ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Социокультурные и философско-методологические предпосылки возникновения и развития теории вероятностей (от Паскаля и Ферма до Бернштейна и Колмогорова)

Внутриматематические предпосылки возникновения теории вероятностей

В историко-математической литературе является общепринятым связывать время возникновения теории вероятностей как науки со второй половиной XVII в.

В письмах, впервые опубликованных в Тулузе в 1697 г., выдающиеся математики XVII в. Паскаль и Ферма при создании новой теории уже неявным образом пользовались такими фундаментальными теоретико-вероятностными представлениями, как зависимость и независимость событий, теоремами сложения и умножения вероятностей (не определяя еще самого понятия «вероятность»). Было введено также и такое важное понятие будущей теории вероятностей как математическое ожидание случайного события (в данном случае выигрыша в игре).

Вот как историю интересующих нас событий описывал почти что ее современник — выдающийся философ и математик Нового времени Г. Лейбниц: «Современные математики приступили к оценке случайностей в связи с азартными играми. Кавалер де Мере, опубликовавший «Agreements» и другие сочинения, человек острого ума, игрок и философ, явился инициатором этого, предложив ряд вопросов об азартных играх, чтобы узнать, как следует разделить ставки, если игра прервана в том или ином положении. Он побудил этим своего друга Паскаля заняться несколько данным вопросом. Вопрос вызвал шум и подал повод Гюйгенсу составить свой трактат об игре в кости. Проблемой заинтересовались другие ученые. Были установлены некоторые принципы, которыми воспользовался также пансионарий де Витт в маленьком рассуждении о пожизненных рентах, вышедшем на голландском языке»[1].

Действительно, еще до опубликования переписки Паскаля и Ферма, примерно в 1656— 1657 гг., Гюйгенс, узнавший о том, что такие корифеи новой математики, как Ферма и Паскаль, серьезно заняты задачей на разделение ставки, подключился к этим исследованиям и в 1657 г. опубликовал работу «О расчетах в азартной игре» — первое увидевшее свет сочинение по теории вероятностей. В предисловии к этому изданию можно прочитать следующие примечательные строки: «Чем более трудной является задача определения при помощи рассуждений того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука, которая достигает результата, представляется удивительной. Во всяком случае, я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории (курсив наш. — Авт.)». Значение этой небольшой работы Гюйгенса трудно переоценить. И не случайно, что первая часть работы Я. Бернулли «Искусство предположений», появление которой знаменует окончательное становление новой теории, представляет собой перепечатку и тщательный комментарий упомянутой работы Гюйгенса. Но хотя, как и Гюйгенс, «Паскаль и Ферма понимали, что стоят на пороге новой математической дисциплины», следует согласиться со словами А.Н. Колмогорова о том, что их работы «можно рассматривать лишь как предысторию

теории вероятностей, а настоящая ее история начинается с закона больших чисел Я. Бернулли и найденного вскоре после этого Муавром нормального приближения к биноминальному распределению»[2]. Действительно, именно у Бернулли впервые появляются классическое и статистическое определения вероятности, новые, специфически теоретико-вероятностные рассуждения и методы, в то время как его предшественники при решении интересовавших их задач использовали ранее известные комбинаторные методы.

Таковы вкратце историко-научные факты, подтверждающие вывод о том, что становление теории вероятностей как науки происходило во второй половине XVII в. (основные теоретико-вероятностные результаты были получены Я. Бернулли в 90-х гг. XVII столетия).

Как же можно реконструировать процесс возникновения новой математической теории, о которой в 1654 г. говорил весь Париж?

Шевалье де Мере, известный игрок, а также философ и литератор эпохи Людовика XIV, по дороге в свое имение в Пуату встретил Блеза Паскаля и поставил перед ним две задачи, связанные с азартными играми. С первой из них связана следующая легенда. Согласно ей, де Мере всячески старался разбогатеть при помощи игры в кости и придумывал для этого разные усложненные правила игры. В частности, «он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6, если же этого не случалось — ни разу не выпадало 6 очков, — то выигрывал его противник. Де Мере предполагал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать... Действительно, чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Кавалер де Мере был очень доволен и решил, что он открыл верный способ обогащения. Однако постепенно другим игрокам стало ясно, что эта игра для них невыгодна, и они перестали играть с де Мере. Надо

было придумывать какие-то новые правила, и де Мере придумал новую игру. Он предложил бросать две кости 24 раза и бился об заклад, что сверху, хотя бы один раз окажутся две пятерки. Но на этот раз рыцарь ошибся... Чем больше он играл, тем больше разорялся и в конце концов сделался нищим...» В основе этой легенды лежит следующий математический парадокс. При четырех бросаниях игральной кости вероятность выпадения шестерки по крайней мере один раз больше половины. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух пятерок одновременно хотя бы один раз меньше половины. Это не могло не вызывать удивления, поскольку шансы получить одну шестерку в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух пятерок, а 24 бросания как раз в 6 раз больше 4 бросаний. Де Мере не мог понять, почему простые и естественные соображения пропорциональности здесь не работают, и просил Паскаля объяснить ему этот парадокс. В ответ Паскаль рассчитал соответствующие вероятности. Поскольку вероятность выпадения шестерки при одном бросании равна 1/6, вероятность ее невыпадения равна 5/6. Поэтому вероятность невыпадения шестерки при четырех бросаниях, т. е. вероятность проигрыша де Мере, равна 5/6 в четвертой степени, что составляет 625/1296. Это число меньше половины, что объясняет более частые победы шевалье. В то же время вероятность выпадения двух пятерок при одном бросании двух костей равна, очевидно, 1/36, вероятность их невыпадения — 35/36. Поэтому, вероятность того, что две пятерки ни разу не выпадут при 24 бросаниях двух костей, равна 35/36 в двадцать четвертой степени. Это число оказывается больше половины, что и объясняет дальнейшие «неудачи» легендарного шевалье. Подчеркнем еще раз, что правильное решение первой задачи де Мере, как и его второй задачи, ставшей главным предметом знаменитой переписки 1654 г. между Паскалем и Ферма, дается на основе применения вероятностных соображений, а не с помощью, так называемого, «правила пропорциональности критических значений», ставшего причиной «роковой ошибки» нашего игрока.

Справедливости ради отметим, что де Мере на самом деле знал решение своей первой задачи, о чем писал сам Паскаль в письме к Ферма от 29 июля 1654 г.[3] О том, как решить вторую задачу, предложенную де Мере Паскалю — задачу о справедливом разделе ставки, — ни де Мере, ни кто-либо другой в то время не знал. Она была решена независимо друг от друга Ферма и Паскалем. Оба рассматривали ее как задачу о вероятностях, или о шансах, как было принято говорить тогда. С трудно скрываемой радостью Паскаль писал Ферма, обнаружив, что хотя способ рассуждения его адресата не совпадал с предложенным им решением, результат, полученный обоими, был одним и тем же: «Я вижу, что истина одинакова и в Тулузе и в Париже» (Ферма жил в Тулузе, а Паскаль в Париже). Неудивительно поэтому, что шевалье де Мере был преисполнен гордости за то, что его беседы с Паскалем способствовали возникновению новой науки — теории вероятностей, о чем свидетельствует одно из его писем к Паскалю.

Паскаль, как, впрочем, и Ферма, делил ставку пропорционально вероятности выигрыша при продолжении игры. Как отмечает Л.Е. Майстров, «метод решения Паскаля оригинален, но его трудно применить к более сложным случаям».

Метод решения Ферма проиллюстрируем на следующем примере. Пусть два игрока договорились играть до 6 побед в игру, в каждой из партий которой шансы победить у обоих одинаковы. Игра была прервана при счете 5:3 в пользу первого игрока. Для того чтобы справедливо разделить приз, полагал Ферма, «продолжим игру тремя фиктивными партиями, даже если некоторые из них окажутся лишними (т. е. один из игроков уже выиграл приз). Такое продолжение делает все 2 • 2 • 2 = 8 возможных исходов равновероятными. Поскольку только при одном исходе второй игрок получа-

|Часть I. Философские проблемы математики и информатики ет приз (т. е. когда он выигрывает все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7:1[4]. Поразительно, но гениальную и вместе с тем такую естественную идею Ферма о фиктивном продолжении игры, более чем через 300 лет, в 1977 г. С. Андерсон использовал для доказательства теоремы о том, что «игрок, который подает первым, имеет одинаковые шансы выиграть в N партиях раньше своего соперника независимо от того, подают ли игроки поочередно или подает тот, кто выигрывает предыдущую партию».

Исходя из вышеизложенного, можно высказать гипотезу о том, что задачи, решение которых в XVII в. привело к возникновению теории вероятностей, в условиях отсутствия соответствующих гносеологических предпосылок не сыграли той роли, которую им предстояло сыграть позднее. Более того, гносеологический пласт философско-методологических представлений о случайном в Античности и в Средние века лишь препятствовал возникновению науки о случайном — теории вероятностей. Для обоснования этой гипотезы вновь обратимся к анализу философско-методологических представлений о случайности.

Мыслители Ренессанса в принципе не порывают с античным представлением о дихотомии «знание — мнение». Согласно Хэйкингу, физики эпохи Возрождения «все еще были привержены идее знания как абсолютно достоверного знания. Мы не найдем в их деятельности ни малейшей потребности в серьезном использовании вероятностных понятий». Однако наиболее влиятельной силой в интеллектуальной жизни эпохи Возрождения было гуманистическое движение, представителей которого интересовали прежде всего проблемы этики, истории, литературы и искусства. С одной стороны, находясь еще в рамках указанной дихотомии и, с другой стороны, резко критикуя философию и ес-

Глава 4. Философские проблемы теории вероятностей| тествознание за присущие им, по их мнению, формализм и отчужденность от человека, его повседневных забот и проблем; мыслители-гуманисты еще отчетливее подчеркивали противопоставление философии и риторики. При этом, как указывает Б. Шапиро, рассматривая сферу повседневного человеческого опыта, мыслители Ренессанса, опираясь на образцы античной риторики, существенно использовали вероятностные, правдоподобные рассуждения и соответствующую терминологию[5]. И как только (во второй половине XV в.) некоторые гуманисты обратились к философии, изучая античных скептиков, атомистов, Платона и эпикурейцев, сфера применения правдоподобных рассуждений стала постепенно расширяться. «Стена, которая столетиями отделяла философию от риторики, разум от опыта, достоверность от вероятности, стала разрушаться еще быстрее, когда некоторые гуманисты начали развивать комбинированные искусства дискурса, в которые в новом ранжировании включались элементы логики, диалектики и риторики. Эти попытки, среди которых наибольшей известностью пользуется попытка Рамуса, соединяли некогда разделенные и различенные способы мышления, когда аристотелевская философия и схоластическая логика теряли былой престиж. В этом процессе теряли четкие очертания академические предметы и дисциплины, разрушались связи принадлежности к риторике или философии».

В условиях разрушения социальной основы аристотелевско-схоластической традиции в философии и естествознании особенно быстро происходило возрождение античного скептицизма. Первоначально, однако, влияние «новых пирроников» (Санкез, Боден и другие) было заметно прежде всего в области философско-теологических споров. «Скептицизм, — отмечает Г. Роджерс, — был излюбленным оружием иезуитов. Их аргумент состоял в том, что утверждения, относящиеся к библейскому знанию (центральные для

позиции протестантов), не могут быть подтверждены очевидными свидетельствами»[6]. В свою очередь, протестанты, указывая на уязвимость католической традиции с точки зрения того же скептицизма, настаивали на отказе от рассуждений, в которых отсутствуют понятия нарождающейся вероятностной гносеологии.

  • [1] Лейбниц Г. Соч.: В 4 т. Т. 2. М., 1983. С. 478. 2 Цит. по: Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. М., 1980. С. 56. 3 Шейнин О.Б. Комментарий I// Бернулли Я. О законе больших чисел. М., 1985. С. 85.
  • [2] Колмогоров А.Н. Предисловие// Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 4. 2 См.: Юшкевич А.П. Биография Якоба Бернулли// Бернулли Я. О законе больших чисел. С. 157. 3 См.: Рассказ о рыцаре де Мере // Знание — сила. 1960. № 2.
  • [3] См.: Майстров Л.Е. Теория вероятностей: Исторический очерк. М., 1967. С. 50. 2 См. там же. 3 Там же. С. 53. ](] J
  • [4] См.: Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М., 1990. С. 21. 2 Там же. 3 Hacking I. The imergence of Probability. 1975. P. 23.
  • [5] См.: Shapiro B.S. Probability and certainty in seventeenth century England. Princenton N. Y., 1983. P. 7. 2 Ibid. P. 8. VI
  • [6] Rogers G.A. The basis of belief: Philosophy, science and religion in seventeenth century England//History of Europ. ideas. Oxford, 1985. Vol. 6. N 1. P. 20. 2 Cm.: Wood Th. English casuistical devinity during the seventeenth century. L., 1952. P. 68 — 74. 3 Hacking I. Op. cit. P. 22-23. 4 Cm.: Wood Th. Op. cit. P. 68. 5 Лейбниц Г. Соч.: В 4 т. T. 2. М„ 1983. С. 207.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >