Ошибки измерений

На результаты эксперимента оказывают влияние не только контролируемые факторы, но и неконтролируемые - возмущающие факторы: погрешность измерительных приборов, неточность настройки системы, влияние неучтенных внешних и внутренних факторов и т.д. Воздействие этих факторов приводит к тому, что измеренные в результате опыта величины по своему характеру являются случайными и содержат ошибку (погрешность).

Погрешность эксперимента - это разность между данными измерения и истинным значением контролируемой величины.

Ошибки (погрешности) разделяют на три вида:

  • 1) грубые или промахи,
  • 2) систематические,
  • 3) случайные.

Грубые ошибки - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.

Систематические ошибки - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами.

Случайные ошибки - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.

Случайные ошибки

При случайной ошибке результаты измерений (и ошибки) представляют собой случайные величины.

Источников случайных ошибок, причём одновременно действующих много. Исследователь обязан в каждом случае измерений разобраться в этих источниках, оценить и принять меры к предупреждению или учёту их влияния.

Основные источники следующие: прибор или измерительная цепь(из-за имеющихся зазоров, заеданий и износов в механизмах); свойства объекта (неустойчивость хода плуга по глубине) или изменчивость измеряемой величины (сопротивление плуга); внешняя среда, параметры которой изменяются и оказывают влияние на измеряемую величину (неровности микрорельефа, изменчивость обрабатываемого материала); методика измерения, определяющая выбор приборов, преобразование информации (дискретные измерения непрерывной величины, округление результата, соблюдение инструкций по использованию приборов и оборудования); оператор (человек), который следит за показаниями приборов, реагирует на сигналы.

В исследованиях главной причиной случайной ошибки и разброса результатов многократных измерений чаще оказывается изменчивость измеряемой величины. Глубина пахоты при определении средней глубины обработки измеряется в п точках и значениях Х[И ЛХ[представляют собой случайные величины [8].

Случайные ошибки измерения характеризуется определённым законом их распределения. Существование такого закона можно обнаружить, повторяя много раз в неизменных условиях измерения некоторой величины и подсчитывая число т тех результатов изме рения, которые попадают в любой выделенный (отмеченный) интервал: отношение этого числа к общему числу п произведенных измерений (относительная частота попадания в отмеченный интервал) при достаточно большом числе измерений оказывается близким к постоянному числу (разумеется, своему для каждого интервала). Это обстоятельство позволяет применить к изучению случайных ошибок измерения методы теории вероятностей. В теоретико-вероятностной модели случайные ошибки х= b — а (а значит, и сами результаты измерения b = а + х) рассматриваются как случайные величины, которые могут принимать любые действительные значения причем каждому интервалу (хх2) соответствует вполне определенное число, называемое вероятностью попадания случайной величины х в этот интервал и обозначаемое через Р (хх < х < х2) или Р (хЕ (х,х2)). Эта вероятность выступает как идеализированная относительная частота попадания в интервал (хх2), т- е- на практике именно к этой вероятности близки упомянутые выше относительные частоты:

« Р(хх < х < х2). (1.1)

Закон распределения вероятностей случайной величины хза-писывается с помощью интеграла

Р(хг<х< х2) = Г2 Р(х) dx, (1.2)

где Р(х) - некоторая неотрицательная функция, нормированная условием

L" P(x)dx;

эта функция полностью определяет соответствующий закон распределения вероятностей и называется плотностью распределения.

В качестве закона распределения случайных ошибок измерения чаще всего принимается нормальный закон распределения (закон Гаусса). Сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и, например, одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах её закон распределения.

Плотность нормального распределения равна

<L3>

где о - параметр, характеризующий точность измерений, а > 0.

График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения.

Кривые нормального распределения

Рис. 1.1. Кривые нормального распределения

На рисунке 1.1 показаны кривые нормального распределения, при различных значениях а; из этого рисунка видно, что при уменьшении параметра а кривая нормального распределения сжимается вдоль оси Ох и вытягивается вдоль оси Р(х); и, следовательно, чем меньше сг, тем быстрее убывает плотность распределения Р(%) с возрастанием |х|.

Вероятность попадания в интервал (xltx2) графически изображается площадью соответствующей криволинейной трапеции под кривой распределения вероятностей. В частности, вероятность попадания в симметричный интервал (—х11)(х1 > 0), изображается площадью фигуры (рис. 1.2)

Вероятность попадания в интервал

Рис. 1.2. Вероятность попадания в интервал

Отсюда также видно, что чем меньше а, тем меньше разброс ошибок около нуля.

Вероятность попадания случайной ошибки в симметричный интервал (—хх, хг) при нормальном распределении вычисляется по формуле

Р(-*1 < х < Х1) = Р« м < х2) = 2фф, (1.4) где

Ф(х) = ^= ' f*e~dx = ±P(x <ха)(х >0) (1.5)

Функция Ф(х) называется интегралом вероятностей, её значения приведены в приложении Г. В этой таблице значения Ф(х) приведены лишь для положительных значений аргумента; для отрицательных значений аргумента функция Ф(х) продолжается нечётным образом:

Ф(—х) = —Ф(х)

Вероятность попадания случайной ошибки в любой интервал (х12) в случае нормального распределения вычисляется по формуле

Р(хг < X < Х2) = Ф (~) “ Ф (“)• (1-6)

Вероятность того, что случайная ошибка выйдет за границы

±ха(х > 0), равна

Р(|х| > ха) = 1 — 2Ф(х). (1.7)

При больших значениях х вероятность (7) очень мала. Например,

Р(|х| > 4а) = 1 - 2Ф(4) = 6 ? 10-5,Р(|х| > 5а) =

= 1 — 2Ф(5) = 6 ? 10-7.

Уже вероятность за пределы За = 0,0027, настолько мала, что её считают практически невозможной (правила трёх сигм). Другими словами, принимается, что случайные ошибки измерений ограничены по абсолютной величине значением За.

Если случайные ошибки имеют нормальный закон распределения, то распределение результатов измерения b = а 4- х имеет плотность

1 -(Ь-а)2

о-8)

которая только на величину а отличается от плотности (3) (рис.1.1). Этот закон распределения называется общим нормальным законом с центром а (рис. 1.3).

Общий закон нормального распределения с центом а

Рис. 1.3. Общий закон нормального распределения с центом а

Для случайных ошибок всегда предполагается, что центр их распределения равен нулю.

Часто происходит, что при проведении опытов проверяется гипотеза о равенстве центров нормальных распределений (что вместе с принятыми предположениями означает теперь полное совпадение законов распределения). Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой.

Значения, находящиеся вне зоны доверительного интервала при определении нулевой гипотезы называются критическими.

Контрольные вопросы и задания

  • 1. В чём заключаются основные проблемы механизации сельскохозяйственного производства?
  • 2. Назовите общепринятый критерий эффективности.
  • 3. Назовите основные ошибки (промахи) и в чём они заключаются?
  • 4. Каковы основные источники случайных ошибок?
  • 5. Как изменяется кривая нормального распределения при уменьшении параметра о?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >