ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Регрессионный анализ

Под регрессионным анализом понимают исследование закономерностей связи между явлениями (процессами), которые зависят от многих, иногда неизвестных, факторов. Часто между переменными х и у существует связь, но не вполне определенная, при которой одному значению х соответствует несколько значений (совокупность) у. В таких случаях связь называется регрессионной (корреляционной). Таким образом, функция у = /(х)является регрессионной, если каждому значению аргумента соответствует статистический ряд распределения у. Следовательно, регрессионные зависимости характеризуются вероятностными или схоластическими связями. Поэтому установление регрессионных (корреляционных) зависимостей между величинами у и х. возможно лишь тогда, когда выполнимы статистические измерения[9].

Статистические зависимости описываются математическими моделями процесса, то есть регрессионными выражениями, связывающими независимые значения х (факторы) с зависимой переменной у (результативный признак, функция цели, отклик). Модель по возможности должна быть простой и адекватной. Например, модуль упругости материала Е зависит от его плотности р так, что с возрастанием плотности модуль упругости материала увеличивается. Но выявить эту закономерность можно только при наличии большого количества измерений, так как при исследованиях каждой отдельной парной связи в зависимости Е = /(р)наблюдаются большие отклонения [3].

Суть регрессионного (корреляционного) анализа сводится к установлению уравнения регрессии, то есть вида кривой (прямой) между случайными величинами (аргумента х и функцией у), оценке тесноты связей между ними, достоверностей и адекватности результатов измерений [12].

Чтобы предварительно определить наличие такой связи между х и у, наносят точки на график и строят так называемое корреляционное поле (рис.2.1.1). По тесноте группирования точек вокруг прямой или кривой линии, по наклону линии можно визуально судить о наличии корреляционной связи.

Рис. 2.1.1.Корреляционное поле

Корреляционное поле характеризует вид связи между х и у. По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующего прямолинейную или криволинейную зависимости. Если на корреляционном поле усреднить точки, то есть, для каждого значения x_fопределить соединить точки у₁₅ то можно будет

получить ломаную линию, называемую экспериментальной регрессионной зависимостью (линией). Наличие ломаной линии объясняется погрешностью измерений, недостаточным количеством измерений, физической сущностью исследуемого явления и др.

Если на корреляционном поле провести плавную линию между^, которая равно удалена от них, то получается новая теоретическая регрессионная зависимость - линия АВ (рис. 2.1.1).

Различают однофакторные (парные) и многофакторные регрессионные зависимости. Парная регрессия при парной зависимости может быть аппроксимирована прямой линией, параболой, гиперболой, логарифмической, степенной или показательной функцией, полиномом и др. Двухфакторное поле можно аппроксимировать плоскостью, параболоидом второго порядка, гиперболоидом [12].

При построении теоретической регрессионной зависимости оптимальной является такая функция, в которой соблюдаются условия наименьших квадратов ?(у; — y_t)² = min,

где y_t - фактические ординаты поля;

y_t - среднее значение ординаты с абсциссой х.

Коэффициент корреляции - мера линейной статистической зависимости между факторами х и у, вычисляется по формуле Пирсона

Г _{= (2J1)}

N S у

где х,у-выборочные средние;

S_x, Sy - выборочные средние квадратические отклонения

(средняя изменчивость величин);

N - количество измерений.

Х = ^1Х_Ь (2.1.2)

У = ^=1У1 (2.1.3)

S_x = ^Z?=1(X₍-X)² (2.1.4)

s_y = - у)² (1-5)

Коэффициент корреляции (Пирсона)принимает значения в диапазоне [-1;+1]. При г=1 х и у связаны функциональной связью (в данном случае линейной), то есть каждому значению х соответствует только одно значение у, иначе можно отметить, что это соответствует полной прямой зависимости. Если г=0, то линейной связи не существует. Если г=-1, то полная обратная корреляция. При г=0 линейная корреляционная связь между х и у отсутствует, но может существовать нелинейная регрессия.

Положительные значения коэффициента (г>0) свидетельствуют о прямой линейной связи; чем ближе его значение к +1, тем сильнее связь. Обычно считают тесноту связи удовлетворительной при г>0,5; хорошей при г=0,8-0,85.

Для определения процента разброса (изменчивости) искомой функции у относительно её среднего значения, определяемого изменчивостью фактора х, вычисляют коэффициент детерминации

К_д = г² (2.1.6)

Для оценки надёжности полученных значений г вычисляют среднюю ошибку ^коэффициента корреляции (m_max<15).

1-г²

т = ±^=- ^(2л-⁷⁾

Считается, что значение г вполне надёжное, если

г > Зт (2.1.8)

Если выборочный коэффициент корреляции отличен от нуля, то можно построить линейную регрессию между хи у:

(2.1.9)

У_р = ах + Ь,

Коэффициенты аиЬ вычисляют по выражениям:

^{a = r}t’

b = у - ах

• (2.1.10)
• (2.1.11)

Пример. Имеется статистический ряд парных измерений. Необходимо определить уравнение прямолинейной регрессии, оценить тесноту связей и степень достоверности, построить корреляционное поле.

Таблица 2.1

Исходные данные

Ход работы

Расчет целесообразно вести с использованием табличного процессора Microsoft Excel.

• 1.Заполните столбцы А и В значениями таблицы 2.1 (рис.
• 2.1.2)

Рис. 2.1.2.Ввод значений парных измерений в табличный процессор MS Excel

2. Найдите оценки компонент х и у (рис. 2.1.3). Для нахождения х в ячейке А12 введите формулу -СРЗНАЧ(А2.А11) использованием маркера автозаполнения найдите значение в ячейке В12.

Рис. 2.1.3.Вычисление выборочных средних

3. Для нахождения среднего квадратического отклонения (формула 2.1.4, 2.1.5) от каждого значения вычтите выборочное среднее, затем суммируйте полученные значения и разделите на 9 (Ю-1).

Рис. 2.1.^Промежуточные вычисления среднего квадратического отклонения

4. Вычислите среднюю изменчивость величин S_x nS_y

Е2_________? (Ч______А =КОРЕНЬ(С13)

Рис. 2.1.5. Вычисление выборочного среднего квадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения.

5. Определите коэффициент корреляции согласно выражения 2.1.1.

Рис. 2.1.6.Нахождение коэффициента корреляции

6. Найдите коэффициент детерминации, ошибку коэффициента корреляции (уравнения 2.1.6, 2.1.7). На основании полученных данных определите надёжность коэффициента корреляции (уравнение 2.1.8).

Рис. 2.1.7.Вычисление коэффициента детерминации, ошибки и надёжности коэффициента корреляции

Коэффициент детерминации, найденный по формуле 2.1.6 составляет 0,80 то есть различия в значениях зависимой переменной у на 80% объясняются различиями в значениях независимой переменной х (и на 20% - факторами, не учтенными в уравнении регрессии).

7. Для построения уравнения регрессии необходимо вычислить а и b с использованием выражений 2.1.10, 2.1.11.

Рис. 2.1.8.Исходные данные и вычисление коэффициентов аи b

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид у_р = 3,20% + 5,42

8. Для построения графика сходимости экспериментальной прямой и расчётной (рис. 2.1.10) сформируйте таблицу (рис. 2.1.9)

Рис. 2.1.9. Таблица значений для построения графика экспериментальных и расчетных зависимостей

Рис. 2.1.10. Сходимость экспериментальных и теоретических данных

Контрольные вопросы и задания

• 1. Определите коэффициент корреляции используя данные из приложения А (по заданию преподавателя).
• 2. Определите коэффициент детерминации, оцените тесноту связей и степень достоверности.
• 3. Определите уравнение прямолинейной регрессии, постройте корреляционное поле.
• 4. Оформите работу с использованием текстового процессора и сделайте общий вывод.