Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки
Рассмотрим балку, нагруженную силами F,, F2, F3. Опорные реакции — RA и Rb (рис. 2.54). Запишем момент в сечении п-п от сил, лежащих левее сечения:
мих = RAx-Fl(x-al)+F2(x-a2).
Поперечная сила в этом сечении равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных слева от сечения:
Qx = Лт_ + Д •
Индекс «х» у изгибающего момента и поперечной силы означает, что они являются функциями абсциссы х.
Определим значение момента в сечении п'-п', расположенного на расстоянии dx от первого сечения:
Л/н , = (x + dx)-F} (х + dx-a}) + F2 (x + dx-a2).
Приращение момента:
dM- = = + ^х.
т. е. dM„ = Q,dx, откуда:
О -dM" х dx
(2.80)
Поперечная сила в сечении равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения.
Этот вывод справедлив и при наличии равномерно распределенной нагрузки q.
Рассмотрим балку, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой q и силами Fx и F2 (рис. 2.55).
Если в сечении п-п поперечная сила равна Qx, то в сечении, расположенном на расстоянии dx от рассматриваемого, поперечная сила будет равна Qx+dQx, где dQx = q-dx. Следовательно:
(2.81)
т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
Возьмем производную от обеих частей равенства (2.81) и получим
dQx d2Mn dx ~ dx2
(2.82) т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки.
Зависимости (2.81) и (2.82) выведены русским ученым Д. И. Журавским и используются при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях балки, зависят от изгибающих моментов Л/и и поперечных сил Q. Для определения опасных сечений и наглядного представления о характере изменения Ми и Q по длине балки строят графики, которые называются эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил. Чтобы усвоить технику их построения, рассмотрим пример.
Построить эпюры Q и Ми для балки, представленной на рис. 2.56, а. Решение
- 1. Определение опорных реакций:
- 2Х=о;
qa ~+M+RB-2a-F-3a=0;
-qa'-M+3Fa -10--'-10+3-10-1
R„ = —--------=----2---------= 7.5H;
- 8 2a 21
- -qa-2,5a-RA-2a + M -Fa = 0;
„ q-2,5a2 + M-Fa 10-2,5 + 10-10 CLJ
=-------2a-------=------2------= 12> 5 H'
Проверка: ^Fky=Q; -q a + RA + RB-/’ = -101 + 12,5 + 7,5-10 = 0.
2. Построение эпюры поперечных сил «Q» (см. рис. 2.56, б). Характерными сечениями разбиваем балку на четыре участка. Сечения проводим по краям балки, а также через точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также в начале и конце участков с рас пред елейной нагрузкой. Поперечную силу в пределах каждого участка будем записывать в виде уравнения, аргументом которого является переменная координатах. Поперечную силу находим в соответствии с правилом как алгебраическую сумму внешних сил, действующих слева от рассматриваемого сечения. Индекс у поперечной силы обозначает номер участка.
Q = -qx — это уравнение прямой линии, которую можно построить по двум точкам. Определяем значение Q в начале и конце участка.
21х()=0; 0Ui=-<71 = -lO Н;
Qn = RA-q a = 12,5-10 l = 2,5H.
В любом сечении участка А С поперечная сила имеет одно и то же значение, эпюра будет изображаться линией, параллельной базовой оси.
Qin = RA-q а = 2,5Н. Характер эпюры тот же, что и на участке АС.
Для определения Q на участке BD удобнее отбросить левую часть и рассмотреть оставшуюся правую. QIV = F = ЮН .
Проводим базовую ось параллельно оси балки и в масштабе строим эпюру поперечных сил на каждом участке в соответствии с уравнениями (см. рис. 2.56, б).
3. Построение эпюры изгибающих моментов Ми (см. рис. 2.56, в). Изгибающие моменты также определяются по участкам и записываются в виде уравнений, в которых независимой переменной является координатах:
,, х х[1]
= -qx- = -q—.
Уравнение изгибающих моментов на участке О А является уравнением второго порядка. Для построения эпюры необходимо определить моменты трех или более точек. Определим Ми в начале, конце и в середине первого участка:
Рис. 2.56 Изгибающий момент на втором участке АС определим как алгебраическую сумму моментов внешних сил слева от сечения с координатой хп М n =-qa- х-у I + RA (х~а) = -10(х-0,5)+12,5(х-1). Получили уравнение прямой линии, которую можно построить по двум точкам, соответствующим двум значениям изгибающего момента. Находим эти значения в начале и конце участка Л С: М„ =-10 0,5 + 12,5 0 =-5 Н м; "х=1 М„ =-10-1,5 + 12,5-1 =-2,5 Нм. х=2 Уравнение моментов для участка CD также запишем, суммируя моменты внешних сил, расположенных слева от сечения хш Мш - -q-a(x-^j + RA (х-а)-М = —10(х — 0,5) + 12,5(х — 1)—10. Определим значения изгибающих моментов на границах участка С Я: Мш =-10-1,5 + 12,5-1-10 = -12,5 Нм; "'х=2 М... =-10 2,5 + 12,5-2-10 = -10 Нм. '"х=3 Для определения изгибающих моментов на четвертом участке удобнее отбросить левую часть балки, так как к ней приложено большее число внешних сил: М„ = -F(4«-x) = -10(4-x). Значения моментов на границах участка: = 101 = -10 Н-м; М,„ = 0 Н-м. х=3 х=4 Строим в масштабе эпюру «Ми» на каждом участке в соответствии с полученными уравнениями (см. рис. 2.56). Анализируя эпюры «Q» и «Л/и», можно отметить следующие зависимости между характером эпюр и нагрузок: Перечисленные зависимости используются для контроля правильности построения эпюр внутренних силовых факторов при деформации изгиба.
