Случайный процесс с дискретным состоянием.
В моделировании вероятностных (стохастических) экономических систем очень часто используют марковский СП. Рассмотрим СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Тогда все его состояния можно перечислить: 51,5г, 5„.
Описать все возможные переходы между состояниями можно с помощью графа состояний.
Граф состояний представляет собой графическое изображение, состоящее из прямоугольников, называемых вершинами графа, и каждой вершине соответствует некоторое состояние СП 5(. Вершины-состояния могут быть соединены между собой стрелками, которые называются ребрами графа. Стрелка соединяет две вершины, если возможен непосредственный переход между данными состояниями.
Например, магазин может пребывать в следующих состояниях:
- 51 — имеются клиенты, которые обслуживаются;
- 5г — клиентов нет;
- 5з — осуществляется прием товара;
- 5д — учет товара, который происходит иногда после его приема.
Тогда работу магазина можно описать графом состояний (рис. 6.1.2).
Рис. 6.1.2
Для расчета основных характеристик системы необходимо знать вероятностные показатели при переходе между состояниями.
Рассмотрим два состояния S, и Sj. Интенсивностью переходного потока Ху называется среднее число переходов из состояния S, в состояние Sj за единицу времени, которое система проводит в состояние S,. Если известно среднее время Т/J, которое система проводит в 5, до того, как перейдет в Sj, то можно записать = 1 / ТА.
Интенсивности переходных потоков Ху указываются на графе состояний рядом с соответствующими стрелками. Главная задача в таких моделях состоит в определении вероятностей состояний , которые имеют смысл средней доли времени, которое система проводит в этом состоянии.
Для нахождения вероятностей состояний составляется система уравнений:
- 0 = 1,2,..., „). (6.1.5)
- 1=1 1=1
Данную систему можно составлять по следующим правилам:
- 1. Число уравнений в системе равно числу состояний.
- 2. Каждое состояние Sj соответствует уравнению с номером j.
- 3. В левой части каждого уравнения находится сумма интенсивностей Ху (стоят над стрелками) для всех стрелок, входящих в состояние Sj, умноженных на вероятности состояний, из которых выходят стрелки.
- 4. В правой части уравнений находится сумма интенсивностей, выходящих из Sj стрелок, эта сумма умножается на вероятность Pj.
Однако система уравнений (6.1.5) является вырожденной, и для нахождения единственного решения в этой системе одно любое уравнение нужно заменить на условие нормировки:
Р{ + Р2+... + Р„ =1.
ПРИМЕР 6.1.2. Автоматизированная сборочная линия предприятия в среднем 1 раз в месяц выходит из строя и ремонтируется в среднем 3 дня. Кроме того, в среднем 2 раза в месяц она проходит техническое обслуживание, которое длится в среднем 1 день. В среднем в одном случае из трех при техническом обслуживании обнаруживается неполадка и линия ремонтируется. Определить, какую среднюю прибыль приносит линия за месяц, если за один день безотказной работы прибыль равна 15 тыс. р. Один день технической обработки обходится в 20 тыс. р., а один день ремонта — 30 тыс. р.
РЕШЕНИЕ. Найдем вероятности состояний, равные долям времени работы, ремонта и технического обслуживания. Пусть:
Si — линия работает,
St— техническое обслуживание,
S3 — ремонт.
Граф состояний приведен на рис. 6.1.3.
Рис. 6.1.3
Составляем систему уравнений (6.1.5). В состояние Si входят 2 стрелки: из S? с интенсивностью 20 и из S3 с интенсивностью 10, поэтому левая часть первого уравнения имеет вид: 20Р2 + 10Р3. Из состояния Si выходят две стрелки с интенсивностями 2 и 1, поэтому правая часть первого уравнения системы примет вид: (2 +1) • Рх. Аналогично на основании состояний S2 и S3 составляем второе и третье уравнения. В результате система будет иметь вид
2 О Л + 10Р3 = (2 + 1)«Р1;
<2Р} =(20 + 10)Р2;
Рх +10Р2 =ЮР3.
Однако данная система является вырожденной, и для ее решения нужно заменить одно любое (например, первое) уравнение условием нормировки: Р, + Р2 + Ръ = 1. В результате получаем систему
2Р, =30 Р2;
Р{ + 10Р2 = 10Р3;
Р, + Р2 + Р3 =1‘
Выражаем из />,=15Р2; Р3=|р2,
Л =—. Р2 = — • 1 37 2 37 з
1-го и 2-го уравнений Р и Р3 через Рг’. и, подставляя результат в 3-е уравнение, находим
= . Умножаем вероятности на 30 дней месяца и находим, что в среднем в месяц линия работает 24,3 дня, техническое обслуживание — 1,6 дней, ремонт — 4,1 дня. Отсюда следует, что средняя прибыль будет 24,3 15-1,6-20-4,1-30=209,5 тыс. р.
ПРИМЕР 6.1.3. В туристическом агентстве работают продавец и менеджер. В среднем в агентство приходят 2 клиента за час. Если продавец свободен, он обслуживает клиента, если он занят, то клиента обслуживает менеджер, если оба заняты — клиент уходит. Среднее время обслуживания продавцом 20 минут, менеджером — 30 минут. Каждый клиент приносит среднюю прибыль 100 рублей.
Определить среднюю прибыль агентства за 1 час и среднее число упущенных клиентов за час.
РЕШЕНИЕ. Определяем состояния системы:
- 51 — продавец и менеджер свободны,
- 5г — продавец занят, менеджер свободен,
- 5з — продавец свободен, менеджер занят,
- 5д — оба заняты.
Строим граф состояний (рис. 6.1.4).
Рис. 6.1.4
Составляем систему уравнений, заменяя 4-е уравнение условием нормировки:
- 2Р3 + ЗР2 = 2Р{;
- 2Р{ + 2Р4=5Р2;
ЗР4=4Р3-,
Р, + Р2 + Р3 + Р4 = 1.
Решая систему уравнений, находим
Р, =0,49; Р2 =0,25; Р3 =0,11; Р4=0,15.
Следовательно, продавец занимается обслуживанием Рг + Р4 = 0,25 +0,15 = 0,4, то есть 40 % времени. Если бы он обслуживал 100 % времени, то за час обслужил бы 3-х клиентов, а реально - 3-0,4 = 1,2 - и приносит прибыль за 1 час 120 рублей. Менеджер работает Рз + Рд = 0,11 + 0,15 = 0,26, т. е. 26 % времени и поэтому за час обслужит 2-0,26=0,52 клиента и приносит прибыль 52 рубля в час. Средняя прибыль за 1 час составит 172 рубля. Клиенты теряются в состоянии S4. Так как Рд = 0,15, то в час теряется 15 % клиентов из 2-х возможных или 0,3 клиента. Убытки составляют 30 рублей в час из-за потерянных клиентов.
