Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов.

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем формулу S = Р( + i )^п для наращения по сложной ставке с начислением процентов один раз в год и перепишем ее относительно Р:

Р = S/( + i )" = S-vⁿ, (5.2.7)

v" = 1/(1 + i)ⁿ. (5.2.8)

ПРИМЕР 5.2.6. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить его современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов в 14 % годовых.

Известно: и = 5 лет, 5=1 000 000 руб., i = 0,14 или 14 % . Найти Р.

РЕШЕНИЕ

1- й вариант. Вычисления по формуле (4.17):

Р = 5/(1 + i )" =1 ООО 000/(1+0,14)⁵ = 519 368,66 руб.

2- й вариант. Для выполнения расчетов в Excel (рис. 5.2.11) по формулам воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ.

Рис. 5.2.11

В ячейку НЗ введена формула «=ВЗ/СТЕПЕНЬ(1+В4;В2)».

• 3-й вариант. Для выполнения расчетов по встроенным в Excel (рис.
• 5.2.12) функциям воспользуемся финансовой функцией ПС. Данная функция возвращает приведенную стоимость инвестиции при условии периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставки.

НЗ__- & =ПС(В4; В2 О -ВЗ; 1)

Рис. 5.2.12

В ячейку НЗ введена формула «=ПС(В4; В2; 0; -ВЗ; 1)».

Синтаксис функции ПС(ставка; кпер; плт; бс; тип). Аргументы функции: ставка — значение процентной ставки за один период;

кпер — количество периодов начисления;

плт — величина платежа (можно опускать, когда аргумент принимает нулевое значение);

бс — необязательный аргумент, задает будущую стоимость или остаток средств после последней выплаты;

тип — необязательный аргумент (принимает значения 0, когда выплаты производятся в конце периода, 1— в начале периода).

При начислении процентов т раз в году используется формула

P = S/(+j/m)^n,n = S-v^nm . (5.2.9)

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.

Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - Р называется дисконтом.

Банковский учет.

В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

Р = 5(1- с1_сл )", (5.2.10)

где d_cli — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае будет равен

D = S - Р = S - d_c„)ⁿ = 5[1- (1 - t/_c.,)"]. (5.2.11)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

ПРИМЕР 5.2.7. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке в 10 % годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель и дисконт, который получит банк по истечении срока векселя.

Известно: п = 5 лет, 5=1 000 000 руб., i = 0,14 или 14 % .

Найти Р, D.

РЕШЕНИЕ

1- й вариант. Вычисления по формулам (4.20) и (4.21):

Р = 5( 1- (1_СЛ)" = 1 000 000 • (1 - 0,10)⁵= 590 490,00 р.

Расчет дисконта, который получит банк, произведем по формуле (4.21): D = S - Р = 1 000 000 - 590 490 = 409 510 р.

2- й вариант. Расчеты в Excel по формулам (5.2.10) и (5.2.11) с использованием математической функции СТЕПЕНЬ (рис. 5.2.13).

НЗ “ & =ВЗ*СТЕПЕНЬ(ГВ4;В2)

Рис. 5.2.13

В ячейку НЗ введена формула «=ВЗ*СТЕПЕНЬ(1-В4; В2)».