ЭКМАНОВСКОЕ СОСТОЯНИЕ АТМОСФЕРЫ

Спираль Экмана

Экмановское возмущение

Запишем уравнение динамики атмосферы для установившегося случая, но, в отличие от геострофического состояния, с учетом сил вязкого трения, в векторном виде:

g-—Vp + 2[vcool + vV2v = 0- (2.1.1)

Р

Представим входящие в это уравнение величины в виде:

P = P + Ps + Pv С2-1-2)

V = vg+Ve. (2.1.3)

Здесь индекс « в » обозначает вклад в возмущение, возникающее при экмановском состоянии атмосферы. Тогда

g“— V(p + pJ + Pe) + 2[vg + ve><Bo] + l^2(vg + ve) = 0

Pi

1 1 1 г “1

g--Vp--Vps--Vpe + 2I v <в0| +

A P P L J ? (2.1.4)

+2[ve,a>o] + vV2(vg+ve) = O

С учетом уравнения статики

  • 1-?е--Vp +2Гу801--Vpe +
  • ( Pi J6 A L g UJ а . (2.1.5)

+2[ve,<»o] + vV2(vg+ve) = O

С учетом геострофического состояния запишем

—— V/?e + 2[ve,CD0] + vV2(vg + ve j = 0- (2.1.6)

Pi

Примем, что при геострофическом состоянии атмосферы имеет место соотношение:

V2v =0. (2.1.7)

©

Тогда для экмановского состояния атмосферы получим

Vpe + 2[ve,coo] + vV2ve=0- (2.1.8)

Pi

Запишем это уравнения в проекциях на оси координат:

  • —~ ~ I” ^е^Оу ) Ме — 0,
  • ---?^ + 2(и/еОл -uea>Oz) + vV2<e =0,

Ре Sy

+ -^Ox) +vV2we = 0- (2.1.9)

С учетом (Уо = 0 и принимая we = 0, получим J EEe + 2г,ей)0 + vV2Me =0. Ре Sx

  • 1 дРр ~ ^2
  • ----— + vV ve = 0,

Ре

  • 1 фр ---—+ 2we0v =^'
  • (2.1.10)
  • (2.1.11)

Ре SZ

Кроме того, допустим, что

д иР о иР

—= —г = 0’

дх2 ду2

аналогично

2 2

i^ = ^4 = 0. (2.1.12)

дх2 ду2

Тогда уравнения для экмановского состояния атмосферы запишутся в виде

  • 1 Фе гх
  • ---+ 2г0.-

Ре дх

  • 1 е
  • ---77-2«e®0z +1Z-f = °’

Ре ду

_±^е+2Ме(ИЬ =0. (2.1.13)

Ре dz

Решение системы уравнений, описывающих экмановское состояние атмосферы

Умножим второе уравнение системы на мнимую единицу i, сложим с первым уравнением, получим

?Ре +Фе L2/ ( + ,• ) + /2(«е + ^е)= 0. (2.1.14)

ду) °-'е е7 а?

Введем комплексную скорость С — U + iv . Тогда полученное уравнение запишем в виде

а2С 1 рРе ! jdPe

  • (2.1.15)
  • (2.1.16)
  • (2.1.17)

dz2 У vPe I Ф ду

Решение однородного уравнения

2

о

dz v

имеет вид

cQ = Aekz + Be~kz,

где к = j . Комплексную переменную = X + iy в полярных координатах

x = pcos(p, y = psm

где p = ^x2 + у2 и tg^> = —, можно представить в тригономет-х

рической форме

? = p(cos

), (2.1.18)

или с учетом формулы Эйлера el(p = cos (р + i sin (р:

? = ре1(р. (2.1.19)

Тогда мнимую единицу i можно представить в виде ? = 0 + М (х = 0, у = 1) с модулем р = ^х2 + у2 =1 и <Р = ~^-.71 I—

Тогда i = е , отсюда

г 71 ..71 41 . л/2 1 + i

Vz=e4=cos—Hsm—=---i— = —j=. (2.1.20)

4 4 2 2 V2

Поэтому выражение для коэффициента к можно представить в виде к - (1+z) = (1+0^0’ где ^0 ~ • Тогда решение

однородного уравнения можно представить в виде

С0 = V1+/)Z + ВОе’(1+/>°г • (2.1.21)

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

q(z) = A(z)e^k°z + B(z)e-(1+'>0Z. (2.1,22)

Отсюда

c:=A'e(1+I)*°z+A(i+i)jtJ1+/^ +

1 / и (2.1.23)

+fi'e-(1+iW _ 0 + ;^05e-(1+,>0Z

Так как функции А(г) и #(z) произвольные, то на них можно наложить дополнительное условие

A'e(1+i)^ + B>-(l+')^=0 (2124)

Тогда

c; = A(l + i)jtoe(1+‘^°z-(l + i)jtoBe (1+,')*0г. (2.1.25) Отсюда

  • 4 = А'(1 + г)^1+,^г + А(1 + г)2^1+/г -
  • -(1 + г)А'0В'е“(1+'^°г +(1П)2^В<Н1+'^°г =

= (1 + г>0 (А'е(1+/>ог - B'e~^k°z) +

' ’ . (2.1.26)

+(1 + if к% (Ае(1+'>г + в31+,'^г )

Подставляя полученное выражение в неоднородное уравнение, получим

сГ_^С1=_кГФе+/Фе (2.1.27)

vpe дх ду )

(1+г)^о(А'е(1+,>ог-в'е-(1+,г)+

+(1 + if ко (А^1+'^г + Be~(l+e>k°z ) -

-2iko

Ae(.^oz+Be-(M)koz

.(2.1.28)

Так как (1 + if = 2г, то получаем + г)*п(А'Л'^г-В'е-(1+‘)*ог'| =

ИФе+/Фе ,(2.1.29) Ре ' с» }

ИЛИ

д'е(1+‘>ог _ g'e-(1+i>oz

  • -----1----- +('^Ре (2.1.30)
  • (1 + г)и*0Ре1 ду J

Таким образом, для неизвестных функций A(z) и B(z) получим систему уравнений:

A'e^+i^k°z + B'e^+i^k°z =0, (2.1.31)

yj'e(1+,')Aoz _g'g-(1+,’)*oz _______!______f^Pe+j-3?e(2.1.32)

(l + i)vfc0Pel 8x &y )

Определитель системы равен

e(1+')*0z e-(1+'%z

(2.1.33)

g(l+0^OZ _е-(1+0*О2

Заменяя первый столбец столбцом свободных членов системы

уравнений, получим

Д1 =

/(z)

e-(l+i>oz

_g-(1+')*oz

= _e-(1+i>0zy(z), (2.1.34)

где для краткости введено обозначение

1

/(z) =

  • 8Pc _:SPc
  • (l + ;)v*0Pel 8x

Аналогично,

a2 -

-e

/(z)

/(z)-

(2.1.35)

Следовательно, по формулам Крамера запишем решения системы уравнений:

A' = ^-=-e~^+^k°zf(z). (2.1.36)

А 2 v

B' = ^- = --e^k°zf(zY (2.1.37)

A 2 ’

Отсюда

z

(2.1.38)

Л(г)= /(z')dz' ’

о

z

B(z) = -lpi+^z7(/)dz'. (2.1.39)

0

Поэтому частное решение неоднородного уравнения представится в виде

re(1+')to(z-z')_e-(i+')<:o(z-z')

---------------------------/(z')dz'. (2.1.40)

J 2

О

Или, подставляя выражение для /(z)> запишем

C1W = (l + ;>oPeJ 2 или

р(1+/>о(г-/)_е

J Г

CI(z)=<0

Преобразуем выражение

,, (2.1.41)

  • (2.1.42)
  • 2

eko(^')e^O(z-z') _ e-ko(z-z')e-iko(z-z')

2

ek°(z~z) (cos (z - /) -H’sin fc0 (z - z')) - e~ko(z~z) (cos?0(z - z') - i sin ?0 (z z'))

2

/o(z-z')

-e k°^z cosfc0(z-z') + i ek°(z z^

+ e ko(z z) sink0(z-z')

= sh?0 (z - z')cos kQ (z - z') + zch/:0 (z - z') sin kQ (z - z') ? (2.1.43)

Подставляя это выражение в формулу для комплексной скорости, получим С1(г)=^1

^+Л'= dx dy J

Z~z')+ ichk0 (z - z')sin k0 (z - z'

l~i f shk0(z-z')cosk0(z-z')+

1 2vfc0Pe * +*chk0 (? - z')sin k0 (z - z') dx

Преобразуем выражение (l-z)[sh^0(z-^)cos^0(^-^') + ^h^0(z-z')sin/:0(z-z')] =

= shfc0 (z- z') cos k^z- z') + cM() (z-.z')sin?0(z-z') +

+i [сЬА:0 (z - z') sin kQ (z - z') - sh?0 (z - z') cos k0 (z - z

Тогда выражение для скорости можно представить в виде

Фе | -Фе

dx dy

  • (2.1.44)
  • (2.1.45)

Z

  • —---- [chko(z-z')sinko(z-z') + shko(z-z'
  • 2v^oPe *

z_

z-z')sink0(z-z')-shk0(z-z')

dz' +

  • 2^oPe J
  • 1 z
  • ——— j[chk0(z-z')sink0(z-z') + shk0(z -z')cosk0(z-z'

°Pe 0

z

j [chk0 (z - z')sin k0 (z - z') - shk0 (z - z')cosk0 (z - z

о

2vk0Pe

dz' =

U- = dx dy J

  • —Y— f [ch&0 (z - zf) sin k0 (z - z') + sh&0 (z - z') cos k0 (z - z')] ^-dz' +
  • 2Укд/?е J OX

z

—Z—j’[ch*0(z-z')sin*o(z-z')-sht0(z-z')cost0(z-z')]^s-dz'+

z

Z - z') + sh?0 (z - Z^COS k0 (z - z')]"^“dz' +

+—у— f [ch^o (z ~ z')sinfc0(z - z') ~ shfy)(z - z')cos^0(z - 1

2v^0Pe' °x

Сравнивая полученное выражение для комплексной скорости с его представлением в виде

с1(^) = м1е(^) + гЧе(^)’ <-47)

приходим к выражениям для компонент возмущения скорости в экмановской модели атмосферы

Z

Wle(z) = —---f[ch^0(z-z')sinfco(2-z') + sh^0(z-z')cosfco(2-z')]^-dz'-

  • 2vkoPeJo дх
  • -----( Г СЧ)

z

1

d--

2^0Pe

Удобно ввести вронскиан

w = 1 cos?0(z-z') ch*0(z-z') =

1 kQ cos40(z-z') ch'&0(z-z')

= sh?0(z - z')cosk0 (z - z') + chA:0 (z - z')sin^o ’ (21-5°) sinfc0(z-z') sh^(z-z')

2 k0 sin40(z-z') sh'?0(z-z')

= chfc0 (z - z') sin kQ (z - zf) - sh?0 (z - z') cos k0 (z - z) • (2.1.5 i) Тогда выражения для компонент скорости можно будет записать в виде

z-z')-shfc0(z-z')cos?0(z-z'

^^„(2.1.48) ду

| [ch?0 (z - z') sin kQ (z - z') + shfc0 (z - z')cos (z ~ ~

о

  • 1 J [ch?0 (z - z') sin ?0 (z - z') - shfc0 (z - z')cos kQ (z - z')]
  • 0

W2=—

«1е(г) =

  • 1
  • 2vAr0Pe

Л 1 дх 2 0v

J ду

  • (2.1.49)
  • (2.1.52)

Z Z X

г'1е(г) =

  • —f w,^+w2^ V 2v&0Pe * l OX J
  • (2.1.53)

Представим решение однородного уравнения в виде

с0 = A^k°z+ik^ + Boe^k°z+ik^ =

= A^ekQZeikQZ + Boe~k°ze~ik°z =

= Aqek°z (cos koz + i sin koz)+ (cos kQZ~isinkoz) =

= А^ек°г cos k(j~ + sin&gz + B(lek<>'' cos k^z - iBge~k°z sinigz =

= (ЛоЛг +B0e~k°zcosk0z + i^AQek<1Z - Boe~k°zsinkoz ? (2.1.54)

Из условия, что у поверхности земли ветер равен нулю, найдем

А) 0 =0’ Bq =~Aq.

Тогда

с0 = Aq - e~k°z )cos?0z + iAq (ek°z + e~k°z j sin^gz =

= 2cos kQZ + 2fA)ChA)Z sin Icqz ? (2.1.55)

Отсюда решения однородного уравнения запишем в виде

мОе = 2 A)ShA)Z cos kQZ, (2.1 -56)

vqc = IAqMcqZ sin kQz ? (2.1.57)

Тогда решение искомого неоднородного уравнения предста

вятся в виде

ме (z) = 2/4osh?oz cos k^z. + —

  • (z) = 2 A)Ch^oc sin k^z + —
  • 2^оРе

JlVjdz

О

z

/Фе_[ дх J

V2dz'^ ’ <-58) 0 z Л A

.(2.1.59)

Константу найдем из условия, что при z —> °о скорость ветра стремится к геострофическому значению, а значит «е(г)^-О, Ke(z)->0:

  • 0 = 2Agsh/cgz cos kQz 4---—
  • 2^0Ре

.(2.1.60)

J дх уо о

Отсюда Дф = 0, что очевидно, так как в противном случае скорость стремилась бы к бесконечности при z —> 00. Следовательно

  • 2vk0pe

J дх

ко

  • (2.1.61)
  • ?_
  • 2^0/>е
  • (2.1.62)

Причем, функции ^Ре и —таковы, что дх ду

ме

  • 2y?0/?e
  • —dz'

Mz' =0’

  • (2.1.63)
  • 2vZr0Pe

<0

^dz' +

^dz' = 0-

(2.1.64)

Представим проекции виде

экмановского возмущения скоростей в

ме

  • 1
  • 2v?0Pe
  • 1
  • 2y?0Pe

z

• ?

<0 0 7

z

<0 о у

  • (2.1.65)
  • (2.1.66)

Найдем интеграл

z

J4dz' = J[chio(z- z')sin k0 (z - z') - shk0 (z - z')cosk0 (z - z')]dz' = о

z

= jchk0(z-z')sink0(z-z')dz'-jshk0(z-z')cosk0(z-z')dz'‘ (2-1,67)

0

Найдем в отдельности каждый из интегралов

Z

J chk0(z - z')sink0 (z - z}&z = -J chk0 (z - z')sink0(z - z')d(z - z') = 0

1 z

= — J chk0 (z - z')dcosk0 (z - z') =

= -^-chk0 (z - z)cosk0 (z - z') k0

= —chk0 (z - z)cosk0 (z - z') k0

= J-chk0(z-z' )cosk0(z-z') k0

z=z z

- Jcosk0(z-z')shk0(z-z')d(z-z') = z'=o Jo

z'=z 1 z

I--shk0(z-z')dsink0(z-z') =

z’=0 *0J

Z'=Z 1

- — shk0 (z - z')sink0 (z - z')

lz'=0 ^0

z =z

z

J chk0 (z - z')sinko(z - z')d(z - z' о

z'=0

(2.1.68)

Отсюда

z

|chk0(z-z')sink0(z-z')dz' = о

= chk0(z-z')cosk0(z-z')|

2k0L

zrz

lz =0

= —(1 - chkoz cos kgz + shkgz sin koz) • 2k0

  • - shA0 (z - z')sin (z - z')?=o
  • (2.1.69)

Аналогично, находим второй интеграл

Z Z

J shfc0(z - z')cosfc0 (z - z')&z' = -J shA:0 (z - z')cos?0(z - z')d(z “ z')= о

z

= -—Jsh?0(z-z')dsin?0(z-z') =

z—z Z

= -7-sh^(z - z )sin?0(z - z) k0

+ Jch?0(z-z')sin?0(z-z')d(z-z') =

2=0 Jo

= ——sh?0 (z - z')sinfc0 (z - z')

«0

= —-sh?0(z-z')sinZ:0(z-z')

^0

z=z z

--ch?0(z-z')dcosA:0(z-z') = /=0 *oJ

Z'=Z J

--ch?0 (z - z')cos?0 (z - z')

z'=o ^o

z =z

z'=0

Отсюда

Z

jsh?0(z - z')cos?0 (z - z')d(z - zf) • 0

(2.1.70)

z-z')dz' =

= -T7-shZ:0 (z - z')sin k0(z- z') 2*0

z=z 1

- Tj-ch^0 (z - z') cos ( z - z') z'=0 2^0

z =z

z'=0

=----( sh/:0z sin kQz + chkGz cos koz -1) • (2.1.71)

2^0

Тогда

z z

Jchfc0(z-z')sin?0(z-z')dz'-Jsh?0(z-z')cosfc0(z-z')dz' = о о

= ——(1 - chZroz cos kQz + shk^z sin kGz) —— (sh?oz sin kGz + chkoz cos k^z -1) -

  • 2kQ 2kQ
  • - 2kQ '

= — (1 - chkoz cos kQz) •

(2.1.72)

или

z z

—(ch?0 (z - z')cos&0(z ~ z' *0

z =z

z'=0

(2.1.73)

Аналогично, находим

z z

z-z')cosZr0(z-z') + ch/:0(z-

z')sin?0(z-z')]dz' =

(o(z - z')]dz' = —-sh?0 (z - z')sin/c0 (z - z')

_ sh&ozsin?oz

z =z

z'=0

(2.1.74)

^0

Таким образом, окончательно для проекций возмущения скорости ветра в экмановской модели атмосферы запишем

shZ:0zsinA:0z-^--(l-chA:0zcos^0z)-^- ’ (2.1.75)

  • 2^0 Pel
  • 1
  • 2v?ope

В частности, если сРе _ q , получим

дх

we

Фе .(2.1.75)

shZroz sin kQZ-^- + (1 - ch?oz cos dy

M Фе .(2.1.76) dx J

---к—(l-chfc0zcosfc0z)-7^” (2.1.77) 2v*oPe

i’e(z) =---5—shZzQZsin^oz-^8-- (2.1.78)

2v*oPe

Повторив выкладки для полной скорости и полного давления,

получим

u(z) = 2 A^shk^z cos kQz +

  • 1
  • 2v?0Pe
  • (z kjdz' J дх

kO

z

J dy

0 J

,(2.1.79)

v (z) = 2 Ддсй^о z sin кц z +

z

L^dz'+fl^dz'

J dy J

<0

(2.1.80)

Так как на бесконечности полная скорость должна стремиться

к геострофическому значению, запишем

и2 = 2A)Sh&0zcos?0z ч---—

ё 2vVe

& ,(2.1.81)

ко о

Vg = 2ДосЫ;ог sin k$z +----—

  • 2v?0/?e
  • 00 00

О о

&Z

(2.1.82)

Отсюда

MW = Mg

2yfc0Pe

dx

J dv

  • 0
  • 2vk0pe

J dx J dy

kO 0

dz'

“(z)=“g

  • 00
  • 00
  • 2v?0Pe

^dz'-

^dz'

(2.1.83)

kz

T'(z)=T'g

2kt0/>e

kz

^dz' +

^dz'

(2.1.84)

Так как скорость на земле равна нулю, то

1

U„ =------

2vkQpe

fWj-dz- fw2 — J ‘dx J 2 c^y

dz'

Отсюда

h?1^-dz'+ [1V2^-

J ldy J 2dx

  • 1
  • 2vfc0Pe
  • 1
  • 2y^0Pe

dz' •

Ujdz'-U^dz’ ’

J ox J

fw1^dz'+ fw2^

J 'ду J

Jol & ay “g

[[ |dz'

J 1 Sx 2 Sy J

Z / X

^+w2^-

dy 2 dx

  • (2.1.85)
  • (2.1.86)
  • (2.1.87)
  • (2.1.88)
  • (2.1.89)
  • (2.1.90)

vl

J I oy OX J 0

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >