Математическое обеспечение подсистемы управления механическими и электромагнитными свойствами

При разработке математического обеспечения ПУМЭМС целенаправленно изменены последовательность и содержание разделов соответствующих документов [13, 14] , что на наш взгляд, делает логичнее изложение, упрощает понимание и улучшает восприятие представленных материалов. Математическое обеспечение подсистемы направлено на решение функциональных задач, сформулированных в предыдущем разделе. В этом заключается его назначение.

В математическое обеспечение ПУМЭМС следует включить:

  • 1. Известные вычислительные процедуры, используемые для анализа данных измерений [6,17-30,45 и др.] и предназначенные для решения функциональных задач вычислительного модуля 1;
  • 2. Математические модели формирования свойств металла, обеспечивающие решение функциональных задач вычислительных модулей 2-4;
  • 3. Математические методы принятия решений в многокритериальных оптимизационных задачах поиска и выбора режимов обработки на различных производственных (технологических) участках и агрегатах (вычислительный модуль 4).

Мы не будем очередной раз подробно описывать классические методы предварительной обработки и анализа данных, которые рассмотрены в приведенных выше литературных источниках (см. модуль 1). Приведем только общую схему (см. рис.2.2.) [17].

Разделы документации математического обеспечения модулей 2-4 представлены в следующей последовательности: математическое описание; алгоритмы решения; результаты решений (примеры практического использования).

Математическое описание процессов формирования свойств металла основывается на результатах научно-исследовательских работ [4-7, 39-43, 68-77], фрагменты некоторых, ранее неопубликованных, приведены ниже.

При решении задач математического моделирования, к которым можно отнести задачи проектирования, математического описания технологических процессов, систем, объектов, выбора оптимальных величин, параметров и т.д., используются различные методы. Условно их можно разделить на две группы: аналитические и эмпирические, в зависимости от того, с помощью каких закономерностей описываются процессы: однозначно определенных (детерминированных) или находящихся в условиях неопределенности [18].

В работе [6] приведены схемы и причинно-следственные диаграммы формирования показателей качества холоднокатаной продукции, в том числе, и свойств, составленные на основе опыта работы современных листопрокатных цехов и результатов многочисленных научных исследований.

Обобщенная схема сбора, обработки и анализа данных измерений

Рис. 2.2. Обобщенная схема сбора, обработки и анализа данных измерений

Из них следует, что свойства холоднокатаных полос формируются при рекристаллизационном отжиге, но имеют ярко выраженную наследственную природу и связь с суммарным обжатием на прокатном стане, структурой и свойствами полупродукта (горячекатаного подката) и, наконец, определяются химическим составом стали. Причем количество только известных взаимосвязанных и независимых факторов, влияющих на процесс, достигает нескольких десятков. А сколько существует факторов, от которых в какой-то мере зависят процессы формирования свойств и которые не известны исследователям, можно только предполагать.

Кроме того, необходимо учитывать, что на информацию АБД, используемую при построении математических моделей и принятии решений при управлении, накладываются случайные ошибки и систематические погрешности измерений.

Вес изложенное можно отнести к наиболее значимым причинам проявления неопределенности. Конечно, можно не проводить строгого разграничения и обоснования выбранных методов построения математических моделей и принятия решений при оптимизации параметров (как это сделано в некоторых достаточно авторитетных работах). По такой подход вызывает определенные сомнения в адекватности полученных результатов, в частности, предсказанных с помощью построенных (каким методом?) зависимостей.

Неопределенность, характерную для процессов формирования свойств металлов, можно представить в виде конечной степени по полноте возможного описания, когда основная возможная информация собрана, но полностью определенное описание не получено. Такое описание неопределенности называется неоднозначностью, которая в данном случае связана с физической сущностью исследуемого процесса (явления) и (или) с его измеряемыми проявлениями (данными измерений с погрешностями) [18].

К основным формам описания неопределенностей можно отнести [18]: стохастическое описание (теория вероятностей и теория случайных процессов), когда неопределенные параметры носят случайный характер [17,20-23]; статистическое описание, когда заданы только выборочные оценки характеристик случайной величины или наборы значений некоторых случайных параметров [24-28 и др.]; описание с позиций нечетких множеств [29,30 и др.]; интервальное описание [31 и др.].

Таким образом, любые из перечисленных методов могут быть использованы при математическом описании свойств металла.

Традиционный подход к построению математических моделей формирования структуры и свойств холоднокатаной продукции основан, как правило, на применении статистического описания, в частности, многомерного регрессионного анализа (MPA). С его помощью строят многомерные (многофакторные) зависимости показателей качества готовой продукции от технологических факторов и режимов обработки металла на различных переделах и агрегатах [6]. В работах [32-38] можно подробно познакомиться с некоторыми нетрадиционными методами многомерного регрессионного анализа: Монте-Карло, Джекпайф, Бутстреп, «Складного ножа» и др., которые особенно хороню работают в случаях ограниченного объема выборки. В работах [6,28] приведены процедуры построения многооткликовых многомерных регрессионных зависимостей, которые целесообразно использовать при наличии взаимосвязи между функциями отклика. В любом случае при построении математической модели с помощью того или иного метода следует различать два аспекта: формальный и содержа тельный.

К формальному можно отнести выбранные методы структурного синтеза и идентификации параметров модели (методы построения), от которых в значительной мерс зависят качество математической модели, се адекватность реальному процессу. Не менее важным для построения адекватной модели является содержательный аспект, к которому можно отнести: выбор функций отклика и факторов, включаемых в качестве независимых переменных; правильный выбор соответствующих допущений и ограничений; выбор критериев оптимизации и пр. Но и этим нс ограничиваются вопросы, которые можно отнести к содержательному аспекту решения задачи построения математической модели процесса формирования свойств металла [6].

Примечательной особенностью математических моделей является то, что с их помощью можно и нужно прогнозировать нс только общий (средний) уровень, но и изменение (распределение) свойств по длине и ширине полосы с различной степенью дискретности. Основой для структурного синтеза моделей могут служить результаты исследования механизма и определения причин возникновения неравномерности магнитных и физико-механических свойств в полосах (см., например, [39-43]), которые позволяют выявить совокупность факторов, оказывающих решающее влияние на изменение (формирование) свойств металла по длине и ширине полос. Причем целесообразно разделить модели на два вида: первый - модели, описывающие процессы формирования свойств по длине полос; второй - по ширине полос.

Прежде, чем перейти к описанию процедур построения моделей и их анализу, приведем резюме некоторых результатов исследований. В качестве примера приведены результаты, полученные в промышленных условиях производства динамных сталей «ОАО НЛМК».

С учетом разработанного в [6] подхода к моделированию процесса формирования свойств готовой холоднокатаной продукции в структуру моделей не включены в качестве независимых переменных химические элементы (легирующие и неметаллические включения). Обусловлено это результатами исследований: во-первых, не выявлены детерминирующие составляющие в изменениях как по длине, так и по ширине полос содержания основных химических элементов, определяющих марку стали (исключение составляет углерод); во-вторых, диапазон их изменения почти в 98% случаев нс превышает погрешности измерений; в-третьих, практически невозможно производить контроль и количественную оценку этих измерений в потоке производства.

Принимая во внимание изложенное, изменения (колебания) химического состава стали считали «зашумленностью» процесса. Это допущение справедливо еще и потому, что математические модели целесообразно строить в узких рамках отдельных групп типоразмеров, выделенных по маркам выплавки и назначения и имеющих достаточно стойкое и стабильное содержание основных химических элементов, не претерпевающих заметных изменений под действием технологических режимов обработки металла на всей производственной линии [39]. Исключение составляет содержание углерода в химическом составе стали, изменение которого но длине полос ЭИС в процессе производства связано [40]: во-первых, со степенью охлаждения после горячей прокатки (различное протекание диффузионных процессов по длине полос, вызывающих различную подвижность атомов углерода и, как следствие, разную степень обезуглероживания металла); во-вторых, с обезуглероживающим отжигом в АНО. Поскольку оценить изменение содержания углерода практически невозможно (имеется только информация о средних значениях на партию), то в моделях влияние содержания углерода можно учесть косвенно через технологические факторы, оказывающие основное влияние на его изменение (колебание) в рамках отдельных партий (плавок) металла. К ним отнесены: степень охлаждения на отводящем рольганге стана горячей прокатки, которая учитываег изменение соответствующих температур: ДТ= Ткп - Тсм, где Ткп, Тсм - температуры конца прокатки и смотки; температурный режим в АНО (обозначения ниже). Кроме того, температуры конца горячей прокатки и смотки горячекатаной полосы в рулон, в свою очередь, оказывают существенное влияние на формирование структуры и физико-механические свойства полупродукта, что в результате влияет и на свойства готовой ЭИС. Включение в математические модели степени охлаждения АТ горячекатаной полосы в качестве независимой переменной не вызывает сомнений, т.к. подтверждено результатами многочисленных исследований (см., например, [39, 40,43, 44 и др.]).

В ходе теоретических и экспериментальных исследований [6,7, 39-43 и др.] выявлена совокупность технологических факторов, определяющих режимы обработки металла на различных агрегатах листопрокатных цехов и оказывающих влияние на формирования свойств готовой продукции и их изменение по длине и ширине полос. Результаты исследований позволили определить структуру математических моделей, общий вид которых представлен ниже.

Для технологических схем производства полос электротехнической стали:

MS(x) = Fi[AT(x), Тн(х), VH(x), 8е(х), (х +?), Тв(х),Тох(х), VAHo(x)];

MGS(x)=Fj[AT(x),TH(x),VH(x), 8l(x), Т^(х +<), Тв(х),Тох(х),УЛ,ю(х)];

MS(y) = FktOocT. r(y), (у), Пост. x(y), т(у), Тв(у), Тох(у)];

MGS(y) = F,[a«r.г(у), Б X (у), а«т.х(у), Т^° (у), Т„(у), Тох(у)],

где MS , MGS - механические и электромагнитные свойства металла; х, у - координата по длине и ширине полос; Fi, Fj, Fk, Fi - неизвестные функции (вид зависимостей), i =1,...,I; j=l,...,J; k=l,...,K; 1 =1,...L (I,J,K,L-число показателей, отражающих свойства); AT = ТКц - Тсм ; ТК11 Тсм -температуры конца горячей прокатки и намотки горячекатаной полосы в рулон, Тн, V,, - температура и скорость обработки полос в агрегате нормализации; 8z- суммарное обжатие полосы при холодной прокатке;

Тв, Тох , Vaho - температуры нагрева, выдержки, охлаждения, и скорость движения полосы в агрегате непрерывного отжига (АНО); ? = г • Уано(х); г -временная задержка во влиянии изменения температурного режима отжига на свойства металла [43]; аОст.г, <*ост.х- остаточные напряжения в горячекатаной и холоднокатаной полосе.

Для технологических схем производства полос с рекристаллизационным отжигом в колпаковых печах:

MS(x) = Mi[AT(x), 8z (x),TH(x), TB(x),Tox(x), t>„ tB, tox]; (2.5)

MS(y) = MjlOocT. r(y), SS(у), вост.x(y), TH(y), TB(y), Tox(y), tH, tB, tox], (2.6) где MS - механические свойства металла; Mi, Mj - неизвестные функции (виды зависимостей), i ; j =1,...,J; х, у - координата по длине и ширине полос; ДТ = Ткп - Тсм; Тп, ТВОХ, tH, tB, tox - температура и время нагрева, выдержки и охлаждения; 8е- суммарное обжатие полосы при холодной прокатке; оОст.г, Оост.х - остаточные напряжения в горячекатаной и холоднокатаной полосе.

Далее перейдем к формальному аспекту построения математических моделей, который включает структурный синтез (определение вида зависимостей между функциями отклика и независимыми переменными) и идентификации параметров (определение количественных оценок коэффициентов при независимых переменных при выбранных видах зависимостей). При построении многопараметрических моделей с помощью методов множественного линейного и нелинейного регрессионного анализа (МРА) используют соответственно два вида зависимостей (2.7) - (2.8).

р

у = ао + X ai хр (2.7)

7=1

У = bo+blX/+ Ь2Х? + ...+ bjXi+ ...+ ЬрХр+ ЬцХ12+ Ьт2Х22 +...+ /?иХ,24-...+

, (2.8)

р/д/ + Ь12Х! Х2+ bj3Xi

где ао, Ьо - свободные члены уравнения; a,, bt - коэффициенты модели (/ = 1, ..., р - число факторов); у- вычисляемое, предсказываемое значение функции отклика.

После выбора структуры модели производится идентификация ее параметров. Известно несколько методов идентификации. Одним из наиболее распространенных является метод наименьших квадратов (МНК) [25, 46 и др], с помощью которого строят многомерные (многофакторные) зависимости.

Метод максимального правдоподобия (ММП) используется в случае любого вида распределения наблюдаемых переменных [47]. ММП получил широкое распространение благодаря своим хорошим асимптотическим свойствам: состоятельность, асимптотическая нормальность. На практике используются также метод минимального риска (ММР), наименьших отклонений (МНО), ротатабельпого центрального композиционного планирования (МРЦКП), ортогонального центрального композиционного планирования (МОЦКП), непрерывного оптимального планирования (НОП), байесовские оценки, и др. [48].

Классический МРА, в основе которого лежит МНК, позволяет максимально просто и с достаточной долей достоверности найти по данным N опытов статистические оценки для неизвестных параметров а, с оценкой их значимости по критерию Стьюдснта. Метод также включает в себя обязательную оценку достоверности и адекватности выбранной модели по минимуму остаточной дисперсии и максимуму критерия Фишера.

На независимые (факторы модели) и зависимую (функция отклика) переменные накладываются определенные условия, отражающие особенности МРА и область возможных применений. Наиболее существенные из них приведны ниже [45].

  • 1. Число наблюдений должно быть в 10-30 раз больше числа неизвестных факторов.
  • 2. Диапазон изменения каждого независимого фактора должен быть максимальным.
  • 3. График остатков для модели должен иметь гауссовское распределение (что подтвердит правильность выбора вида математической модели для описания закономерной составляющей случайного процесса).
  • 4. Наблюдения по каждому фактору стохастически независимы.

Алгоритм решения

Для построения многопараметрической математической модели мы предлагаем три алгоритма, схожих по сути, но отличающихся по форме и содержанию базы исходных данных.

Алгоритм 1

Используется традиционный классический регрессионный и корреляционный анализ [6, 25, 45 и др.].

Преимуществом алгоритма является высокая точность, но появляется существенный недостаток - необходимо большое время обработки.

1. Загрузка исходных данных (например, файла данных измерений показателей механических свойств и технологических величин, определяющих режимы обработки металла на различных агрегатах цехов горячей и холодной прокатки).

Матрица исходных данных имеет вид

  • ?'г
  • (2.9)
  • 2. Вычисление коэффициентов парной корреляции по формуле:
    • -Е(у, -?)(*« -) --чЖ -*,)

Я J-I_______________________. г _ п i-1__________________________

(2.10)

Sv5t ХтХ' Sx

у л) л*

и заполнение матрицы

коэффициентов парной корреляции по

следующему принципу:

  • (2.И)
  • 3. Вычисление частных коэффициентов корреляции по формуле

где О,,, Z>1;, Dj, - определители матриц образованные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов; р - число факторов.

  • 4. Проверка значимости коэффициентов парной корреляции.
  • 5. Сравнение частных коэффициентов корреляции для коррелированных факторов.
  • 6. Исключение одного из коррелированных факторов с меньшим значением частного коэффициента корреляции.
  • 7. Задание независимых (факторы) и зависимых (отклики) переменных и построение линейной формы многофакторного уравнения регрессии вида:

(2.13)

где а„ - свободный член уравнения; а, - коэффициенты модели; у -предсказываемое значение; р - число независимых переменных .

а) Построение матрицы (х х) имеющей вид:

2л i-l

X-V.2

»=1

  • 1=1

Ххл

1-1

Г-1

Ё-Мн

JI ~^ХХ>1 1=1

<-1

  • (2.14)
  • в) Построение обратной матрицы (х'х)'.
  • с) Вычисление коэффициентов уравнения регрессии но формуле

II и

(2.15)

г«0 г-1

где с,, - элементы обратной матрицы (х’х)'

8. Вычисление t-критсрисв Стьюдснта для параметров модели «„ и а, но формулам:

Г,=^, (2.16)

где S„ - погрешность коэффициента регрессии:

Sa,=^S^~ , (2.17)

С-- - диагональный элемент обратной матрицы (10); S^c„ - остаточная дисперсия:

Е(у,-у.)2

С,“------? (2.18)

п - р - 1

9. Определение значимости параметров (коэффициентов) модели с помощью неравенства

, (2.19) если это условие выполняется, то коэффициент статически зависим и соответствующий фактор не исключается из уравнения.

  • 10. Вычисление остаточной дисперсии по формуле (2.18).
  • 11. Вычисление критерия Фишера:
    • (2.20)
  • 12. Сравнение критерия Фишера с табличным значением с помощью неравенства

F>FT,

(2.21)

если условие выполняется, то уравнение адекватно.

  • 13. Вычисление коэффициента множественной корреляции по формуле
  • («-0±(у, - у)2
  • (2.22)

___________'=1________________

  • («-р-0Х(у,-у)2
  • 14. Вычисление - коэффициента Стьюдента для коэффициента множественной корреляции:
  • 15. Проверка условия
  • (2.24)

если условие (2.24) выполняется, то коэффициент множественной корреляции статистически значим.

16. Построение полной квадратичной формы уравнения регрессии по формуле

у=«о+• /-I i-l

(2.25)

  • 17. Замена переменных в нелинейной модели (линеаризация).
  • 18. Повтор вычислений по и. 7-15 для линеаризованной модели (уравнения).
  • 19. Степень нелинейной модели повышают до выполнения условия:
    • <2-26)
  • 20. Исключение из модели факторов с минимальными значениями критерия Стыодента, вычисленными для коэффициентов линеаризованного уравнения.
  • 21. Исключение прекращают при условии стабилизации (либо увеличения) остаточной дисперсии S^„.
  • 22. Пос троение гистограммы остатков.
  • 23. Проверка условия. Если распределение остатков близко (соответствует) теоретическому гауссовскому распределению, то осуществляется сохранение параметров моделей и оценок их адекватности. Если не соответствует, то возвращается к этапу предварительной обработки данных измерений. А затем повторяем п. 1-22.
  • 24. Параметрическая адаптация модели:
    • д) накопление данных измерений (расширение базы данных);
    • в) вычисление по п. 1-18;

c) пересчет параметров модели, сохраненной в файле;

d) вычисление новых оценок S*cm, R, F и сохранение их со старыми;

  • е) в случае ухудшения новых оценок производится структурная адаптация модели.
  • 25. Структурная адаптация модели:
    • а) накопление данных измерений;
    • в) вычисление по п. 1-23;

c) пересчет параметров модели, сохраненной в файле;

d) вычисление новых оценок .С,„, R, F и сохранение их со старыми;

  • е) в случае улучшения оценок выбирается новая структура и параметры, в противном случае остается структура и параметры модели.
  • 26. Адаптация может производиться по мере накопления данных измерений в базе (либо за заданный определенный промежуток времени, либо при увеличении объема данных на заданную определенную величину)

Алгоритм 2

Производится «сглаживание» исходных данных измерений с помощью заданной аппроксимирующей функции.

Преимуществами являются достаточно высокая точность и возможность использования математического аппарата предыдущего алгоритма. Недостаток заключается в необходимости корректировки матрицы входных данных.

  • 1. Загрузка исходных данных. Матрица исходных данных имеет вид (2,9).
  • 2. Вычисление коэффициентов парной корреляции по формуле (2.10) и заполнение матрицы коэффициентов парной корреляции (2.11).
  • 3. Вычисление частных коэффициентов корреляции по формуле (2.12).
  • 4. Проверка значимости коэффициентов парной корреляции.
  • 5. Сравнение частных коэффициентов корреляции для коррелированных факторов.
  • 6. Исключение одного из коррелированных факторов с меньшим значением частного коэффициента корреляции.
  • 7. Нормирование значений каждого столбца в диапазоне
  • 8. Дискретно распределенная величина (нормированный фактор или отклик) заменяется некой функцией непрерывной аппроксимирующей функцией

v = tc,w, (2.27)

/-О

с заданной точностью, расчитапной по формуле 48

te(y-y)2

. (2.28)

i и

9. Замена матрицы исходных данных на соответствующие значения аппроксимирующей функции.

К). Построение линейной формы многофакторного уравнения регрессии вида (2.23):

  • а) построение матрицы (х'х) имеющей вид (2.14).
  • в) построение обратной матрицы (х'х)'.
  • с) вычисление коэффициентов уравнения регрессии ведётся по формуле (2.15).
  • 11. Вычисление t-критериев Стьюдента для параметров модели а„ и а: по формуле (2.16).
  • 12. Определение значимости параметров (коэффициентов) модели с помощью неравенства (2.19). Если это условие выполняется, то коэффициент статически зависим и соответствующий фактор не исключается из уравнения.
  • 13. Вычисление остаточной дисперсии по формуле (2.18).
  • 14. Вычисление критерия Фишера по формуле (2.20).
  • 15. Сравнение критерия Фишера с табличным значением с помощью неравенства (2.21). Если условие выполняется, то уравнение статически зависимо.
  • 16. Вычисление коэффициента множественной корреляции по формуле (2.22).
  • 17. Вычисление tR- коэффициента Стьюдента для коэффициента множественной корреляции по формуле (2.23).
  • 18. Проверка условия (2.24), если условие выполняется, то коэффициент множественной корреляции статистически значим.
  • 19. Сохранение данных в файл.
  • 20. Повтор пунктов с 8 по 19 с изменением в уравнении (2.28).
  • 21. Сравнение остаточных дисперсий S^tan и сохранение в файл значений с меньшей дисперсией.
  • 22. Повторение пунктов 20 и 21 либо пока не достигнет своего минимального значения, либо не станет меньше заранее заданного значения.

Алгоритм 3

Преобразуются данные измерений входных переменных в соответствии с выбором оптимальной зависимости от них функции отклика (коррекция и внесение соответствующих изменений в базу данных).

Преимуществами являются достаточно высокая точность и быстрая скорость коррекции базы данных за счет преобразования исходных данных измерений.

  • 1. Загрузка исходных данных. Матрица исходных данных имеет вид (2.9).
  • 2. Вычисление коэффициентов парной корреляции по формуле (2.10) и заполнение матрицы коэффициентов парной корреляции (2.11).
  • 3. Вычисление частных коэффициентов корреляции по формуле (2.12).
  • 4. Проверка значимости коэффициентов парной корреляции.
  • 5. Сравнение частных коэффициентов корреляции для коррелированных факторов.
  • 6. Исключение одного из коррелированных факторов с меньшим значением частного коэффициента корреляции.
  • 7. Построение зависимостей МНК заданного отклика от каждого отдельного заданного фактора от заданного отклика.
  • 8. Замена в матрице исходных данных численных значений факторов на соответствующие значения, полученные из обратных зависимостей фактора от отклика.

9. Построение линейной формы многофакторного уравнения регрессии вида (2.13):

a) , построение матрицы (х'х) имеющей вид (2.14).

b) . построение обратной матрицы (х’х)

c) , вычисление коэффициентов уравнения регрессии видется по

формуле (2.15).

  • 10. Вычисление t-критериев Стьюдента для параметров модели а„ и а; по формуле (2.16).
  • 11. Определение значимости параметров (коэффициентов) модели с помощью неравенства (2.17). Если это условие выполняется, то коэффициент статически зависим и соответствующий фактор не исключается из уравнения.
  • 12. Вычисление остаточной дисперсии по формуле (2.18).
  • 13. Вычисление критерия Фишера по формуле (2.20).
  • 14. Сравнение критерия Фишера с табличным значением с помощью неравенства (2.21). Если условие выполняется, то уравнение статически зависимо.
  • 15. Вычисление коэффициента множественной корреляции по формуле (2.22).
  • 16. Вычисление ^-коэффициента Стьюдента для коэффициента множественной корреляции по формуле (2.23).
  • 17. Проверка условия (2.24), если условие выполняется, то коэффициент множественной корреляции статистически значим.
  • 18. Сохранение данных в файл.

Проверка алгоритмов подтвердила их эффективность и возможность использования для решения специфических задач, возникающих при оценке и контроле свойств по длине и ширине полос. Результаты решения приведены далее (см. с.61) Блок - схемы алгоритмов предварительной обработки данных и множественного корреляционного и регрессионного анализа представлены в работах [6, 45 и др.]

Математическое описание различных методов принятия решений в многокритериальных оптимизированных задачах исследования, прогнозирования, проектирования и управления сложными объектами и процессами приведено во многих отечественных и зарубежных публикациях (см., например, [6,7,49-58]).

При большом разнообразии и разной степени сложности методы принятия решений, как правило, имеют похожие структуру построения и содержание логических процедур решения задач этого класса, которые позволяют использовать их на практике при управлении как сложными дстсрмснированными процессами, так и процессами, протекающими в условиях различной степени неопределенности. К первым можно отнести планируемые производственные процессы, ко вторым - технологические процессы.

На первом этапе любого процесса принятия решений (ПР) по определенным правилам выделяется множество альтернативных вариантов и выбирается конечное их число. На втором этапе устанавливаются критерии выбора наилучшей альтернативы.

Эта информация в первую очередь включает желаемые количественные или качественные значения и вес (важность) каждого критерия, а также ограничения, накладываемые на них [7].

Достаточно подробная классификация методов принятия решений в задачах управления качеством представлена в работах [7,55 и др.]

Основные задачи, решаемые с помощью вычислительного модуля 4, целесообразно разделить по уровням:

- тактический (задачи проектирования) - задачи, решаемые с помощью вычислительных блоков 4.1 -4.4 (см. рис 2.1);

- оперативный (задачи управления) - задачи, решаемые с помощью вычислительных блоков 4.5-4.6 (см. рис. 2.1).

При решении задач тактического уровня в отсутствии дефицита времени и жестких временных границ ЛПР может проанализировать новую информацию, сравнить се с подобного рода информацией, полученной ранее, и принять правильное решение при выборе технологических режимов обработки металла на том или ином агрегате листопрокатного производства [7]. Разумеется, ЛПР должно иметь достаточный объем опыта и знаний. В качестве него в данном случае может выступать какой-либо ответственный работник цеха: заместитель начальника по технологии; начальник группы (отдела) качества и т.п.

При решении задач оперативного уровня в режиме реального времени (время прохождения партии металла через агрегат), зачастую сопровождающегося острым дефицитом времени, в качестве ЛПР может выступать представитель руководства среднего или нижнего звена технологического персонала цеха (см. рис. 1.3-1.4).

Совместное решение задач обоих уровней обеспечивает не только максимальную формализацию и, как следствие, максимально возможную автоматизацию процедур принятия решений, но и существенное сужение круга ЛПР. При этом информация, на основе которой они будут принимать соответствующие решения, должна быть представлена в удобной для восприятия форме и удовлетворять ЛПР с точки зрения полноты, точности, надежности и достоверности [7].

В качестве одного из вариантов, реализующих на практике описанные выше процедуры ПР, предложена комбинированная методика, включающая и сочетающая методы теории вероятностей, теории планирования эксперимента, математической статистики (в частности, многомерный регрессионный анализ) и классификации альтернатив. Элементы методики в различных видах представлены в работах [6, 7, 58,66-67].

В данной работе мы попытались логически увязать различные вычислительные процедуры и элементы методики, придать ей достаточно простую форму, более доступную для восприятия и практической реализации.

Описание методики

Любой процесс, в том числе, протекающий в условиях неопределенности, характеризуется вектором X входных переменных (назовем их факторами) и оценивается вектором У выходных переменных (назовем их откликами). Совокупность наблюдений (измерений) факторов и откликов образуют массив данных М(X, У) объема N.

Каждый фактор изменяется в каких-то конечных зачастую, достаточно широких, диапазонах значений (интервалах)

Xj min— Xj < A’j max ( I 1 > • ••> Г).

Методика предусматривает разбиение каждого диапазона на более узкие поддиапазоны (группы) значений. Число поддиапазонов и их величина может задаваться например, на основе анализа эмпирических распределений каждого фактора . Разбиение производится тремя способами:

  • 1) границы поддиапазонов (участков) выбираются из условия их равномерного заполнения данными измерений;
  • 2) диапазон изменения каждого фактора делится на заданное число участков равной длины;
  • 3) границы поддиапазонов выбираются на основе кластерного анализа данных измерений методом к-средних [27].

Каждый поддиапазон (участок) кодируется числом к, (к , = К, i-число участков для /-го фактора), а комбинация (сочетание) участков но всем факторам - строкой < к / • кг ... к, ... к/ >.

В результате производится сжатие массива исходных данных до объема M(M

Рассмотрим простой пример. Пусть в анализ включены три фактора хь Х2, х?. Объем выборки W= 100. Первый и второй факторы имеют количественные значения, третий - качественные (давление: низкое, среднее, высокое) Диапазон изменений численных значений первого фактора разбиваем на 3 поддиапазона (участка) (к/ = 3), диапазон х 2 - на два (к 2 = 2), исходя из первого способа разбиения.

В итоге получаем 18 (к / • к 2 к з= 3-2-3) альтернативных варианта (сочетаний факторов), которые имеют различную степень повторяемости, оцениваемую абсолютной частотой пт (т = 1,....,18) возникновения М =18

конкретной альтернативы. При этом ^пт =N = 100

ш-1

Результат реализации каждого альтернативного варианта оценивается определенным сочетанием выходных переменных (откликов) - у/т)- (j = = 1,...J- число откликов, например, показателей качества продукции).

Каждый отклик у, также изменяется в диапазоне значений. Для упрощения решения произведем разбиение указанных диапазонов на L поддиапазонов (участков, групп), получая при этом совокупность значений

(/, =1 Л./ =

Базовые значения каждой группы задаются (на практике могут выбираться из стандартов на соответствующий вид продукции).

Решение задачи сводится к правильному выбору такого альтернативного варианта, который дает максимальное совпадение фактических (измеренных) показателей качества у/т)с желаемыми (заданными) у/.

Разработано два способа решения задачи: первый позволяет определить степень близости у/т) к у/ из условия совпадения максимального числа откликов, второй учитывает важность показателей, т.е. поиск и выбор производится в соответствии с установленным приоритетом каждого отклика.

Выбор наилучшей альтернативы основан на расчете, оценке и выборе наибольшего значения условной относительной частоты: для первого решения - Р„ = Рт

(2.29)

где п,„— 22 С , Рт 22 Pjm (J Pjm— , 22 -N ,

7-1 ;-1 пт m=l

где Cjm - абсолютная частота реализаций /и-го альтернативного варианта, при которых совпали фактические значения показателей качества у/т) с заданными yf;

Ррп - соответствующая относительная частота;

7=1, ..., J - число показателей качества; Мл - число лучших альтернатив (СМ. [11]);

для второго решения -

(2.30)

D(/y) (6) / (6)

где Pj(m)-Vjlm)lnm> Vj(m) ~ аосолютная частота реализации m-го альтернативного варианта, при которых каждый фактический показатель у совпал с каждой заданной группой у(,,). Величины v^L рассчитывают для того, чтобы определить какие именно показатели качества совпали с заданными (попали в заданную группу) и реализовать их по важности.

В результате решения получаем наилучший вариант сочетания поддиапазонов (участков) всех технологических факторов, включенных в анализ, с точки зрения получения заданных значений выходных переменных (показателей качества).

Для определения количественных значений факторов в выбранных поддиапазонах используются математические модели (2.1-2.6). Подробно эта операция рассмотрена ниже (см. алгоритм решения).

Алгоритм решения (блок-схема алгоритма приведена в приложении 2 работы [6]:

1. Задание групп металла (выбирается в зависимости от размеров полос, химического состава стали и марки назначения готовой продукции).

  • 2. Выбор показателей качества готовой продукции (согласно ГОСТ, ТУ потребителя и т.п. - в зависимости от производственного задания).
  • 3. Разбиение на поддиапазоны диапазонов изменения каждого показателя качества готовой продукции и задание приоритетного поддиапазона.
  • 4. Задание технологического маршрута обработки.
  • 5. Выбор необходимых технологических факторов обработки на каждом агрегате.
  • 6. Разбиение на поддиапазоны диапазонов изменения каждого из выбранных технологических факторов обработки.
  • 6.1. Задание количества поддиапазонов для каждого из выбранных технологических факторов обработки.
  • 6.2. Задание метода разбиения на поддиапазоны для выбранных технологических факторов обработки.
  • 6.3. Задание конкретного технологического фактора.
  • 6.4. Расчет границ поддиапазонов технологического фактора либо из условия их равной длины, либо из условия их равномерного заполнения.
  • 6.5. Запоминание значений границ поддиапазонов технологического фактора.
  • 6.6. Повторяем п. 6.3 для каждого из выбранных технологических факторов.
  • 7. Выбор наилучших поддиапазонов из диапазонов изменения каждого технологического фактора каждого aiperara цеха.
  • 7.1. Кодирование выделенных поддиапазонов каждого технологического фактора.
  • 7.2. Построение строки сочетаний поддиапазонов технологических факторов (технологическая ситуация) - <к кг... к... к>.
  • 7.3. Поиск одинаковых технологических ситуаций и вычисление их абсолютной частоты пт.
  • 7.4. Выбор пути решения задачи многокритериальной оптимизации:

Из условия совпадения максимального числа показателей качества

  • 7.4.1. Вычисление С>, Рт-
  • 7.4.2. Вычисление порогового значения |/ (см. (4.8) [22]).
  • 7.4.3. Нахождение числа лучших альтернатив Л/7.
  • 7.4.4. Вычисление условной относительной частоты Ртн.
  • 7.4.5. Нахождение соответствующих наилучших поддиапазонов изменения технологических факторов.

Из условия важности показателей качества

  • 7.4.6. Вычисление
  • 7.4.7. Вычисление порогового значения |/.
  • 7.4.8. Нахождение числа лучших альтернатив Л/7
  • 7.4.9. Вычисление относительной частоты Л(/).

т

  • 7.4.10. Нахождение соответствующих наилучших поддиапазонов изменения технологических факторов.
  • 8. Выбор количественных значений факторов из определенных в п. 7.4.5 или п. 7.4.10 поддиапазонов.
  • 8.1. Средние значения поддиапазонов подставляются в математические модели (2.7 и 2.8) и вычисляются количественные значения Vj показателей качества.
  • 8.2. Вычисленные значения сравниваются с нижней и верхней границами поддиапазонов каждого показателя качества.
  • 8.3. Проверка условия

У]* (min) Vj* (щах). (2.3 1)

8.4. Выполнение условия (2.31). Вычисления завершаются.

Не выполнение условия (2.31). Из поддиапазонов значений технологических факторов выбираются другие количественные значения по методу половинного деления (может также использоваться метод золотого сечения).

8.5. Выбор производится до выполнения условия (2.31).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >