ЭКМАНОВСКОЕ СОСТОЯНИЕ АТМОСФЕРЫ

где p = ^x² + у² и tg^> = —, можно представить в тригономет-х

рической форме

? = p(cos

), (2.1.18)

или с учетом формулы Эйлера e^l(p = cos (р + i sin (р:

? = ре^1(р. (2.1.19)

Тогда мнимую единицу i можно представить в виде ? = 0 + М (х = 0, у = 1) с модулем р = ^х² + у² =1 и <Р = ~^-.71 I—

Тогда i = е , отсюда

г ⁷¹ ..71 41 . л/2 1 + i

Vz=e⁴=cos—Hsm—=---i— = —j=. (2.1.20)

4 4 2 2 V2

Поэтому выражение для коэффициента к можно представить в виде к - (1+z) = (1+0^0’ ^где ^0 ~ • Тогда решение

однородного уравнения можно представить в виде

С₀ = V^1+/)*°^Z + В_Ое’^(1+/>°^г • (2.1.21)

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

q(z) = A(z)e^^k°^z + B(z)_e-(¹⁺'>^0Z. (2.1,22)

Отсюда

_c:=A'_e(^1+I)*°^z+A(i+i)jtJ^1+/^ ₊

¹ / и (2.1.23)

_+fi'_e-(¹⁺ⁱW _ 0 ₊ ;^₀5_e-(^1+,>0Z

Так как функции А(г) ^и #(z) произвольные, то на них можно наложить дополнительное условие

A'_e(¹⁺ⁱ)^ _{+ B>}-(l+')^_{=0 (2124)}

Тогда

c; = A(l + i)jt_oe(¹⁺‘^°^z-(l + i)jt_oBe (^1+,')*0^г. (2.1.25) Отсюда

• 4 = А'(1 + г)^^1+,^^г + А(1 + г)²^^1+/^°^г -
• -(1 + г)А'₀В'е“(¹⁺'^°^г +(1П)²^В<Н¹⁺'^°^г =

= (1 + _г>₀ (А'е^(1+/>^ог - B'e~^^k°^z) +

' ’ . (2.1.26)

+(1 + if к% (Ае⁽¹⁺'>^г + в3^1+,'^^г )

Подставляя полученное выражение в неоднородное уравнение, получим

_сГ__2г^_С1=_кГФе_+/Фе (2.1.27)

vp_e дх ду )

(1+г)^_о(А'_е(^1+,>^ог-в'_е-(^1+,>о^г)+

+(1 + if ко (А^¹⁺'^^г + Be~(^l+e>k°^z ) -

-2iko

_Ae(.^_oz_+Be-(M)k_oz

.(2.1.28)

Так как (1 + if = 2г, то получаем + г)*п(А'Л'^^г-В'е-(¹⁺‘)*о^г'| =

ИФе_+/Фе ,(2.1.29) Ре ' с» 8у _}

ИЛИ

д'_е(¹⁺‘>ог _ g'_e-(¹⁺ⁱ>oz

• -----1----- ₊₍'^Ре (2.1.30)
• (1 + г)и*₀Ре1 ^8х ду J

Таким образом, для неизвестных функций A(z) и B(z) получим систему уравнений:

A'e^⁺ⁱ^^k°^z + B'e^⁺ⁱ^^k°^z =0, (2.1.31)

yj'_e(^1+,')^Aoz _g'g-(^1+,’)*oz _______!______f^Pe_+j-3?e(2.1.32)

(l + i)vfc₀P_el 8x &y )

Определитель системы равен

_e(¹⁺')*0^z _e-(¹⁺'%z

(2.1.33)

g(l+0^OZ __е-(¹⁺0*О2

Заменяя первый столбец столбцом свободных членов системы

уравнений, получим

Д1 =

/(z)

_e-(l+i>_oz

_g-(¹⁺')*o^z

₌ __e-(¹⁺ⁱ>0^zy(_z), (2.1.34)

где для краткости введено обозначение

1

/(z) =

• 8Pc ^__:SPc
• (l + ;)v*₀Pel ^8x

Аналогично,

a₂ -

-e

/(z)

/(z)-

(2.1.35)

Следовательно, по формулам Крамера запишем решения системы уравнений:

A' = ^-=-e~^⁺^^k°^zf(z). (2.1.36)

А 2 ^v ’

B' = ^- = --e^^k°^zf(zY (2.1.37)

A 2 ’

Отсюда

z

(2.1.38)

^Л(^г)⁼ /(z')dz' ’

о

z

B(z) = -lpⁱ⁺^^z7(/)dz'. (2.1.39)

0

Поэтому частное решение неоднородного уравнения представится в виде

r_e(¹⁺')^to(z-z')__e-(i+')^<:o(^z-^z')

---------------------------/(z')dz'. (2.1.40)

J 2

О

Или, подставляя выражение для /(z)> запишем

^{C1W =} (l _{+ ;}>_oPeJ 2 или

р(^1+/>о(г-/)__е

J Г

^CI(z)=<₀

Преобразуем выражение

,, (2.1.41)

• (2.1.42)
• 2

_e^ko(^')_e^_O(z-z') _ _e-^ko(z-z')_e-i^ko(z-z')

2

e^k°(^z~^z) (_cos (_z - /) -H’sin fc₀ (z - z')) - _e~^ko(^z~^z) (cos?₀(z - z') - i sin ?₀ (z — z'))

2

/o(z-z')

-e ^k°^^z cosfc₀(z-z') + i e^k°(^{z z}^

_{+ e} ^ko(^{z z}) sink₀(z-z')

= sh?₀ (z - z')cos k_Q (z - z') + zch/:₀ (z - z') sin k_Q (z - z') ? (2.1.43)

Подставляя это выражение в формулу для комплексной скорости, получим ^С1(г)=^1

^₊Л'= dx dy J

Z~z')+ ichk₀ (z - z')sin k₀ (z - z'

^l~ⁱ f shk₀(z-z')cosk₀(z-z')+

¹ 2vfc₀P_e * +*chk₀ (? - z')sin k₀ (z - z') dx

Преобразуем выражение (l-z)[sh^₀(z-^)cos^₀(^-^') + ^h^₀(z-z')sin/:₀(z-z')] =

= shfc₀ (z- z') cos k^z- z') + cM₍₎ (z-.z')^sin?₀(z-z') ⁺

+i [сЬА:₀ (z - z') sin k_Q (z - z') - sh?₀ (z - z') cos k₀ (z - z

Тогда выражение для скорости можно представить в виде

Фе | -Фе

dx dy

• (2.1.44)
• (2.1.45)

Z

• —---- [chk_o(z-z')sinko(z-z') + shk_o(z-z'
• 2v^oPe *

z_

z-z')sink₀(z-z')-shk₀(z-z')

dz' +

• 2^oPe J
• 1 z
• ——— j[chk₀(z-z')sink₀(z-z') + shk₀(z -z')cosk₀(z-z'

°P^e ₀

z

j [chk₀ (z - z')sin k₀ (z - z') - shk₀ (z - z')cosk₀ (z - z

о

2vk₀Pe

dz' =

U- = dx dy J

• —Y— f [ch&₀ (z - z^f) sin k₀ (z - z') + sh&₀ (z - z') cos k₀ (z - z')] ^-dz' +
• 2Укд/?_е J OX

z

—Z—j’[ch*₀(z-z')sin*o(z-z')-sht₀(z-z')cost₀(z-z')]^^s-dz'+

z

Z - z') + sh?₀ (z - Z^COS ^k0 (z - z')]"^“dz' +

+—у— f [ch^o (z ~ z')sinfc₀(z - z') ~ shfy)(z - z')cos^₀(z - ¹

^2v^0Pe' °^x

Сравнивая полученное выражение для комплексной скорости с его представлением в виде

^с1(^) ^{= м}1е(^) ^{+ г}Че(^)’ <^2Л-⁴⁷)

приходим к выражениям для компонент возмущения скорости в экмановской модели атмосферы

Z

W_le(z) = —---f[ch^₀(z-z')sinfco(2-z') + sh^₀(z-z')cosfco(2-z')]^-dz'-

• 2vkoPe^J_o ^дх
• -----( Г ^СЧ)

z

1

d--

2^₀Pe

Удобно ввести вронскиан

_{w =} 1 cos?₀(z-z') ch*₀(z-z') ₌

¹ k_Q cos4₀(z-z') ch'&₀(z-z')

= sh?₀(z - z')cosk₀ (z - z') + chA:₀ (z - z')^sin^o ’ (²¹-⁵°) sinfc₀(z-z') sh^(z-z')

² k₀ sin4₀(z-z') sh'?₀(z-z')

= chfc₀ (z - z') sin k_Q (z - z^f) - sh?₀ (z - z') cos k₀ (z - z) • (2.1.5 i) Тогда выражения для компонент скорости можно будет записать в виде

z-z')-shfc₀(z-z')cos?₀(z-z'

^^„(2.1.48) ду

| [ch?₀ (z - z') sin k_Q (z - z') + shfc₀ (z - z')cos (^z ~ ~

о

• 1 J [ch?₀ (z - z') sin ?₀ (z - z') - shfc₀ (z - z')cos k_Q (z - z')]
• 0

^W2=—

«1е(г) =

• 1
• 2vAr₀Pe

Л ¹ дх ² 0^v

^J ду

• (2.1.49)
• (2.1.52)

Z Z X

^г'1е(г) =

• —f _w,^₊w₂^ V 2v&₀Pe * l OX J
• (2.1.53)

Представим решение однородного уравнения в виде

с₀ = A^^k°^z+ik^ + B_oe^^k°^z+ik^ =

= A^e^kQZe^ikQZ + B_oe~^k°^ze~^ik°^z =

= Aqe^k°^z (cos k_oz + i sin k_oz)+ (cos kQZ~isink_oz) =

= А^е^к°^г cos k_(j~ + sin&gz + B_(le^k<>'' cos k^z - iBge~^k°^z sinigz =

= (ЛоЛ^г +B₀e~^k°^zcosk₀z + i^AQe^k<1Z - B_oe~^k°^zsink_oz ? (2.1.54)

Из условия, что у поверхности земли ветер равен нулю, найдем

А) ^+В0 =0’ Bq =~Aq.

Тогда

с₀ = Aq - e~^k°^z )cos?₀z + iAq (e^k°^z + e~^k°^z j sin^gz =

= 2cos kQZ + 2fA)ChA)Z sin Icqz ? (2.1.55)

Отсюда решения однородного уравнения запишем в виде

м_Ое = 2 A)ShA)Z cos kQZ, (2.1 -56)

vq_c = IAqMcqZ sin k_Qz ? (2.1.57)

Тогда решение искомого неоднородного уравнения предста

вятся в виде

м_е (z) = 2/4osh?oz cos k^z. + —

• (z) = 2 A)Ch^_oc sin k^z + —
• 2^оР_е

JlVjdz

О

z

/Фе_[ дх J

V₂dz'^ ’ <^2Л-⁵⁸) 0 z _Л A

.(2.1.59)

Константу найдем из условия, что при z —> °о скорость ветра стремится к геострофическому значению, а значит «е(г)^-О, K_e(z)->0:

• 0 = 2Agsh/cgz cos k_Qz 4---—
• 2^₀Ре

.(2.1.60)

J дх уо о

Отсюда Дф = 0, что очевидно, так как в противном случае скорость стремилась бы к бесконечности при z —> ⁰⁰. Следовательно

• 8У
• 2vk₀p_e

J дх

ко

• (2.1.61)
• ?_
• 2^₀/>е
• (2.1.62)

Причем, функции ^Ре и —таковы, что дх ду

^ме

• 2y?₀/?e
• —dz'

Mz' =0’

• (2.1.63)
• 2vZr₀Pe

<0

^dz' +

^dz' = 0-

(2.1.64)

Представим проекции виде

экмановского возмущения скоростей в

^ме

• 1
• 2v?₀Pe
• 1
• 2y?₀Pe

z

• ?

<0 0 7

z

<0 о у

• (2.1.65)
• (2.1.66)

Найдем интеграл

z

J4dz' = J[chio(z- z')sin k₀ (z - z') - shk₀ (z - z')cosk₀ (z - z')]dz' = о

z

= jchk₀(z-z')sink₀(z-z')dz'-jshk₀(z-z')cosk₀(z-z')dz'‘ (²-^1,67)

0

Найдем в отдельности каждый из интегралов

Z

J chk₀(z - z')sink₀ (z - z}&z = -J chk₀ (z - z')sink₀(z - z')d(z - z') = 0

1 z

= — J chk₀ (z - z')dcosk₀ (z - z') =

= -^-chk₀ (z - z)cosk₀ (z - z') ^k0

= —chk₀ (z - z)cosk₀ (z - z') k₀

= J-chk₀(z-z' )cosk₀(z-z') k₀

z=z z

- Jcosk₀(z-z')shk₀(z-z')d(z-z') = z'=o ^J_o

z'=z 1 z

I--shk₀(z-z')dsink₀(z-z') =

z’=0 *0J

^Z'^=Z 1

- — shk₀ (z - z')sink₀ (z - z')

lz'=0 ^0

z =z

z

J chk₀ (z - z')^sinko(z - z')d(z - z' о

z'=0

(2.1.68)

Отсюда

z

|chk₀(z-z')sink₀(z-z')dz' = о

⁼ chk₀(z-z')cosk₀(z-z')|

2k₀L

^zr^z

lz =0

= —(1 - chk_oz cos kgz + shkgz sin k_oz) • 2k₀

• - shA₀ (z - z')sin (z - z')?₌o
• (2.1.69)

Аналогично, находим второй интеграл

Z Z

J shfc₀(z - z')cosfc₀ (z - z')&z' = -J shA:₀ (z - z')cos?₀(z - z')d(z “ ^z')⁼ о

z

= -—Jsh?₀(z-z')dsin?₀(z-z') =

z—z Z

= -7-sh^(z - z )sin?₀(z - z) k₀

+ Jch?₀(z-z')sin?₀(z-z')d(z-z') =

2=0 ^J_o

= ——sh?₀ (z - z')sinfc₀ (z - z')

«0

= —-sh?₀(z-z')sinZ:₀(z-z')

^0

z=z z

--ch?₀(z-z')dcosA:₀(z-z') = /=0 *oJ

Z'=Z J

--ch?₀ (z - z')cos?₀ (z - z')

z'=o ^o

z =z

z'=0

Отсюда

Z

jsh?₀(z - z')cos?₀ (z - z')d(z - z^f) • 0

(2.1.70)

z-z')dz' =

= -T7-shZ:₀ (z - z')sin k₀(z- z') ²*0

^z=z 1

- Tj^-ch^0 (z - z') cos ( z - z') z'=0 ²^0

z =z

z'=0

=----( sh/:₀z sin k_Qz + chk_Gz cos k_oz -1) • (2.1.71)

²^0

Тогда

z z

Jchfc₀(z-z')sin?₀(z-z')dz'-Jsh?₀(z-z')cosfc₀(z-z')dz' = о о

= ——(1 - chZr_oz cos k_Qz + shk^z sin k_Gz) —— (sh?_oz sin k_Gz + chk_oz cos k^z -1) -

• 2k_Q 2k_Q
• - 2k_Q '

= — (1 - chk_oz cos k_Qz) •

(2.1.72)

или

z z

—(ch?₀ (z - z')cos&₀(z ~ z' *0

z =z

z'=0

(2.1.73)

Аналогично, находим

z z

z-z')cosZr₀(z-z') + ch/:₀(z-

z')sin?₀(z-z')]dz' =

(o(z - z')]dz' = —-sh?₀ (z - z')sin/c₀ (z - z')

_ sh&_ozsin?_oz

z =z

z'=0

(2.1.74)

^0

Таким образом, окончательно для проекций возмущения скорости ветра в экмановской модели атмосферы запишем

shZ:₀zsinA:₀z-^--(l-chA:₀zcos^₀z)-^- ’ (2.1.75)

• 2^0 Pel
• 1
• 2v?op_e

В частности, если ^сРе _ q , получим

дх

^we

Фе .(2.1.75)

shZr_oz sin kQZ-^- + (1 - ch?_oz cos dy

_M Фе .(2.1.76) dx J

---к—(l-chfc₀zcosfc₀z)-7^” (2.1.77) 2v*oPe

i’_e(z) =---5—shZzQZsin^oz-^⁸-- (2.1.78)

2v*oPe

Повторив выкладки для полной скорости и полного давления,

получим

u(z) = 2 A^shk^z cos k_Qz +

• 1
• 2v?₀Pe
• (z kjdz' J дх

kO

z

J dy

0 J

,(2.1.79)

v (z) = 2 Ддсй^о z sin кц z +

z

L^dz'+fl^dz'

J dy J

<0

(2.1.80)

Так как на бесконечности полная скорость должна стремиться

к геострофическому значению, запишем

и2 = 2A)Sh&0zcos?0z ч---—

ё 2vVe

& ,(2.1.81)

ко о

Vg = 2ДосЫ;_ог sin k$z +----—

• 2v?₀/?_e
• 00 00

О о

&Z

(2.1.82)

Отсюда

MW = Mg

2yfc₀Pe

dx

J dv

• 0
• 2vk₀p_e

J dx J dy

kO 0

dz'

“(z)=“g

• 00
• 00
• 2v?0Pe

^dz'-

^dz'

(2.1.83)

kz

T'(z)=T'g

2kt0/>e

kz

^dz' +

^dz'

(2.1.84)

Так как скорость на земле равна нулю, то

1

U„ =------

2vkQpe

fWj-dz- fw2 — J ‘dx J 2 c^y

dz'

Отсюда

h?1^-dz'+ [1V2^-

J ldy J 2dx

• 1
• 2vfc0Pe
• 1
• 2y^0Pe

dz' •

Ujdz'-U^dz’ ’

J ox J

fw1^dz'+ fw2^

J 'ду J

Jol & ay “g

[[ |dz'

J 1 Sx 2 Sy J

Z / X

^+w2^-

dy 2 dx

• (2.1.85)
• (2.1.86)
• (2.1.87)
• (2.1.88)
• (2.1.89)
• (2.1.90)

vl

J I oy OX J 0