Дисперсионный анализ эксперимента

Дисперсионный анализ широко используется для планирования эксперимента и статистической обработки его данных. В настоящее время статистическое планирование опыта в соответствии с требованиями дисперсионного анализа и математическая интерпретация результатов - непременные условия успешного получения ответов на вопросы экспериментатора.

При дисперсионном анализе одновременно обрабатывают данные нескольких выборок (вариантов), составляющих единый статистический комплекс, оформленный в виде специальной рабочей таблицы. Структура статистического комплекса и его определяют схемой и методикой эксперимента.

Сущностью дисперсионного анализа является расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части - компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F критерию[6].

При обработке однофакторных статистических комплексов, связанных условием, такая изменчивость результативного признака , измеряемая общей суммой квадратовСу, разлагается на три части: варьирование повторений Ср, вариантов Су и случайное C_z.

Су — Ср 4“ Су + C_z. (2.6.1)

Общее число степеней свободы (и-7)также расчленяется на три части

п - 1 = (m - 1) + (Z + 1) + (т - 1) (Z - 1) (2.6.2)

где т-количество организованных повторений;

I - количество вариантов.

В исходной таблице определяют суммы по повторениям Р, вариантам V и общую сумму наблюдений 2х. Затем вычисляют:

Общее число наблюдений

N = 1т; (2.6.3)

Корректирующий фактор (поправку)

у _х.²

С = ^~; (2.6.4)

Общую сумму квадратов

С_г = ?х₍²-С; (2.6.5)

Сумму квадратов для повторений

Ср = - С; (2.6.6)

Сумму квадратов для вариантов

у р²

C_v = --C; (2.6.7)

ТП,

Сумму квадратов для ошибки (остаток)

C_z = Су - Ср - Су. (2.6.8)

Приведение к сравниваемому виду - одной степени свободы вариации проводят путем вычисления средних квадратов (дисперсии):

Вариантов

(2.6.9)

Ошибки

Значения, полученные в выражениях 2.6.9 и 2.6.10 используют в дисперсионном анализе для оценки значимости действия изучаемых факторов по критерию Фишера с2

г = (2.6.11)

Таким образом, за базу - единицу сравнения принимают средний квадрат случайной дисперсии, которая определяет случайную ошибку эксперимента. При этом происходит проверка нулевой гипотезы.

s²

Если Гф_акт = ^2 < F_Teop, ^т0 нулевая гипотеза не отвергается; между всеми выборочными средними нет существенных различий, на этом проверка заканчивается. Нулевая гипотеза отвергается, ко-s²

гда Гф_акт = > F_Teop. В этом случае необходима оценка суще

ственности частных различий по НСР.

Наименьшая существенная разность (НСР) - это величина, указывающая границу предельным отклонениям и определяемая отношением [6]

НСР = tS_d. (2.6.12)

где t - коэффициент Стьюдента,

S_d - ошибка разности средних.

^S«=J? (2.6.13)

Ошибка опыта

= (2.6.14)

Пример. Определена урожайность озимой пшеницы. Провести дисперсионный анализ, определить НСРо,5 и сгруппировать сорта по отношению к стандарту.

Таблица 2.6.1

Урожай озимой пшеницы, ц/га

Ход работы

Дисперсионный анализ целесообразно проводить с использованием табличного процессора Microsoft Excel.

1. Заполните ячейки таблицы значениями эксперимента

Рис. 2.6.1. Исходные данные результатов эксперимента

2. Вычислите суммарные значения для каждого сорта и измерения Xi, а затем среднее для каждого сорта (рис. 2.6.2).

Рис. 2.6.2. Промежуточные вычисления суммы и средних значений

3. Для вычисления сумм квадратов исходные значения целесообразно преобразовать в соответствии с соотношением Х_± = X — А, приняв за условное среднее А число 45, близкое к х=45,63 с использованием функции ОКРУГЛВНИЗО (рис. 2.6.3).

В10 - А -ОКРУГЛВНИЗ(О8;0)

Рис. 2.6.3. Нахождение условного среднего

4. Выполните преобразование значений в соответствии с выражением Х[ = X — 45 (рис. 2.6.4)

F13 - (* ЛI =CyMM(F13:F17)

Рис. 2.6.4. Таблица преобразованных значений

5. Вычислите сумму квадратов отклонений. Общее число наблюдений по формуле (2.6.3), корректирующий фактор по формуле (2.6.4). _______________________

Рис. 2.6.5. Общее число наблюдений и корректирующий фактор

Общую сумму квадратов по формуле (2.6.5) для этого необходимо заполнить таблицу значениями квадратов преобразованных значений (рис. 2.6.6).

Е29__________- ;__Л | =Е28-В21

Рис. 2.6.6. Нахождение общей суммы квадратов

Сумму квадратов для повторений с использованием выражения (2.6.6)

F19 ” А =СУММ(В192Е19)

Рис. 2.6.7. Промежуточные вычисления для нахождения суммы квадратов повторений

Сумму квадратов для вариантов с использованием выражения (2.6.7)

Рис. 2.6.8. Промежуточные вычисления для нахождения суммы квадратов для вариантов

Е31__________- f* | =H18/4-B21

Рис. 2.6.9. Сумма квадратов для вариантов

Сумму квадратов для ошибки (остаток) по формуле 2.6.8

6. Заполните таблицу дисперсионного анализа

Рис. 2.6.10. Результаты дисперсионного анализа

Где остаток дисперсии - это разность степеней свободы дисперсии общей, повторений и вариантов.

Средний квадрат вариантов и отклонений (остаток) вычислите воспользовавшись формулами (2.6.9) и (2.6.10). Фактическое значение критерия Фишера (2.6.11) Еф=30,23.

7. Определите табличное значение коэффициента Фишера по примеру в лабораторной работе 2 (стр. 81-84.)

Так как Рф>Ро.5, то в опыте есть существенные различия между сортами (вариантами), нулевая гипотеза отвергается.

8. Для оценки существенности частных различий и группировки сортов вычислите ошибку опыта (2.6.14), ошибку разности (2.6.13), средних и НСРо,5 (2.6.12). При этом коэффициент Стью-дента возьмите из приложения Е для 12 степеней свободы или с использованием функции =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;12)

Рис. 2.6.11. Нахождение ошибки опыта, ошибки разности и средних НСР

9. Заполните таблицу результатов

Рис. 2.6.12. Результаты опыта и статистической обработки

В результате проведенного анализа видно, что сорт 2 существенно превышает стандарт, а сорта 3-ий и 5-ый существенно уступают ему по урожаю (относим их в 3-ю группу), а сорт 4 несущественно отличается от контрольного сорта (2-я группа).

Контрольные вопросы и задания

• 1. Для чего проводят дисперсионный анализ?
• 2. Каково назначение коэффициента Фишера?
• 3. Какие показатели влияют на оценку существенных частных различий?
• 4. Оформите работу с использованием текстового процессора и дайте обоснование полученных данных в выводе.