Проверка нулевой гипотезы

Статистическая проверка гипотез - процедура принятия решения, следует ли на основе данных выборочного исследования принять или опровергнуть некое предположение о характеристиках или свойствах генеральной совокупности.

Для того чтобы содержательная гипотеза могла быть проверена средствами статистики, она должна быть сформулирована как статистическая гипотеза, с выделением нулевой и альтернативной гипотез. Проверка гипотезы сводится к принятию решения, следует ли принять нулевую гипотезу или отклонить ее в пользу альтернативной. При этом нулевая гипотеза (постулирующая отсутствие различий) выступает в качестве утверждения, которое считается справедливым до тех пор, пока не будут найдены противоречащие ему факты.

Критерий нулевой гипотезы строится на основе специально подобранной численной функции, которая вычисляется по выборке и называется статистикой критерия [1, 2, 3, 12, 14, 15].

Нулевой гипотезой называют гипотезу об отсутствии реального различия между двумя сравниваемыми вариационными рядами: эмпирическим и теоретическим или двумя эмпирическими.

Для оценки соответствия эмпирического распределения теоретическому используют критерий согласия (подобия) х², закон распределения которого открыл К. Пирсон. Кривая распределения, полученная из функции х² имеет вид [1,8, 14]

(2.4.1) где rii- фактическая частота численности объектов выборки;

F-гипотетическая (теоретическая) частота объектов выборки.

Её вид в сильной степени зависит от числа степеней свободы.

Критерий х², или критерий согласия (подобия), используется для оценки степени соответствия эмпирических данных определённым теоретическим предпосылкам, нулевой гипотезе.

Гипотеза опровергается, если Хфакт — /теор, ^{и не} опровергается, если Хфакт < Хтеор- Если вероятность нулевой гипотезы окажется значительной (более 0,05, но менее 0,95), опыт ненадежный, не доказавший ни наличия, не отсутствия влияния испытываемого фактора. Фактическая частота численности объектов в определен ной части известна из эмпирического распределения. Гипотеза о нормальном характере распределения частот позволяет вычислить теоретические их значения для вероятности Л попасть в i- интервал. Для этого используется следующее выражение

Р{^-1 < f < = Ф - Ф (2.4.2)

где х_к__± их_к- концы рассматриваемого интервала (см. лабораторная работа №3);

х, S - параметры распределения, среднее арифметическое и стандартное отклонение соответственно.

В выражении (2.4.2) сначала нормализуют величину а потом вычисляют из неё функцию Лапласа.

Самым строгим и надёжным критерием согласия при обработке сгруппированных данных является критерий Пирсона [14]

= (2.4.3)

где п,— фактическая частота попадания;

пр - теоретическая частота попадания.

При условии nip > 5эта величина имеет приблизительно х²-распределение с количеством степеней свободы т = к — 3, где?-количество интервалов.

Пример. Рассчитать критерий Пирсона для эмпирического вариационного ряда и проверить нулевую гипотезу.

Ход работы

Расчет целесообразно вести с использование табличного процессора Microsoft Excel. Для данного примера используем данные лабораторной работы №3.

1. Перенесите из лабораторной работы №3 в новый документ Microsoft Excel интервал группировки, частоту попадания в каждый интервал, среднее значение х и стандартное отклонение 5 (рис .2.4.1)

Рис. 2.4.1.Исходная таблица данных

Проведите расчет теоретических значений npi попадающих в соответствующие интервалы (выражение 2.4.2). Значение функции Лапласа принимается по таблице для каждого в отдельности. Поэтому во избежание затруднений при вычислениях оставим три столбца.

2. В столбце F вычислите Ф_тах = Ф ^гД^{е х}к ~ последнее значение интервала.

F2 ? A =(В2-$Р$2)/$Е$2

Рис. 2.4.2.Промежуточные вычисления

3. Для полученных данных найдите по таблице значения функции Лапласа Р_тах (приложение Г)

Рис. 2.4.3.3начения функции Лапласа для Фтах

4. В столбце Н вычислитеФШ1П = Ф где - первое значение интервала. Для этих данных найдите значения функции Лапласа (приложение Г).

Н2 ? Д =(А2-$Р$2)/$Е$2

Рис. 2.4.4.Нахождение функции Лапласа для каждого значения интервала группировки

5. Столбец J заполните теоретическими значениями npi попадающими в соответствующий интервал, где н,- объем выборки (количество измерений). N=100

J2 ?- A =1OO*(G2-I2)

Рис. 2.4.5.Нахождение теоретического значения npi для каждого интервала

Для нахождения критерия Пирсона (выражение 2.4.3) необходимо соблюдение условия npt > 5, что на самом деле не выполня

ется в ячейках J2 и J8. Для этого допускается объединение интервалов, в данном случае двух первых и двух последних (рис. 2.4.6).

Рис. 4.6.Объединяемые интервалы

Выражение для первого интервала примет вид

• ((п-1+П₂)-(пр-|+пр₂))² < Л ^Г- г Г/ Ъ Л Z-X
• ------, гдеиу=1, /22=4, /2/27=0,75, /2/22=5,5(см. рис. 2.4.6)
• 6. Выполните вычисления для каждого интервала и суммируйте все полученные значения.

К2 - A =((C2+C3)-(J2+J3))ⁿ2/(J2+J3)

Рис. 2.4.7.Вычисление критерия Пирсона

При числе степеней свободы т = к — 3 где к - количество интервалов имеем т = 7 — 3 = 4. По таблице значение критерия Пирсона (приложение Д) Хо,95 ⁼ 0,71.

Таким образом, фактическое значение критерия Пирсона %факт = 3,31, теоретическое х?_еор = 0,71, условие х|_акт > х?ео_Р выполняется - нулевая гипотеза опровергается.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Найдите значения функции Лапласа используя данные из лабораторной работы 3.
• 2. Вычислите фактическое значение критерия Пирсона и сравните его с табличным.
• 3. Оформите работу с использованием текстового процессора и дайте обоснование полученных данных в выводе.