МНК при некоррелированных ошибках измерения

Пусть необходимо определить параметры di, i = ,М , связанные известными функциональными зависимостями с величинами у., i = l,N .

y, =f(Xi, 1=1,N, N>M. (20.4)

В математической статистике и ее приложениях наиболее часто рассматриваются линейные функции неизвестных параметров. В этом случае решение получается наиболее простым и наглядным. Поэтому примем, что

величины )7 линейно зависят от параметров Clj

м л=Есл у=1

(20.5)

Пусть коэффициенты €•• известны точно, а величины JA измерены со случайными ошибками hi, так что в результате измерений получены величины

Z. = у. + . (20.6)

Ошибки измерений некоррелированы в совокупности, т. е. корреляционная матрица ошибок является диагональной

К = diag , сг22,ctnn ].

В соответствии с принципом наименьших квадратов оценки параметров найдем из условия

(а„а2,

N ( М

.,aM) = argmin?#ay

z=l 7=1

(20.7)

где й)/ - «вес» измерения, пропорциональный его точности [34, 42].

Для разрешения (20.7) приравняем к нулю частные производные

V- I -----7 &>, Z, да.

= 0, к = 1,М.

(20.8)

Получаемые при решении уравнений (20.8) значения неизвестных будем называть оценками метода наименьших квадратов (МНК-оценками).

Таким образом, для получения МНК-оценок необходимо совместно решить уравнения

(-ей) = 0, к = ,М.

или в развернутой форме записи

W N

«1Хй,Л1С-1+<5й’Л|С,2+-

Z=1 Z=1

N

Z=1

Z=1

N a^a>2c22cit + а^со,с12с12 +.

Z=1 Z=1

.. + Й„^®,с,.2с,.м

Z=1

N

= ^^ici2zi (20.9)

Z=1

4 ^iCiMCi ^2^^iCiMCi2 + ”• + ^M^Ja,iCiMCiM = ^/QCiMZi

i=l z=l z=l z=l

Система (20.9) называется системой нормальных уравнений, количество неизвестных в этой системе равно числу уравнений.

Для упрощения записи системы (20.9) введем векторы и матрицы

А= apj = ,M , Y = yi,i = l,N ,

Z = [z„z = l,y]r, Я = [Лр1' = 1л]2',

С = cipj = 1,N, j = 1,М , W = diag co^ i = ,N .

С учетом введенных обозначений выражения (20.5), (20.6) и система нормальных уравнений (20.9) принимают вид

Y = CA, Z = Y+H, (20.10)

CTWCA = CTWZ> (20.11)

Если ввести вектор невязок

V = Z-C4, (20.12)

то функцию J вида (20.4) можно представить в виде квадратичной формы

J^A^ = VTW4. (20.13)

Следовательно, минимизация функции (20.7) тождественна минимизации квадратичной формы (20.13).

Введем обозначения

B = CTWC, L = CTWZ (20.14)

и перепишем систему нормальных уравнений в виде

BA = L-

(20.15)

Отсюда

A = B~'L, (20.16)

где ^-1 - матрица, обратная В .

Из (20.16) следует, что оценки, получаемые по методу наименьших квадратов, являются линейными функциями результатов измерений, то есть линейными оценками.

Отметим некоторые полезные свойства матриц В и Д :

  • 1. Матрица В симметрична относительно главной диагонали.
  • 2. Формирование элементов матриц В и L можно производить последовательно, по мере поступления на ЭВМ результатов измерений.

Использование этих свойств позволяет рационально организовать статистическую обработку измерений на ЭВМ. Так, на основе свойства симметричности матрицы 5 (bjt =bki, k,j = ,M заключаем, что нет не

обходимости рассчитывать и хранить в ЭВМ все М2 элементов матрицы В , а можно ограничиться лишь элементами bJt [19,34].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >