Наращение по простым процентам.

Наращенная сумма ссуды (долга, депозита, др. видов средств) — первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Введем обозначения:

Р — первоначальная сумма денег, ден. ед.,

/ — ставка простых процентов, % или доли. В расчетных формулах обычно используются доли.

С учетом введенных обозначений проценты, начисленные за один период, будут равны Р i, а за п периодов соответственно Р п i, тогда можно записать:

I = Pni, (5.1.1)

Изменение суммы долга в течение п периодов с начисленными простыми процентами описывается формулой

S = P(l+ni), (5.1.2)

которую называют формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Наращенную сумму S можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Р и суммы процентов /:

S = P + I. (5.1.3)

ПРИМЕР 5.1.1. Ссуда в размере 100 000 р. выдана на срок 1,5 года при ставке простых процентов равной 15 % годовых. Определить проценты и сумму накопленного долга при единовременном погашении ссуды по истечении срока.

Известны: Р = 100 000 р., п = 1,5 года, i = 0,15 или 15 % .

Найти /, S.

РЕШЕНИЕ

1- й вариант. Для расчета процентов воспользуемся формулой (5.1.1): I = р п i = 100 000 1,5 0,15 = 22 500 р. — проценты за пользование ссудой в течение 1,5 лет.

По формуле (4.2) находим сумму накопленного долга:

S = Р (1 + ni )= 100 000(1+1,5 • 0,15)= 122 500 р.

Другой способ расчета наращенной суммы, — по формуле (5.1.3):

• S = Р + 1 = 100 000 + 22 500 =122 500 р. — сумма накопленного долга по истечении 1,5 лет.
• 2- й вариант. Расчетные формулы и результаты вычисления в среде Есе! представлены на рис. 5.1.1.

а)

Рис. 5.1.1

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год. При продолжительности ссуды менее года, когда необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору, срок ссуды п выражается в виде дроби:

n = t/K, (5.1.4)

где п — срок ссуды (измеренный в долях года); К — число дней в году (временная база); t — срок операции (срок пользования ссудой) в днях.

В зависимости от того, какое количество дней в году берется за базу, различают два вида процентов:

• - обыкновенный процент (коммерческий), когда в году принимается 360 дней, т. е. 12 месяцев по 30 дней;
• - точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

В зависимости от числа дней пользования ссудой различают два способа начисления процентов:

• - точный способ — вычисляется фактическое число дней между двумя датами;
• - приближенный способ — продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, когда все месяцы содержат по 30 дней.

Следует помнить, что в обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.

С учетом этого на практике могут применяться три варианта расчета процентов:

• а) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика);
• б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика);
• в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика).

ПРИМЕР 5.1.2. Ссуда размером 100 000 руб. выдана на срок с 21 января 2011 г. до 3 марта 2011 г. при ставке простых процентов, равной 15 % годовых. Найти:

• 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
• 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
• 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Известны: Р - 100 000 руб., Тнач =21 января 2011 года, Ткон = 03 марта 2011 года, i = 0,15 или 15 %. Найти 1_}, 1₂, 13-

РЕШЕНИЕ

1-й вариант. Для вычисления процентов воспользуемся формулой (5.1.1) с учетом формулы (5.1.4):

I = Pni = P(t/K)i.

Предварительно по табл. 1 (прил. 1) либо по календарю рассчитаем точное число дней между двумя датами: t = 62 - 21 =41 день, тогда получим

• 1) К= 365, t = 41, h = 100 000 • (41 / 365) • 0,15 = 1 684,93 руб.;
• 2) К= 360, t = 41, 1₂ = 100 000 • (41 / 360) • 0,15 = 1 708,33 руб.

Приближенное число дней составит 42 дня (январь 9 дней + февраль 30 дней + март 3 дня), тогда начисленные проценты будут равны

3) К= 360, t = 42, 1з = 100 000 • (42 / 360) • 0,15 = 1 750,00 руб.

Следует обратить внимание на то, что для каждого случая получили свой результат.

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся функцией ДОЛЯГОДА (находится в категории Дата и время). Данная функция возвращает долю года, которую составляет количество дней между двумя датами (начальной и конечной).

Если функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ?, то необходимо подключить надстройку «Пакет анализа» (для Excel 97—2003: меню Сервис => команда Надстройки => Пакет анализа => выбор подтвердить нажатием кнопки ОК; для Excel 2007, 2010: меню Главная (правая клавиша мышки) => Настройка панели быстрого доступа...=>Параметры Excel => Надстройки => Перейти => Пакет анализа).

Синтаксис функции ДОЛЯГОДА(нач_дата; кон_дата; базис) и ее аргументы:

нач_дата — начальная дата,

кон_дата — конечная дата,

базис — используемый способ вычисления дня. Возможные значения базиса при различных способах вычисления приведены в табл. 5.1.1.

Таблица 5.1.1

Значения базиса для функции ДОЛЯГОДА

Если базис < 0 или базис > 4, то функция ДОЛЯГОДА возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Результаты вычисления по формулам в среде Excel (расчетные формулы) приведены на рис. 5.1.2.

Рис. 5.1.2

Числовой формат ячеек В4 и В5 задается с учетом выбора одного из возможных типов представления дат, приведенных в диалоговом окне Формат ячеек, на рис. 5.1.3.

Рис. 5.1.3

В кредитных соглашениях могут предусматриваться процентные ставки, дискретно изменяющиеся во времени. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

• 5 = Р-(] + mi /+ М2 1’2 + .. • ) = P-(l+ Yⁿt it),
• (5.1.5)

где Р — первоначальная сумма (ссуда), i_t — ставка простых процентов в периоде с номером V, щ — продолжительность периода начисления t по ставке i_t.

ПРИМЕР 5.1.3. В договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 16 % годовых, причем в каждом последующем квартале она на 1 % меньше, чем в предыдущем. Определить множитель наращения за весь срок договора.

Известны: nj = 0,25; ii = 0,16 ; n₂ = 0,25; 6 = 0,15 ;

n₃ = 0,25; 6 = 0,14; n₄ = 0,25; 6=0,13.

Найти (1+Yn_tit )

РЕШЕНИЕ

• 1- й вариант. Вычисление множителя наращения производим по формуле (5.1.5):
  • (7+Е«г6) = 1+0,25-0,16+0,25-0,15+0,25-0,14+0,25-0,13=1,145.
• 2- й вариант. Вычисления в Excel, выполненные по формуле (4.5) с использованием математической функции СУММПРОИЗВ, приведены на рис.5.1.4.

Рис. 5.1.4

В ячейку Н5 введена формула «=1+СУММПРОИЗВ(ВЗ:В6;ВЗ:В6) »

В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р.

Расчет Р по 5 называется дисконтированием суммы 5. Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S.

Дисконт (скидка) D — проценты, полученные в виде разности

D = S-P. (5.1.6)

В финансовых вычислениях используют два вида дисконтирования:

• - математическое дисконтирование;
• - банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче рассчитывается наращенная сумма S=P(I +ni), то в обратной — находится:

P = S/(l+ni). (5.1.7)

Здесь дробь в правой части равенства при величине 5 называется дисконтным множителем. Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.

ПРИМЕР 5.1.4. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 р. Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обыкновенные). Рассчитать первоначальную сумму и дисконт.

Известно: 5=1 000 000 р., п = t/K = 90/360 , i = 0,20 или 20 %.

Найти Р.

РЕШЕНИЕ

• 1- й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. Последовательно воспользуемся формулами (5.1.7) и
• (5.1.6) :

P=S/(1 + ni)= 000 000 / (1+0,20-90/360) = 952 380,95 р., D=S - Р = 1 000 000 - 952 380,95 =47 619,05 р.

• 2- й вариант. Вычисления в Excel (рис. 5.1.5) выполнены по формулам
• (5.1.6) и (5.1.7).

Рис. 5.1.5

Банковский или коммерческий учет (учет векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т. е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которая обозначается символом d. По определению, простая годовая учетная ставка находится по формуле

• (5.1.8)
• 5 п

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd,

(5.1.9) тогда векселедержатель получит сумму, равную

Р = S - D = S - Snd = S(1 - nd) = S(1 - (t/K) d ) . (5.1.10)

Множитель (1 - nd) называется дисконтным множителем. Срок п измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

ПРИМЕР 5.1.5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1 000 000 рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20 % годовых (год равен 360 дням). Определить дисконт D и полученную предприятием сумму Р.

Известно: 5 = 1 000 000 руб., п = 90 дней , d = 0,20 или 20 % .

Найти D, Р.

РЕШЕНИЕ

1- й вариант. Для вычисления дисконта воспользуемся формулой (5.1.9)

D = Snd = 1 000 000 (90/360) • 0,2 = 50 000 руб.

По формуле (5.1.10) рассчитаем сумму, которую предприятие получит в результате учета векселя:

р = 5 - D= 1 000 000 - 50 000 = 950 000 руб.

2- й вариант. Вычисления в Excel выполнены по формулам (5.1.9) и (5.1.10) (рис. 5.1.6).