Временные ряды

Временной ряд — совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Примеры временных рядов: динамика курса валюты за некоторый период, ежемесячная прибыль предприятия за год, статистика по ежедневным продажам какого-либо товара за месяц и т. д.

Моделирование временного ряда.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

• 1) факторы, формирующие тенденцию ряда (например, инфляция влияет на увеличение размера средней заработной платы);
• 2) факторы, формирующие циклические колебания ряда (например, уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним);
• 3) случайные факторы.

Очевидно, что реальные данные чаще всего содержат все три компоненты. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Если же временной ряд представлен как их произведение, то такая модель называется мультипликативной.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно эту зависимость можно представить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутого на несколько шагов во времени. Этот показатель называется коэффициентом автокорреляции r_k. Число периодов к, по которым происходит смещение временного ряда для вычисления коэффициента автокорреляции, называется лагом. Функция, характеризующая зависимость коэффициента автокорреляции от лага г_к = г(к), называется автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограммой. Коррелограмма позволяет исследовать структуру временного ряда, выявить наличие его компонент. Методы построения коррелограммы и аддитивной модели временного ряда рассмотрим на примере.

ПРИМЕР 3.6.1. Имеются данные об объемах потребления газированных напитков (тыс. тонн) в развивающемся городе за восемь сезонов. Сезоном будет являться один год, то есть 4 квартала. Всего кварталов 32 (табл. 3.6.1).

Таблица 3.6.1

Построить модель временного ряда. Главный итог при построении временных рядов — это возможность делать прогноз на будущее на основании поведения показателя в прошлом.

РЕШЕНИЕ. Выявление структуры ряда. Построим график зависимости цены на жилье от квартала. Для этого вводим в А1 подпись «Квартал», в ячейки А2 и АЗ числа «1» и «2», затем обводим мышкой А2 и АЗ, выделяя их, и, зацепив мышкой за маркер автозаполнения, опускаем его до АЗЗ. В В1 вводим подпись «Цена», а в столбец В2-ВЗЗ вводим значения строки «Цена» из табл. 3.6.1. Переходим на «Лист 2», нажимаем на кнопку I I «Мастер диаграмм» и выбираем категорию «График» и тип «График с маркерами...», второй сверху левый. Нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» обводим на листе 1 ячейки «В2-ВЗЗ», переходим на закладку «Ряд», обводим в поле «Подписи оси X» ячейки листа 1 «А2-АЗЗ». Нажимаем «Готово» (рис. 3.6.1).

Квартал

Рис. 3.6.1

Видно, что график имеет явно выраженную линейную трендовую составляющую и циклическую компоненту. Однако для более полного анализа ряда построим коррелограмму. Для этого в А1 (Лист 2) вводим подпись «Лаг», а в А2 и в АЗ вводим «1» и «2». Обводим, выделяя, А2-АЗ, и автозаполнением переводим данные на А2-А9. Результат — последовательность чисел от 1 до 8. Далее ставим курсор в В1, вводим «Корреляция», переносим курсор в В2, вы зываем формулу ПИРСОН (вычисляет парный коэффициент корреляции, категория «Статистические»). Аргументом «Массив 1» будет служить ссылка на данные «Цена», кроме последнего значения (ссылка на В2-В32, лист 1). Аргумент «Массив 2» — эти же данные, но без первого аргумента (ссылка на ВЗ-ВЗЗ). Далее аналогично находим коэффициенты автокорреляции, но со сдвижкой (лагом) на 2, 3,..., 8 значений. Заполняем ячейки ВЗ-В9 в соответствии с табл. 3.6.2.

Таблица 3.6.2

Далее обводим ячейки В2-В9 мышью и вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «График» верхний левый график, нажимаем «Готово».

Получили коррелограмму (рис. 3.6.2). Знание автокорреляционной функции г(Л) может оказать помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценки его параметров.

По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, например параболу второго порядка или экспоненту, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка исследуемый ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в к моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Если при анализе временного ряда установлено, что ряд содержит сезонные или циклические колебания, то при моделировании сезонных колебаний применяют простейший подход — рассчитывают значения сезонной компоненты методом скользящей средней и строят аддитивную или мультипликативную модель временного ряда.

Видно, что график (рис. 3.6.2) имеет всплески при четвертом и восьмом лаге (коэффициент автокорреляции близок к единице), что говорит о наличии циклической составляющей с периодом 4. Проведем теперь моделирование временного ряда, выделив в нем тренд, циклическую и случайные компоненты: Y = Т + 5 + Е.

Процесс построения модели включает в себя следующие пункты:

• • выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
• • расчет значений сезонной компоненты 5;
• • устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т + S);
• • аналитическое выравнивание уровней (Т + S) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;
• • расчет полученных по модели значений (Т + S);
• • расчет абсолютных или относительных ошибок.