Центр тяжести

На все частицы материального тела вблизи земной поверхности действуют силы притяжения к Земле, называемые силами тяжести. Если размеры тела сравнительно невелики, эти силы параллельны между собой и направлены в одну сторону. Их равнодействующая называется силой тяжести тела. Очевидно, что

^G = (1.51)

*•=1

где G — сила тяжести тела;

G_k — сила тяжести к-й частицы.

Как было показано ранее, равнодействующая двух параллельных и одинаково направленных сил проходит через одну и ту же точку С при любой ориентации сил относительно прямой, соединяющей точки их приложения. Этот результат может быть распространен и на случай большого числа параллельных сил, направленных в одну сторону, так как, найдя центр первых двух сил, в нем можно приложить их равнодействующую, затем найти центр этой равнодействующей и некоторой третьей силы системы и т. д. Следовательно, система сил тяжести частиц материального тела имеет свой центр, через который проходит линия действия их равнодействующей. Эта геометрическая точка, принадлежащая телу, называется его центром тяжести.

Чтобы найти положение центра тяжести тела, выберем систему координат Oxyz, неизменно связанную с телом. Ось Oz направим вертикально вверх, т. е. параллельно линиям действия сил тяжести. Тогда можно записать:

Ё«?л) ЕХл) ?«?_Л)

_v _ 1=1________. ,, _ 1=1________- „ _ 1=1________

G ’ ^У‘~ G ’ ^Z‘~ G '

По таким же формулам можно вычислять координаты центра тяжести тела, если сама система координат с ним непосредственно не связана.

Представим себе некоторый объем V, заполненный однородным веществом, имеющим удельный вес у. Силы тяжести такого тела и некоторой его частицы пропорциональны их объемам V и V_k:

G = Vy, G_k=V_kr (1.53)

Если в формулы (1.52) подставить значения G и G_k, получим:

?(ИЛ) Ё(И_Л) ±<У_Л)

_v _ А = 1___________. _ fc = l__________. _ _ А = 1__________ U

- _у , у_с - _у , Z_e ~ _у •

Выражения (1.54) определяют положение центра тяжести объема, который является его геометрической характеристикой.

Рассмотрим теперь тонкую однородную пластинку весом Р. Эта сила равномерно распределена по всей площади пластинки, так что G = Лу, где у — сила тяжести, приходящаяся на единицу площади.

Мысленно разобьем всю пластинку на п частей (k = 1, 2,..., п). Очевидно, что сила тяжести G_k равна А_к ? у.

Выберем систему координат, расположенную в плоскости пластинки, и найдем положение ее центра тяжести С:

?(4л) ?(4л>

_г _ А 1_________- _v _ А = 1_________ (1.33)

А ’ ^У‘~ А ’

где х_к и у_к — координаты центров тяжести выделенной части.

Формулы (1.55) определяют положение центра тяжести пластинки, но положение этой точки не зависит ни от силы тяжести, ни от вещества, из которого сделана пластинка. Следовательно, по ним находится положение центра тяжести не самой пластинки, а ее площади. Таким образом, приходим к понятию центр тяжести плоской фигуры, т. е. геометрического объекта, не обладающего массой. Это понятие является еще одной геометрической характеристикой плоской фигуры.

Аналогичными рассуждениями можно прийти к понятию центр тяжести геометрической линии'.

iscso

_ A-l_________. _ A-1_________- - _ A-l_________ (1.30)

' " L ’ ^У‘ “ L ' ^Zr~ L '

где L_k — длина k-й части, на которые разбита вся линия.

В формулах (1.52)—(1.56), определяющих центры тяжести материального и геометрического тел, суммы состоят из бесчисленного множества слагаемых. Правила вычисления таких сумм изложены в курсе интегрального исчисления. Здесь рассмотрим некоторые приемы, позволяющие легко определить центры тяжести простейших тел и фигур.

Метод симметрии. Если материальное тело имеет плоскость симметрии, центр тяжести такого тела находится в этой плоскости. Действительно, каждой частице М' такого тела соответствует частица М", расположенная по другую сторону от плоскости симметрии и имеющая такую же силу тяжести. Равнодействующая сила тяжести обеих частиц проходит через середину отрезка М"М', т. е. лежит в плоскости симметрии. Очевидно, что так обстоит дело со всеми точками тела, и поэтому равнодействующая сил тяжести всех частиц тела проходит через точку С, находящуюся в плоскости симметрии.

Например, центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, где пересекаются две оси симметрии прямоугольника. Точно так же центр тяжести параллелограмма, имеющего центр симметрии в точке пересечения диагоналей, находится в этой точке.

Метод разбиения. Сущность данного метода состоит в том, что рассматриваемое тело разбивается на несколько простейших тел, причем таких, что положение центра тяжести каждого из них можно определить заранее, например, используя метод симметрии или по известным формулам. Пусть это будут точки С/х,, г,), С₂(х₂, у₂, г,) и т. д. Обозначим центр

тяжести всего тела С, а его координаты — х_с, у_с, z_c- Они могут быть найдены по формулам (1.51), в которых суммы состоят уже из конечного числа слагаемых по количеству частей, на которые разбивается тело.

Метод отрицательных масс. Тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей отрицательной.

Положения центров тяжести некоторых простых плоских и объемных фигур приведены в таблице.

Таблица

Положение центров тяжести некоторых однородных линий, фигур и тел

Продолжение табл.

Окончание табл.

Многие элементы конструкций выполняются из уже готовых, стандартных профилей — двутавров, швеллеров, уголков неравнополочных и равнополочных и др. Все размеры поперечных сечений таких профилей стандартизированы и определяются сортаментами, где указываются положение центров тяжести, площадь поперечного сечения, а также другие геометрические характеристики, необходимые при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость. Особенности расчета геометрических характеристик конструкций из стандартных профилей приведены в разделе «Сопротивление материалов».

Статический момент площади относительно оси. Рассмотрим плоское поперечное сечение в осях координат Ох-Оу (рис. 1.51).

Рис. 1.51. К определению статического момента

Выделим элемент площади dA с координатами х и у. Используя положение о моменте силы относительно оси, можно составить выражение и для момента площади относительно оси — статического момента:

dS_x = у ? dA; dS_y = х ? dA.

Просуммировав эти произведения по всей площади, получим:

S_x=fy-dA; S_y=fx-dA. q ₅₇)

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно некоторой оси называется взятая по всей ее площади А сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этой оси.

Статический момент площади относительно оси принято обозначать буквой S_k с соответствующим индексом. Его размерность — [длина]³.

Если предположить, что х и у — координаты центра тяжести плоской фигуры, то на основании теоремы о моменте равнодействующей относительно оси статические моменты площади можно представить в виде:

= л-л; ^s,=^Ax<-

Отсюда получаем формулы для определения положения центра тяжести плоского сечения:

^Х‘А'^У‘⁼^А' °'⁵⁸⁾

Если оси проходят через центр тяжести сечения (х. = О, у_с = 0), статические моменты площади относительно этих осей равны нулю. Оси, проходящие через центр тяжести, называют центральными.

Статический момент может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от расположения осей, относительно которых он определяется.

Для вычисления статических моментов площади сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известны площадь А_к и положение центра тяжести (х_к, у_к). Тогда

= Ду,+А₂у₂ + --- + А„у_п = Y 4 л;

Л=1

S_r = А,х, + А₂х₂ + -- + 4-V, = Х^АЛ-

к=

Отсюда можно найти положение центра тяжести сложной фигуры:

С Лс^Хк

_г _ __У. — •

^с ~ _Л ~ "

Z4

(159)

Кроме приведенных выше аналитических методов для определения положения центра тяжести тел сложной формы применяют и экспериментальные способы, например, способ подвешивания.

Пусть требуется определить положение центра тяжести тонкой пластины, имеющей сложную форму. Подвесим тело за некоторую точку А с помощью нити к точке О, а в точке Л, с помощью другой нити подвесим небольшой груз D (отвес) (рис. 1.52, а).

Рис. 1.52. К определению центра тяжести тела способом подвешивания: а — положение 1; б — положение 2

В состоянии равновесия обоих тел нить, удерживающая отвес D, займет вертикальное положение. Отметим на пластине маркером линию АА_{ и повторим опыт, подвесив тело за другую точку, например В (рис. 1.52, б). Снова отметим положение отвеса на пластине (прямая ВВ^. Точка пересечения прямых АА_Х и ВВ_{ на пластине и является ее центром тяжести С.

Примеры решения задач

Задача 1.13. Дан однородный линейный контур, составленный из полуокружности ОК В радиусом R = 100 см, полуокружности ADB радиусом г = 50 см и прямолинейного отрезка ОД длиной R (рис. 1.53). Определить координаты центра тяжести контура.

Решение. 1. Принимаем систему координат Охутак, чтобы весь контур находился в первом квадранте; разбиваем контур на простейшие линии, определяем их длину и координаты центров тяжести.

Полуокружность ОКВ

Ц = tiR = 3,14-100 = 314 (см).

„ _{1ЛЛ z ч} 2R 2-100 _ч

х₁ = R = 100 (см); y_t = — = з = 63,7 (см).

Полуокружность ADB

L, =лг = 3,14-50 = 157 (см).

х₂ = R + г = 100 + 50 = 150 (см); у, = — = 2-52 = 31,8 (см).

7т 3,14

Отрезок О А:

L. = R - 100 (см); х₃ = у = = 50 (см); у₃ = 0.

По формулам (1.56) вычисляем координаты центра тяжести контура:

п

_х . ⁺ 4^ + 4*3 _

L ZL| + Zlj +

314-100+ 157-150 +100-50 59 950 _1П_ . .

=-----314 + 157 + 100-----= — ^{= 105 (CM);}

n

^^ЬкУ^ _ Цу_} + Z₂y₂ + Цу₃ _ 314-63,7 + 157-31,8 + 100-0

L ~ L^+l^+L^ ~ 314 + 157 + 100

24 994,4 _{yloo/ 4}

= —— = 43,8 (cm).

Отмечаем положение центра тяжести контура - точка <7(105; 43,8).

Задача 1.14. На рисунке 1.54 схематично показана плотина, выполненная из бетона и грунта. Найти положение центра тяжести поперечного сечения плотины, если удельный вес бетона 25 кН/м³, а земляного грунта — 18 кН/м³. Размеры

сечения заданы в метрах.

Решение. 1. Принимаем систему координат Оху так, чтобы все сечение плотины находилось в первом квадранте; разбиваем сечение на простейшие фигуры, определяем их площадь и координаты центров тяжести. Бетонную трапецию разобьем на прямоугольный треугольник и прямоугольник.

Треугольник прямоугольный 2x5:

Л, = 1/2 • 2 • 5 = 5 м²;

х, = 2/3 • 2 = 1,33 м; у, = 1/3 • 5 = 1,67 м.

Прямоугольник 2x5:

А₂ - 2 • 5 = 10 м²;

х₂ = 2 + 2/2 = 3 м; у₂ = 5/2 = 2,5 м.

Треугольник прямоугольный 7x4:

А₃ = 1/2 • 7 • 4 = 14 м²;

х₃ = 4 + 1/3 • 7 = 6,33 м; у₃ = 1/3 • 4 = 1,33 м.

Так как поперечное сечение плотины представляет собой плоскость, состоящую из разнородных материалов, то поло жение центра тяжести определим как центр тяжести плоскости на один погонный метр:

_х __ Yi4^i+⁺Y₂4-4 ₌_

у,(4+А) + У₂4

• 25-5-1,33 + 25-10-3 + 18-14-6,33 2511,41 , _{Л1 z ч}
• 25(5-ь10) + 18 -14 627 ^{v 7}

_у _ 714^1+Yi4^+Y₂4T₃ _

Yi(4+4)+y₂4

• 25-5-1,67 + 25-10-2,5 + 18-14-1,33 1168,91 . _or , _ч
• 25(5+ 10)+ 18-14 627 ^{v 7}

где у — удельный вес бетона; у₂ — удельный вес земляного грунта.

Отмечаем на рисунке положение центра тяжести поперечного сечения плотины - точка С(4,01; 1,86).

Задача 1.15. Найти координаты центра тяжести плоского сечения, составленного из стандартных профилей: профиль гнутый замкнутый прямоугольный 150x100x8 и швеллер 18 (рис. 1.55, а).

Решение. 1. По справочнику сортаментов прокатной стали находим для каждого профиля размеры, площадь, положение центра тяжести и вычерчиваем составное сечение в удобном масштабе (рис. 1.55, б):

Профиль гнутый замкнутый прямоугольный 150x100x8 (ГОСТ 25577-83): А_х = 34,42 см², Л, = 150 мм, Ь_х = 100 мм;

Швеллер 18 (ГОСТ 8240-89): Л₂ = 20,7 см², h₂ = 180 мм, Ь₂ = 70 мм, х₀₂= 1,94 см.

На чертеже сечения все размеры проставляем в мм.

Принимаем систему координат Оху так, чтобы все сечение находилось в первом квадранте, и находим координаты центра тяжести каждого профиля:

Ь_{ ¹⁰⁰ СП / ч

х, = у = — = 50 (мм);

У,= = = 145 (ММ);

*2 180 _оп . ,

х₂ = у - -у- = 90 (мм);

у₂ = Ь₂-х₀₂ = 70 -19,4 = 50,6 (мм).

Рис. 1.55. К задаче 1.15: а — расчетная схема ; б — чертеж сечения

По формуле (1.55) вычисляем координаты центра тяжести составного сечения:

_ Дх, + Л₂х₂

Л] + Л₂

• 3442•50 + 2070•90
• 3442 + 2070
• 358 400 _ч
• --------= 65,02 (мм);
• 5512 '

У.(^А_кУ_к) л л

_ А 1_______ _ ^А1У1 ^{+ А}1У1 _

^Ус л д + д

3442-145 + 2070-50,6 603 832 _{1АП z ч}

=------------------------------- 109,55 (мм).

3442 + 2070 5512 '

Показываем на чертеже положение центра тяжести составного сечения по полученным координатам — точка С(65,02; 109,55).

Проверкой правильности нахождения координат центра тяжести сечения, составленного из двух элементов и вычерченного в масштабе, может служить следующее положение: центр тяжести составного сечения лежит на линии, соединяющей центры тяжести элементов сечения. Точка С лежит на линии С,С₂.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Объясните понятие «сила тяжести».
• 2. Что называется центром тяжести?
• 3. Опишите способы определения положения центра тяжести.
• 4. Раскройте сущность статического момента площади плоской фигуры.
• 5. Объясните формулы для определения координат центра тяжести физических тел.
• 6. Определите положение центра тяжести трапеции или треугольника.
• 7. Изложите методику определения центра тяжести сложных сечений.