Многоканальная СМО с отказами.

В подавляющем большинстве случаев на практике система массового обслуживания является многоканальной, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания п > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока X, при этом параллельно может обслуживаться не более п клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/ц. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно п клиентов.

Стационарное решение системы имеет вид

, . л

> к' -Р

_ _п, к = 0,1,..., п ;

к ⁰

^{к п} о^к

Ъ— _к=_Ок

где Г_о

л р=-р

U=o^'J

Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

вероятность отказа

> = Р = — • Р

отк п , 0 ’

п

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Величина Р_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы), дополняет Р_отк до единицы:

_п = 1 _ р - 1 _ . р ?

Ч ^{1 г}отк ¹ , ^г0’

п!

абсолютная пропускная способность

А =Л-<7 = Л-(1 -Р_отк, _

среднее число каналов, занятых обслуживанием (к ), следующее:

k = tk-K

А=1

Величина к характеризует степень загрузки СМО.

ПРИМЕР 6.2.4. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность X = 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания t₀6 = 1,8ч.

Требуется вычислить значения:

• - вероятности числа занятых каналов ВЦ;
• - вероятности отказа в обслуживании заявки;
• - относительной пропускной способности ВЦ;
• - абсолютной пропускной способности ВЦ;
• - среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

РЕШЕНИЕ. Определим параметр ц потока обслуживание

// = — = — =0,555.

t_o6 1>8

Приведенная интенсивность потока заявок

р = Я/ // = 1/0,555 =1,8.

Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

Р, = ^Р„=1,8Р₀;

Pi =^-Р₀ =1.62Р₀;

Р₃ =^-^ро =0.97 Р_о;

⁰ *р^к 1+1,8 + 1,62+0,97 ’ ’

Ъ)к

Р_х —1,8-0,186 «0,334;

Р₂ «1,62 0,186 «0,301;

Р₃ «0,97 0,186 «0,180.

Вероятность отказа в обслуживании заявки Р_отк = Р₃ =0,180 .

Относительная пропускная способность ВЦ:

<7 =1-P_ =1-0,180 = 0,820.

Абсолютная пропускная способность ВЦ: А = Я-д =1-0,820 =0,820 .

Среднее число занятых каналов — ПЭВМ:

* = p(l-P_o„J = l,8(l-0,180) = l,476.

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18 % случаев (Рз = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных X и ц можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т. е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу

вероятности отказа: Р_отк = — • Р_о.

п

Составим следующую табл. 6.2.1.

Таблица 6.2.1

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях X и р, до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22 %, так как при п = 6 вероятность отказа в обслуживании (Р_Отк) составляет 0,0078.