Описание геострофического состояния атмосферы с учетом геоидальной формы Земли
Состояние статики атмосферы
Запишем уравнение динамики атмосферы в векторном виде (рис. 1.2.1):
-^ + (vV)v = g0-—V/? + 2[vcoo] + 6WqR + yV2v, (1.2.1) где gq - ускорение силы тяготения; V/2 - градиент давления; 2[v(O0] - кориолисово ускорение; &>qR - центробежное ускорение, f = vV2v - удельная сила вязкого трения.
В состоянии статики атмосферы, когда V = 0, уравнение запишется в виде
O = go—-Vp + c^R- (1-2.2)
Ре
Удобнее ввести вектор ускорения силы тяжести (ускорение свободного падения), равный векторной сумме ускорения силы тяготения g0 и центробежного ускорения:
g = g0 + a^R. (1.2.3)
Таким образом, геоидальная поверхность Земли перпендикулярна ускорению силы тяжести g .
Тогда уравнение статики атмосферы запишется в виде
0 = g—-Vp. (1.2.4)
Ре
Возьмем проекции уравнения статики атмосферы на оси координат (рис. 1.2.1):
Ф=оЛ = О.^ = -peg- (1-2-5)
дх ду dz
Отсюда следует, что в состоянии статики изобарические поверхности перпендикулярны вектору ускорения свободного падения, то есть параллельны геоидальной поверхности Земли.

Рис. 1.2.1. Изобарические поверхности в состоянии статики атмосферы
Далее будем считать, что
д(РеГе) = ЭТе +т SPe_ = Qt 1 ЭТе __ 1 Фе .
дх е дх е дх Те дх /?е дх ду ду ду Te ду pe ду
Геострофический ветер
При установившемся движении dv/ck = 0 изобарические поверхности, имеющие геоидальную форму, возмущаются, поэтому давление можно представить в виде
P = P + Ps- (1-2-7)
Поэтому уравнение установившегося движения в отсутствии трения f = 0 запишется в следующем виде:
O = go-—V(p + ps) + 4vcoo] + ^oR = Pi
= g-— Vp—-Vps + 2[v®0]. Pi Pi
- (1.2.8)
- (1-2.9)
С учетом уравнения статики атмосферы запишем
о = g g —- Vps + 2[vcoo],
Ре
g—-Vps+2[vcoo]-Ре
Pi
0 = fl-—
I Pi)
Из уравнения состояния сухого воздуха при условии ру = pQ
р-^Л = р^т&,
Pq _ 7j _
- (1.2.10)
- (1.2.11)
- (1.2.12)
Pi Ге
Поэтому
r t. A 1
0= 1-d- g--Vps + 2 va>0]-
I Ю Pz
Введем функцию перегрева
AT=Ti-Te.
Тогда запишем
0 = -^g-—Vps + 2[v®0]. (1.2.13)
Ре
Для условий атмосферы удовлетворительным является приближение
- 1 1 1
- — = — =— = а-
Те Те То
Тогда
(1.2.14)
О = -aTg - — Vps + 2[ vco0] • Ре
Отсюда вектор скорости геострофического ветра равен [v
[ J 2
[v>ko] = T^- aArg +—Vps , 2<ц, I ре )
1„ Ре '/
[[уМк]=^
Ре )
v„=---------Jk,Vpsl. (1.2.15)
2ц)ре(к,к0)1
где к - единичный вектор, направленный вертикально вверх по направлению оси z, перпендикулярной геоидальной поверхности Земли; kg - единичный вектор, направленный по направлению угловой скорости вращения Земли. Отсюда видно, что геострофический ветер перпендикулярен градиенту давления, а значит, направлен вдоль изобарической поверхности (рис. 1.2.2).
Проекции угловой скорости вращения Земли определяются выражениями (1.2.2). Запишем проекции уравнения движения в стационарном состоянии в системе координат, в которой горизонтальная плоскость является касательной к геоиду:
~ 1 др^
О =---- + 2vcoq sin (р - 2w6t>o cos (р,
Ре 8х
- 0 = —(1.2.16) Ре &У
- 1 5
- 0 =---- + aTg +2ucoqCOS(p-
Ре &
Вертикальную скорость в геострофической модели атмосферы принимают равной нулю: w = 0. Аналогично, допустим пока, что
— Q. Тогда из системы (1.2.16) получаем горизонтальные про-dz
екции скорости геострофического ветра и уравнение статики атмосферы:


Рис. 1.2.2. Направление геострофического ветра
и =__1_____
g 2
V =------i------(1.2.17)
6 2бУ0ре sin (p dx
u„ =--—T .
g 2
Первые две формулы можно было получить непосредственно из выражения (1.2.15).