Анализ задачи определения оптимального ассортимента с помощью теории двойственности

Теория двойственности — раздел линейного программирования, изучающий методы влияния коэффициентов целевой функции и ограничений на решение. Они позволяют более глубоко анализировать задачи линейного программирования различных видов. Суть теории двойственности можно найти в любом учебнике по линейному программированию, а здесь рассмотрим один из наиболее важных примеров — анализ задачи определения оптимального ассортимента выпускаемой продукции на предприятии.

ПРИМЕР 2.2.1. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, затрачивая на это три вида ресурсов: Труд, Сырье и Оборудование. Прочие условия приведены в табл. 2.2.1.

Составить прямую и двойственную задачу, провести анализ решения.

Таблица 2.2.1

РЕШЕНИЕ. Пусть х, — количество продукции А, х₂ — количество продукции В. Математическая модель прямой ЗЛП имеет вид

• 40-Tj + 60х₂ —>птах;
• 2Х] +4х₂ < 2000 ;

« 4xj +х₂ < 1400 ;

2Х] +х₂ < 800 ;

х, >0; х₂ >0.

После решения задачи (решите ее самостоятельно на ЭВМ) получаем оптимальные значения переменных xf =200, х₂ =400, целевая функция при этом равна 32000. Таким образом, рационально выпускать 200 единиц продукции А и 400 единиц продукции В, при этом суммарная прибыль составит 32000.

Составляем двойственную задачу. Введем переменные у_р у₂, у₃, которые назовем двойственными оценками ресурсов Труд, Сырье и Оборудование соответственно. Они имеют смысл предельных стоимостей единицы каждого вида сырья в случае, если предприятие решит реализовать его вместо готовой продукции. Тогда математическая модель двойственной задачи есть

• 2000у, + 1400у₂ + 8ООу₃ min;
• 2у₁+4у₂ + 2у₃>40;
• 4У1 + у₂ + Уз > 60;

У1,2,з °Решив ЗЛП на ЭВМ (проделать это самостоятельно, перейдя на новый лист электронной таблицы Excel), получаем результаты: У| = 4%; у, =0; у'₃ = “%• Целевая функция, как и должно быть, совпадает с оптимальным значением прямой ЗЛП и составляет 32000. Оптимальные значения переменных также позволяют определить оценки ценности ресурсов. Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане, имеет положительную ценность (оптимальное значение соответствующей переменной положительное). Недефицитный ресурс имеет нулевую ценность, в нашем примере это Сырье, т. к. у2 = 0. В результате производства недефицитные ресурсы остаются, а дефицитные вырабатываются полностью. Среди дефицитных ресурсов более ценным является тот, у которого двойственная оценка выше. В нашем примере Труд дефицитнее, чем Оборудование, т. к. 40^ > 20,/ Двойственные оценки также позволяют определять целесообразность включения в ассортимент новых видов продукции. Для решения задачи нужно рассчитать сумму произведений затрат производственных ресурсов а. на их двойственные оценки 5 • Эта сумма имеет смысл общих затрат на производство, ее

i

сравнивают с прибылью С, полученной от реализации единицы этой продукции. Если S >С, то данную продукцию производить не выгодно. Например, предприятие планирует выпускать еще два изделия С и D. Затраты ресурсов и прибыль приведены в табл. 2.2.2.

Таблица 2.2.2

Для изделия С:

• 5 =^у--6+0-2 + ^--3 =100, С = 80, S >С, следовательно, продукцию С выпускать не выгодно. Для изделия D:
• 5=*.₄₊0._{1+“.1=^=60, С=70, $}

<с,

3 3 3 следовательно, продукцию D выпускать выгодно.