Сложное сопротивление

Совместное действие изгиба с кручением

На практике кручение часто сопровождается деформацией изгиба. С таким сложным видом деформации приходится иметь дело при расчете валов передач, когда силы, действующие на вал, не проходят через его ось.

Ведущее зубчатое колесо передает окружное усилие Ft на расстояние J/2 от центра колеса, т. е. от центра вала, на котором это колесо расположено (рис. 2.60).

Перенесем силу Ft в центр вала. Чтобы система сил была эквивалентной, приложим вторую силу F„ направленную противоположно.

Получим в результате пару сил с моментом, равным Ft-dll., скручивающую вал, и силу Ft, которая вал изгибает.

Следовательно, в материале вала возникают нормальные напряжения от изгиба и касательные от кручения, которые определяются по известным зависимостям:

Л/и> _Мк

Wn

И р

Наибольшие напряжения от изгиба и от кручения возникают на поверхности вала (см. рис. 2.61). Каждое из них, взятое в отдельности, может быть меньше допускаемого для соответствующего вида деформации. Однако их одновременное действие может привести к разрушению вала.

Для оценки одновременного действия нормального напряжения о от изгиба и касательного т кручения выделим в наиболее опасном сечении у наиболее опасной точки а или b элемент материала (см. рис. 2.62, а). По четырем граням этого элемента действуют касательные напряжения, а по двум — еще и нормальные о, следовательно, мы имеем случай плоского напряженного состояния. Для определения главных напряжений (рис. 2.62, б) при плоском напряженном состоянии воспользуемся известными формулами:

Рис. 2.62

В соответствии с третьей теорией прочности подставим в формулу (2.96) значения главных напряжений о, и о2 из выражения (2.95) и получим следующую зависимость, выражающую условие прочности:

оПР =>/а2+4т2 <[а].

(2.96)

Здесь о = —= тг-гтг, т = —у- = к , где d — диаметр вала в рас-

0,ш Wp 0,2d

четном сечении. Подставим значения о и т в формулу (2.96):

^=1й)+4(о5’)=о,1^^и^^[4

(2.97)

Обозначим + через Л/ПР — приведенный момент. Тогда условие прочности по третьей теории можно записать в виде:

= <Г 1

пр 0,W3 L

(2.98)

Из выражения (2.98) получаем зависимость для определения диаметра вала по третьей теории прочности:

d>3 Мцр

(2.99)

В случае, если вал испытывает изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то изгибающий момент определяем по формуле

м^м^+м^.

(2.100)

По четвертой теории условие прочности для плоского напряженного состояния имеет вид:

аПР_7а12 а1а2 -[СТ]‘

(2.101)

Подставляя значения главных напряжений О] и о2, выраженных через напряжения от изгиба и от кручения (формулы (2.95), получим

опр =л/о2 + 3т2 < [о].

(2.102)

Следовательно:

anp=W^+0’7W‘s[a]'

(2.103)

Таким образом, приведенный момент по четвертой теории прочности определяется по формуле:

Л/Г|р=7л/и+0.75Л/4!.

(2.104)

Диаметр вала определяют по формуле (2.99), подставляя полученное значение Л/Пр по четвертой теории прочности.

Расчет по третьей теории рекомендуется применять при расчете нереверсивных валов, по четвертой — для реверсивных.

Допускаемое напряжение принимают для валов, выполненных из углеродистой стали, в пределах 60 МПа либо определяют в зависимости от предела прочности по формуле:

[а] = 0,088ав.

(2.105)

Оценка прочности и определение диаметра вала по четвертой (энергетической) теории прочности производится по формулам (2.98) и (2.99), в которые должен быть подставлен приведенный момент, рассчитанный по выражению (2.104).

Отметим, что формула (2.103) для третьей и четвертой теорий прочности дает практически один и тот же результат, так как полученный при расчете диаметр вала должен быть округлен до стандартного значения в соответствии с нормальным рядом линейных размеров по ГОСТ 6636-69.

Сочетание изгиба с растяжением или сжатием

До сих пор при рассмотрении изгиба балок предполагалось, что внешние силы, действующие на балку, перпендикулярны к ее оси. Рассмотрим более общий случай, когда изгибающая сила, действующая на балку, наклонна к ее оси.

На балку, защемленную одним концом, действует сила F в плоскости продольной симметрии балки под углом а к оси балки (рис. 2.63).

Разложим силу F на две составляющие 7и Fy. Сила Fy, перпендикулярная к оси, вызывает изгиб балки, а сила Fx, действующая вдоль оси, вызывает в балке растяжение.

Нормальное напряжение, вызываемое силой Fx, во всех поперечных сечениях балки одинаково и распределено по сечению равномерно.

Напряжения изгиба зависят от величины момента. Наибольший изгибающий момент будет в защемлении, поэтому наиболее опасным сечением будет сечение, граничащее с защемлением. Максимальные напряжения в этом сечении:

аи — — напряжение растяжения в верхних крайних во-" Z

локнах;

и = ^—--напряжение сжатия в нижних крайних волокнах.

Суммарное напряжение в точке А:

Для точки В:

^шах

Fylh}

Fylh.

Л

  • (2.106)
  • (2.107)

Напряжение amin > 0, если -у- >

Fy-lh.

А

F F-1-h, amin<0 ,если-^<

У1

A Fx Fylh1 omin =0 при — = —---

Таким образом, знак omin зависит от соотношения напряжений F^A F

и ---. Эпюра напряжений приведена на рис. 2.63 (|ои|> ор).

Л

В частном случае, когда hy — h2 — h, имеем:

F F-l = ^+^—;

^max

A

Если составляющая Fx не растягивает, а сжимает балку, тогда:

В этом случае предполагаем, что балка настолько жестка, что прогибы незначительны и сила Fx, сжимающая балку, все время действует параллельно оси балки, не вызывая ее искривления, т. е. не дает момента относительно нейтральной оси поперечного сечения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >