Описание геострофического состояния атмосферы с учетом геоидальной формы Земли

Состояние статики атмосферы

Запишем уравнение динамики атмосферы в векторном виде (рис. 1.2.1):

-^ + (vV)v = g₀-—V/? + 2[vco_o] + 6WqR + yV²v, (1.2.1) где gq - ускорение силы тяготения; V/2 - градиент давления; 2[v(O₀] - кориолисово ускорение; &>qR - центробежное ускорение, f = vV²v - удельная сила вязкого трения.

В состоянии статики атмосферы, когда V = 0, уравнение запишется в виде

O = g_o—-Vp + c^R- (1-2.2)

Ре

Удобнее ввести вектор ускорения силы тяжести (ускорение свободного падения), равный векторной сумме ускорения силы тяготения g₀ и центробежного ускорения:

g = g₀ + a^R. (1.2.3)

Таким образом, геоидальная поверхность Земли перпендикулярна ускорению силы тяжести g .

Тогда уравнение статики атмосферы запишется в виде

0 = g—-Vp. (1.2.4)

Ре

Возьмем проекции уравнения статики атмосферы на оси координат (рис. 1.2.1):

Ф=оЛ = О.^ = -p_eg- (1-2-5)

дх ду dz

Отсюда следует, что в состоянии статики изобарические поверхности перпендикулярны вектору ускорения свободного падения, то есть параллельны геоидальной поверхности Земли.

Рис. 1.2.1. Изобарические поверхности в состоянии статики атмосферы

Далее будем считать, что

^д(Ре^Ге) = ЭТ_{е +т} SPe_ _{= Qt} 1 ЭТ_е __ ¹ Фе .

дх ^е дх ^е дх Т_е дх /?_е дх ду ду ду T_e ду p_e ду

Геострофический ветер

При установившемся движении dv/ck = 0 изобарические поверхности, имеющие геоидальную форму, возмущаются, поэтому давление можно представить в виде

P = P + Ps- (1-2-7)

Поэтому уравнение установившегося движения в отсутствии трения f = 0 запишется в следующем виде:

O = g_o-—V(p + p_s) + 4^vcoo] + ^o^{R =} Pi

= g-— Vp—-Vp_s + 2[v®₀]. Pi Pi

• (1.2.8)
• (1-2.9)

С учетом уравнения статики атмосферы запишем

о = g g —- Vp_s + 2[vco_o],

Ре

g—-Vp_s+2[vco_o]-Ре

Pi

0 = fl-—

I Pi)

Из уравнения состояния сухого воздуха при условии р_у = p_Q

р-^Л = р^т_&,

Pq _ 7j _

• (1.2.10)
• (1.2.11)
• (1.2.12)

Pi ^Ге

Поэтому

^r t. A 1

0= 1-d- g--Vp_s + 2 va>₀]-

I Ю Pz

Введем функцию перегрева

AT=T_i-T_e.

Тогда запишем

0 = -^g-—Vp_s + 2[v®₀]. (1.2.13)

Ре

Для условий атмосферы удовлетворительным является приближение

• 1 1 1
• — = — =— = а-

Те ^Те Т_о

Тогда

(1.2.14)

О = -aTg - — Vp_s + 2[ vco₀] • Ре

Отсюда вектор скорости геострофического ветра равен [^vo] = |aATg + -!-Vp_s.

[ J 2

[^v>^ko] = T^- aArg +—Vp_s , 2<ц, I р_е )

1„ Ре '/

[[^уМ^к]=^

s I,к

Ре )

v„=---------Jk,Vp_sl. (1.2.15)

2ц₎р_е(к,к₀)¹

где к - единичный вектор, направленный вертикально вверх по направлению оси z, перпендикулярной геоидальной поверхности Земли; kg - единичный вектор, направленный по направлению угловой скорости вращения Земли. Отсюда видно, что геострофический ветер перпендикулярен градиенту давления, а значит, направлен вдоль изобарической поверхности (рис. 1.2.2).

Проекции угловой скорости вращения Земли определяются выражениями (1.2.2). Запишем проекции уравнения движения в стационарном состоянии в системе координат, в которой горизонтальная плоскость является касательной к геоиду:

~ 1 др^

О =---- + 2vcoq sin (р - 2w6t>o cos (р,

Ре 8х

• 0 = —(1.2.16) Ре &У
• 1 5
• 0 =---- + aTg +2ucoqCOS(p-

Ре &

Вертикальную скорость в геострофической модели атмосферы принимают равной нулю: w = 0. Аналогично, допустим пока, что

— Q. Тогда из системы (1.2.16) получаем горизонтальные про-dz

екции скорости геострофического ветра и уравнение статики атмосферы:

Рис. 1.2.2. Направление геострофического ветра

и =__1_____

^g 20p_e sin (p ду

V =------i------(1.2.17)

⁶ 2бУ₀р_е sin (p dx

u„ =--—T .

^g 20cos^

Первые две формулы можно было получить непосредственно из выражения (1.2.15).