Оценка адекватности теоретических решений

В результате эксперимента получают статистический ряд однофакторных парных (Xi, Yi) или многофакторных (ai,bi, Ci...) измерений. Статистические измерения подвергают обработке, анализу, подбирают эмпирические формулы и устанавливают их достоверность [12].

Перед подбором эмпирических формул необходимо убедиться в достоверности эксперимента, окончательно проверить воспроиз водимость результатов по критерию Кохрена. Оценка пригодности гипотезы исследования, а также теоретических данных на адекватность, то есть соответствие теоретической кривой экспериментальным данным, необходима во всех случаях на стадии анализа теоретико-экспериментальных исследований. Методы оценки адекватности основаны на использовании доверительных интервалов, позволяющих с заданной доверительной вероятностью определить искомые значения оцениваемого параметра. Суть такой проверки состоит в сопоставлении полученной или предполагаемой теоретической функцииу = /(х)с результатами измерений. В практике оценки адекватности применяют различные статистические критерии согласия [12].

Одним из таких критериев является критерий Фишера. Установление адекватности - это определение ошибки аппроксимации опытных данных. Для этого необходимо рассчитать экспериментальное (опытное) значение критерия Фишера - Кфэ и сравнить его с теоретическим (табличным - Кфт), принимаемым при требуемой доверительной вероятности Pq (обычно Pq=0,95). Если Кфэ<Кфт -модель адекватна; если Кфэ> Кфт - модель не адекватна. Опытный критерий Фишера вычисляют по формуле

Кфэ = ??, (2.2.1)

Дер

где Да дисперсия адекватности,

Дер _ средняя дисперсия всего эксперимента, определяющаяся как

Да = Х"(^-71з)2 (2.2.2)

„ _ агжгп-гь/ ,9 9 ~

дср - тп ,

YIT 4,

где " - теоретическое значение функции для каждого измерения;

Yi3 - экспериментальное значение функции;

Г - среднее экспериментальное значение функции из ш серий измерений;

п - количество измерений в одном опыте (одной серии или количество опытов);

с! - число коэффициентов уравнения теоретической регрессии у.

В выражении (2.2.2) lT вычисляют по теоретической регрессии для фактора xt, как среднее из m серий измерений, то есть

К = (Х1э + У1Э + - + Утз) (2.2.4)

Таблица 2.2.1

Критерий Фишера

qi

Значение fiфтпри Pq—0,95 для различных с]2

1

2

3

4

5

6

12

24

36

1

16

19

21

22

23

23

24

24

25

2

18

19

19

19

19

19

19

19

19

3

10

9.6

9.3

9.1

9.0

8.9

8.7

8.6

8.5

4

7.7

6.9

6.6

6.4

6.3

6.2

5.9

5.8

5.6

5

6.6

5.8

5.4

5.2

5.1

5.0

4.7

4.5

4.4

6

6.0

5.1

4.8

4.5

4.4

4.3

4.0

3.8

3.7

7

5.6

4.7

4.4

4.1

4.0

3.9

3.6

3.4

3.2

8

5.3

4.5

4.1

3.8

3.7

3.6

3.3

3.1

2.9

9

5.1

4.3

3.9

3.6

3.5

3.4

3.1

2.9

2.7

10

5.0

4.1

3.7

3.5

3.3

3.2

2.9

2.7

2.5

11

4.8

4.0

3.6

3.4

3.2

3.1

2.8

2.6

2.4

12

4.8

3.9

3.5

3.3

3.1

3.0

2.7

2.5

2.3

13

4.7

3.8

3.4

3.2

3.0

2.9

2.6

2.4

2.2

14

4.6

3.7

3.3

3.1

3.0

2.9

2.5

2.3

2.1

15

4.5

3.7

3.3

3.1

2.9

2.8

2.5

2.3

2.1

16

4.5

3.6

3.2

3.0

2.9

2.7

2.4

2.2

2.0

17

4.5

3.6

3.2

3.0

2.9

2.7

2.4

2.2

2.0

18

4.4

3.6

3.2

2.9

2.8

2.7

2.3

2.1

1.9

19

4.4

3.5

3.1

2.9

2.7

2.6

2.3

2.1

1.8

20

4.4

3.5

3.1

2.9

2.7

2.6

2.3

2.1

1.8

22

4.3

3.4

3.1

2.8

2.7

2.6

2.2

2.0

1.8

26

4.2

3.3

2.9

2.7

2.5

2.4

2.1

1.9

1.7

30

4.2

3.3

2.9

2.5

2.4

2.3

1.9

1.7

1.4

60

4.0

3.2

2.9

2.5

2.4

2.3

1.9

1.7

1.4

90

3.8

3.0

2.6

2.4

2.2

2.1

1.8

1.5

1.0

Пример. Получено теоретическое выражение Y=80X и для его подтверждения проведён эксперимент. В каждой из пяти серий (т=5) выполнено по семь измерений (п=7). Результаты эксперимента в таблице 2.2.2. По этим данным установить пригодность, т.е. адекватность теоретического решения.

Таблица 2.2.2

Значения, полученные в результате эксперимента

№ опыта

X,

Измеренные значения в серии

У1э

У2Э

Узэ

У4э

УбЭ

1

0,2

12

17

15

14

16

2

0,3

23

21

24

25

23

3

0.4

30

34

31

35

35

4

0,5

38

43

40

39

42

5

0.6

52

47

48

49

40

6

0,7

59

58

55

54

53

7

0.8

62

66

62

61

63

Ход работы:

Расчет целесообразно вести с использованием табличного процессора MicrosoftExcel.

1. Внесите значения эксперимента в ячейки таблицы.

И

А

В

С

0

1 Е

F

1

№ опыта

Xi

Измеренные значения в серии

2

У1Э

Ъ

Кь

3

1

0,2

12

17

15

14

16

4

2

0,3

23

21

24

25

23

5

3

0,4

30

34

31

35

35

6

4

0,5

38

43

40

39

42

7

5

0,6

52

47

48

49

40

8

б

0,7

59

58

55

54

53

9

7

0,8

62

бб

62

61

63

Рис. 2.2.1. Исходные данные результатов эксперимента, занесенные в таблицу

2.Вычислите среднее значение У (рис. 2.2.2) для каждого опыта с использованием функции =CP3HA4(C3:G3)

А

В

С

D

Е

F

G

Н

1

№ опыта

Xi

Измеренные значения в серии

^3

2

*1з

*2з

^3

*5з

3

1

0,2

12

17

15

14

16

14,8

4

2

0,3

23

21

24

25

23

23,2

5

3

0,4

30

34

31

35

35

33

6

4

0,5

38

43

40

39

42

40,4

7

5

0,6

52

47

48

49

40

47,2

8

б

0,7

59

58

55

54

53

55,8

9

7

0,8

62

65

62

61

53

62,8

Рис. 2.2.2. Вычисление среднего значения

3. Вычислите теоретическое значение функции YiT = ВОх^для каждого измерения (=80*ВЗ)

А

В

С

D

Е

F

G

н

1

1

№ опыта

Xi

Измеренные значения в серии

У

YtT

2

У2э

Уз»

у

у

3

1

0,2

12

17

15

14

16

14,8

16

4

2

0,3

23

21

24

25

23

23,2

24

5

3

0,4

30

34

31

35

35

33

32

6

4

0,5

33

43

40

39

42

40,4

40

7

5

0,6

52

47

43

49

40

47,2

48

8

б

0,7

59

58

55

54

53

55,8

56

9

7

0,8

62

бб

62

61

63

62,8

64

Рис. 2.2.3. Вычисление теоретического значения для каждого измерения

4. Вычислите разность между каждым теоретическим и средним экспериментальным значением (=13-Н3)

А

В

с

D

Е

F

н

1

J

1

№ опыта

Xi

Измеренные значения в серии

У:Т

Ут- У~ 1 iT 1 гз

2

У1Э

Узэ

У4э

у55

3

1

0,2

12

17

15

14

16

14,8

16

1,2

4

2

0,3

23

21

24

25

23

23,2

24

0,8

5

3

0,4

30

34

31

35

35

33

32

-1

б

4

0,5

38

43

40

39

42

40,4

40

-0,4

7

5

0,6

52

47

48

49

40

47,2

48

0,8

8

6

0,7

59

58

55

54

53

55,8

56

0,2

9

7

0,8

62

66

62

61

63

62,8

64

1,2

Рис. 2.2.4. Нахождение разности теоретического и экспериментального значений

5. Вычислите квадрат разности между теоретическим и экспериментальным значением (YiT — У1э)2 (=J3A2)

А

В

с

о

Е

F

н

1

J

К

1

№ опыта

Xi

Измеренные значения в серии

У.Э

YiT

YiT-Y^

(Xff-Yj2

2

У1э

^2э

У3э

У

у5.

3

1

0,2

12

17

15

14

16

14,8

16

1,2

1,44

4

2

0,3

23

21

24

25

23

23,2

24

0,8

0,64

5

3

0,4

30

34

31

35

35

33

32

-1

1

6

4

0,5

38

43

40

39

42

40,4

40

-0,4

0,16

7

5

0,6

52

47

48

49

40

47,2

48

0,8

0,64

8

6

0,7

59

58

55

54

53

55,8

56

0,2

0,04

9

7

0,8

62

66

62

61

63

62,8

64

1,2

1,44

10

Итого

5,36

Рис. 2.2.5. Нахождение квадрата разности между теоретическим и экспериментальным значениями

6. Вычислите среднюю дисперсию экспериментаДср по формуле (2.2.3) задействовав при этом каждое экспериментальное значение

А

=((13-( в

C3)A2+(I3-D3)A2+(I3-E3)A:

С | D | Е | F | G

2+(13-н

F3)A2

1

,+(I3-g: j

3)л2)/5 к

L

1

№ опыта

Xi

Измеренные значения в серии

Yn

YiT

Yir-K

(Xir-YJ2

Дер

2

^13

>2з

У'з,

3

1

0,2

12

17

15

14

16

14,8

16

1,2

1,44

4,4

4

2

0,3

23

21

24

25

23

23,2

24

0,8

0,64

2,4

5

3

0,4

30

34

31

35

35

33

32

-1

1

5,4

б

4

0,5

38

43

40

39

42

40,4

40

-0,4

0,16

3,6

7

5

0,6

52

47

48

49

40

47,2

48

0,8

0,64

16,4

8

б

0,7

59

58

55

54

53

55,8

56

0,2

0,04

5,4

9

7

0,8

62

66

62

61

63

62,8

64

1,2

1,44

4,4

10

5,36

6,00

Рис. 2.2.6. Нахождение средней дисперсии всего эксперимента

7. В ячейке В11 определите дисперсию адекватности, используя формулу (2.2) =К10/(7-1)

Да= 0,89

Здесь значение d=l, так как в теоретическом выражении один значащий член X.

8. В ячейке В13 вычислите опытный критерий Фишера по формуле (2.2.1) =В11/L10

Кфэ= 0,15

Значение Кфт принимается по таблице 2.2.1 (стр. 81) для доверительной вероятности 0,95 и числа степеней свободы q1 = п — d, q2 = п(т - 1).

б/i = 7 — 1 = 6 и q2 = 7(5 — 1) = 28, по таблице (2.2.1) Кфт=3,75.

Так какКфэ = 0,15 < Кфт = 3,75 то модель адекватна, т.е. полученная математическая модель с доверительной вероятностью 95% хорошо описывает изучаемый процесс.

Критерий Фишера обычно применяется для адекватности малых выборок.

9. Из полученных значений сформируйте таблицу (рис.2.2.7) и постройте график (рис.2.2.8)

Xi

К,

Уц

0,2

14,8

16

0,3

23,2

24

0,4

33,0

32

0,5

40,4

40

0,6

47,2

48

0,7

55,8

56

0,8

62,8

64

Рис. 2.2.7. Таблица значений для построения графика

Зависимость полученных теоретических и экспериментальных данных

Рис. 2.2.8. Зависимость полученных теоретических и экспериментальных данных

Контрольные вопросы и задания

  • 1. Определите среднюю дисперсию всего эксперимента используя данные из приложения Б (по заданию преподавателя).
  • 2. Определите дисперсию адекватности.
  • 3. Вычислите опытный и найдите по таблице критерии Фишера.
  • 4. Установите адекватность теоретического выражения.
  • 5. Постройте зависимость теоретических и экспериментальных данных.
  • 6. Оформите работу с использованием текстового процессора и дайте обоснование полученных данных в выводе.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >