Одноканальная СМО с отказами.

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

/₁(0 = Л-_е-^л',

где X — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).

Плотность распределения длительностей обслуживания где )Л = 1/ — интенсивность обслуживания, Г_об — среднее время обслужива-/ ¹ об

ния одного клиента.

Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Относительная пропускная способность равна доле обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле q = ———. Эта Л + /и.

величина равна вероятности Pq того, что канал обслуживания свободен.

Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок,

которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

A = A-q =

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности

состояния «канал обслуживания занят»:

Р =1--—

отк *

Л,-/Л

Данная величина Р_отк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

ПРИМЕР 6.2.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей А, = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — to6 = 1,8 часа.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

• - относительной пропускной способности q
• - абсолютной пропускной способности И;
• - вероятности отказа Р_отк.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность потока обслуживания:

// = — = —=0,555.

Вычислим относительную пропускную способность:

Р 0,555

q =— =-------= 0,356 .

2 + // 1+0,555

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35 % прибывающих на пост автомобилей.

Абсолютную пропускную способность определим по формуле

А = 1 • q = 1 • 0,356 = 0,356.

Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

Вероятность отказа: Р_Отк= 1-^= 1- 0,356 = 0,644.

Это означает, что около 65 % прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы:

А,_юл, = —= 0,555 (автомобилей в час). Чб !’⁸

~ л °’555 1

Оказывается, что А„_ол, в «1,5 раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.