соседей. Мы ограничиваемся сетями агентов первого порядка с неориентированной топологией и симметричными запаздывающими связями. Связи и запаздывания могут быть неизвестны, известны лишь оценки для запаздываний и сектор, содержащий график нелинейности. Основной результат статьи — явные аналитические критерии, которые гарантируют не только достижение консенсуса, но и его робастность по отношению к описанной выше неопределенности. Данные критерии получены как для непрерывных, так и для дискретных систем. Работа обобщает результаты, полученные ранее в [15, 16] (случай постоянных запаздываний) и [17] (связи специального вида и более сильные предположения о топологии сети).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >