Элементы теории погрешностей и контроля точности результатов измерений

И КОНТРОЛЯ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Геодезические измерения в строительстве и оценка их точности

И ОЦЕНКА ИХ ТОЧНОСТИ

Измерением называют процесс сравнения какой-либо физической величины с другой, однородной ей величиной, принятой за единицу меры (меры длины, угла, массы, времени и др.). Результат измерения выражается числом, показывающим, во сколько раз измеренная величина больше или меньше принятой единицы меры.

В инженерно-геодезических работах используется метрическая система мер.

Метр в настоящее время определяется как расстояние, проходимое светом в вакууме за 1/299 792 458 долю секунды.

Единицами измерений плоских углов служат градус, град, гон и радиан.

Градус — единица плоского угла, соответствующая 1/360 части дуги окружности. Прямой угол равен 90°. Одна угловая минута равна 1/60 части градуса. Одна угловая секунда равна 1/60 части угловой минуты или 1/3600 части градуса (Г = 60' = 3600").

Град — единица плоского угла, соответствующая 1/400 части дуги окружности. Прямой угол равен 100s. 1 град делится на 100 десятичных минут (lg = 100е). Одна десятичная минута делится на 100 десятичных секунд (1е = 100сс).

Гон — дополнительная единица плоского угла, которую используют взамен града. Один гон равен одному граду. Дольная часть гона — 1 миллигон = 1/1000 гона, 1 сантигон = 1/100 гона.

Радиан — безразмерная величина, выражающая центральный угол как отношение дуги окружности, стягивающей этот угол, к длине всей окружности. Величина л = 3,141592654 выражает отношение длины дуги полуокружности к ее диаметру и соответствует углу в 180°. Для перевода градусной меры в радианы служит формула

Р = тф° / 180°.

Линейные величины (расстояния и превышения) измеряют либо непосредственно с помощью стальных лент (рулеток), све-тодальномеров, либо косвенно — измерением других величин, связанных с искомыми функционально (так в прямоугольном треугольнике по результатам измерения катета и угла между катетом и гипотенузой вычисляется второй катет).

Горизонтальные и вертикальные углы непосредственно измеряют угломерными приборами (теодолитами, тахеометрами, эклиметрами) или определяют косвенно путем вычислений через другие измеренные величины.

Нивелирование (измерение превышений) выполняют чаще косвенно с помощью таких приборов, как нивелиры, теодолиты, тахеометры, гидростатические устройства, радиовысотомеры, барометры и др.

В инженерно-геодезических работах измеряют в основном линейные и угловые величины. Измерения производят по определенным правилам, с контролем (в целях повышения точности и устранения грубых промахов измерений). Число измеренных величин, необходимых для однозначного решения какой-либо задачи, считают необходимыми измерениями. Если измерений произведено больше необходимого числа, имеют место избыточные измерения. Например, углы и превышения измеряют как минимум дважды по соответствующей методике. Линии измеряют в прямом и обратном направлении.

В замкнутых многоугольных фигурах, кроме минимально необходимых, измеряют еще и избыточные величины. В треугольнике минимально необходимыми для измерений являются два угла (третий можно вычислить), но измеряют все три внутренних угла и по отклонению их суммы от 180° оценивают точность выполненных измерений. Если один из углов треугольника измерить невозможно, измеряют два других угла и стороны треугольника, а искомый угол находят как 180° минус сумма двух измеренных углов и контролируют его вычислением по формулам тригонометрии. В замкнутых многоугольниках сумма внутренних углов должна быть равной 180°(и — 2), где п — число вершин.

Погрешности измерений. Поскольку в результатах измерений неизбежно присутствуют погрешности, необходимо знать об их общих свойствах, чтобы по возможности устранять и правильно оценивать точность и надежность измеренных величин. Анализируя погрешности, оценивают правильность процесса измерений, вычислительной обработки данных и точность конечного результата. В процессе измерений взаимодействуют субъект (лицо, выполняющее измерения), средство (прибор), метод, объект и внешняя среда — факторы, влияющие на точность измерений.

Погрешности геодезических измерений зависят от метрологических показателей средств измерений (класса точности, правильности юстировки (настройки) прибора), условий внешней среды (рефракции световых лучей, условий погоды, силы ветра, прочности грунта, уровня вибрационных помех и т. д.). Квалификация наблюдателя также влияет на точность измерений. В зависимости от изменчивости воздействий указанных факторов на условия измерений их погрешности будут переменными по величине и по знаку, но могут содержать и переменные погрешности одного знака. С учетом этого измерения различают на равноточные и неравноточные.

Равноточными считают измерения и результаты измерений однородных величин, выполненные при помощи приборов одного класса точности, одним и тем же способом, в сходных условиях внешней среды, одним и тем же исполнителем.

К неравноточным относят измерения и результаты измерений однородных величин, выполненные с нарушением хотя бы одного из перечисленных условий (например, измерения, выполненные приборами разного класса точности или при существенных изменениях состояния внешней среды).

Истинная абсолютная погрешность (ошибка) А вычисляется как разность результата измерения / и точного (истинного) значения X измеряемой величины:

А = 1-Х. (3.1)

Относительная погрешность — безразмерная величина. Выражается обыкновенной дробью с единицей в числителе и указывает, какую часть составляет абсолютная погрешность от измеряемой величины:

1 / Т = А//= 1 /(/: А), (3.2)

где Т = /: А — знаменатель относительной погрешности.

Если, например, истинное значение длины отрезка L = = 100,10 м, то результаты измерений /, = 100,15 м и /2 = 100,08 м 62

характеризуются абсолютными истинными погрешностями А = = + 0,05 м и А2 = — 0,02 м и относительными погрешностями 1 / Т = 1 / (100,10 : 0,05) « 1 / 2000, 1 / (100,10 : 0,02) « 1 / 5000.

Классификация погрешностей измерений. В окончательных результатах измерений различают погрешности случайные, систематические и грубые.

Случайная погрешность — это та часть погрешностей измерений, которая появляется случайно по модулю и знаку в каждом отдельном результате. При этом множество погрешностей равноточных измерений одной и той же величины подчиняется определенным вероятностно-статистическим закономерностям, и при увеличении числа измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю.

Систематическая погрешность характеризуется некоторым постоянным значением или подчиняется вполне определенной закономерности. Источником систематической погрешности могут служить неучтенное отклонение цены деления мерного прибора или отсчетного приспособления от принятых единиц измерений, недостаточная юстировка прибора, неучтенное влияние внешней среды и др. Такие погрешности выявляют в результате исследований, компарирования и эталонирования измерительных приборов и вносят в виде поправок в результаты измерений. Полностью исключить систематические погрешности невозможно, их можно свести к определенному минимуму, оставшуюся часть обычно относят к случайным погрешностям.

Грубая погрешность (промах) возникает из-за просчетов при измерениях, неисправности прибора, его неустойчивости и др. Такие погрешности выявляют по соответствующим признакам при наличии избыточных измерений и ликвидируют повторными измерениями после устранения причин ошибки.

На практике создают условия для устранения и минимизации систематических и грубых погрешностей измерений. При этом принимают, что остаются лишь случайные погрешности, которые и учитывают при оценке качества и точности получения конечных геодезических данных.

Статистические свойства случайных погрешностей равноточных измерений. Каждая отдельная случайная погрешность большого ряда результатов равноточных измерений одних и тех же (или сходных) величин в статистическом отношении принад лежит множеству случайных погрешностей, которые в совокупности описываются определенными математическими законами. Множество однородных случайных погрешностей, как правило, подчиняется закону нормального распределения, графически обозначенному на рисунке 3.1, и характеризуется следующими свойствами.

1. Свойство ограниченности, выражается в том, что в типичных условиях измерений случайные погрешности А не могут превзойти по модулю некоторую предельную погрешность, например Зт при вероятности 99,73 %.

График нормального распределения случайных погрешностей ±Д (n — число случайных погрешностей)

Рис. 3.1. График нормального распределения случайных погрешностей ±Д (nj число случайных погрешностей)

  • 2. Свойство плотности, малые по модулю погрешности появляются чаще, чем большие.
  • 3. Свойство симметрии и компенсации, равные по модулю отрицательные и положительные погрешности возникают одинаково часто, поэтому при неограниченном числе п измерений одной и той же величины среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, т. е.

Нт(Л, + Л2 + ... + Лд)/и = Нт(1/л)^Д(f = 0, / = 1, 2,..., п. (3.2)

4. Свойство предела рассеивания, для неограниченного числа измерений среднее арифметическое из квадратов случайных погрешностей стремится к пределу:

Пт(д’+ Д’+... +Д’)/« = 1ш1(1/л)^Д’ = m , /=1, 2,п. (3.3) —2

Предел m называется дисперсией и представляет собой одну из важнейших осредненных характеристик случайных погрешностей Д., как и другая осредненная характеристика — стандарт т, или среднее квадратическое отклонение (погрешность):

т = (3-4)

Значения т используют как один из статистических показателей погрешностей результатов множества однородных измерений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >