ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПО3НАНИЯ

Основные концепции природы математического сознания

Философские воззрения на математику во многом различаются тем, как они трактуют природу математических понятий и принципов. Это прежде всего вопрос о генезисе математических понятий. Его решение во многом зависит от принятия тех или иных гносеологических установок.

Первой явно сформулированной концепцией философии математики был, очевидно, пифагореизм. Пифагорейцы прежде всего различали мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, и мир сверхчувственных (мысленных) объектов и отношений, где имеет место идеальная упорядоченность и гармония. Второй мир может быть познан только умозрительно. Все высказываемое о чувственном мире не вполне достоверно и является только мнением. Утверждения же математики, относящиеся ко второму миру, являются подлинным знанием, обладающим полной истинностью. Математические утверждения опираются не на показания чувств, а на разум, который способен, как полагали пифагорейцы, непосредственно, без опоры на опыт постигать истинные законы космоса. Истины математики являются несомненными и вечными. «Ложь же никоим образом не входит в число, — учил пифагореец Филолай, — ибо ложь враждебна и противна природе его, истина же родственна числу и связана с ним с самого начала»[1]. Важно отметить также, что пифагорейцы приписывали математическим объектам не только объективное существование. Они придавали числам статус причины вещей, активного начала, порождающего вещи. Хорошо известен их главный тезис «Все есть число». Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии в период ее расцвета. Мы видим его, в частности, в диалогах Платона, в особенности, в «Теэтете» и в «Тимее».

Однако его ученик Аристотель выдвинул новую, эмпирическую концепцию математики, исходящую из первичности опыта в генезисе любого знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей, наряду с ними, а тем более причинами вещей. Они, по его мнению, связаны с вещами и возникают как таковые из способности мышления к абстрагированию. «И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр». Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, чувственно воспринимая вещи во всем многообразии свойств, абстрагируется (отвлекается) от многих из них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя последние как отдельно (самостоятельно) существующие. Математик мысленно строит особый идеальный мир, основанный на отвлечении, но этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый от них лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств.

Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотрения. Он, в частности, высказал положение о том, что строгость математического рассуждения объясняется простотой ее предмета. Под простотой здесь имеется в виду не легкость усвоения математики, а ее предельная абстрактность, отсутствие в ее

26

предмете разнородности качеств, которая имеет место в более конкретных науках. Им высказана также идея о глубинной связи математики с понятием прекрасного. Важнейшие виды прекрасного, считал Аристотель, — это слаженность, соразмерность и определенность, но именно эти стороны вещей и изучает математика.

Очевидно, что аристотелевская концепция математики является более соответствующей духу естественно-научного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются в своей сути аристотелевского воззрения на природу математики: они считают, что математика вторична по отношению к опыту, что исходные математические объекты есть некоторые абстрактные схемы реального бытия вещей. Математика с этой точки зрения суть не что иное, как очень абстрактная физика, отвлеченная от анализа реальных (материальных) сил и движений.

Аристотелевское истолкование природы математического знания имеет, однако, серьезные внутренние трудности. Уже давно было замечено, что математические утверждения (теоремы) в отличие, скажем, от физических не могут быть опровергнуты. Доказанное в математике доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки в будущем. Мы видим также, что математика в обосновании своих положений не использует и не нуждается ни в каких показаниях опыта. Мы замечаем, наконец, что многие математические объекты не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта. Уже с такими объектами, как отрицательные числа возникают затруднения. Нельзя доказать положение: (+ 5) х (— 5) = — 25, апеллируя к какому-либо опыту или к логике абстрагирования. Еще более проблематичны в этом отношении комплексные числа. Математический анализ ввел в математику понятие актуальной бесконечности, которое также не имеет коррелята в чувственном опыте. Развитие математики начиная с XVII в., демонстрировало все новые и новые возражения аристотелевской кон

  • 27
  • 1

См.: Арнольд В.И. Что такое математика? М., 2004.

цепции математики и все настоятельнее ставило задачу разработки ее понимания на не-эмпирической основе.

В какой-то степени эту задачу решала априорист-ская концепция математики, сформированная в XVII — XVIII вв. (Декарт, Лейбниц, Кант). Априоризм в определенной степени явился возвращением к пифагореизму с его разделением знания на чувственное и умопостигаемое. Математика объявляется принципиально внечувственным знанием, основанным на априорной интеллектуальной интуиции. Так, Декарт разделял все истины на мысленные и вечные, данные в аподиктической интуитивной очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта. Математика стала пониматься как знание, получаемое на основе не чувственной, а мысленной очевидности. Близкое воззрение было сформулировано Г. Лейбницем. Он отличал необходимые истины (математические и логические) от истин случайных, основанных на опыте. По мнению Лейбница, необходимые истины это такие истины, отрицание которых содержит в себе противоречие. При этом, по Лейбницу, аналитическими истинами являются не только теоремы, которые строго логически выводятся из некоторой системы простых исходных утверждений (аксиом), но и сами аксиомы математических теорий. И у Декарта, и у Лейбница возникновение исходных понятий и утверждений математики не связывается жестко с опытом, они рассматриваются как покоящиеся на очевидности, имеющей внеопытную и до-опытную (априорную) природу. Оба этих философа отождествляли априорное знание со знанием, врожденным уму. Математические истины, по Лейбницу, не проистекают из опыта, они присущи внутренне самому разуму как некоторое его имманентное содержание. Правда, они могут иногда выявляться под влиянием воздействия предметов на наши органы чувств.

Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность математических истин. Аналитичностью, с его точки зрения, 28 обладает только логическое знание (логические апри орные истины), остальные же виды априорных истин (например, математические и философские) являются синтетическими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистого внеопытно-го (мысленного) созерцания, которое позволяет сформулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения (аксиомы) геометрии опираются, по Канту, на чистое представление о пространстве (на его априорное созерцание), а истины арифметики — на чистое представление (априорное созерцание) времени. «Чистые» представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Всякое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе мысленно очевидного синтеза.

Признание в XIX в. новых неевклидовых геометрий в качестве полноценных математических теорий существенно поколебало позицию кантовского априоризма, но только кантовского, а не априоризма вообще. Новые геометрии показывали возможность существования альтернативных евклидовой геометрических теорий. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий могла бы быть истолкована как такой же продукт чистого созерцания, как и евклидова геометрия, тем более что неевклидовы геометрии возникли явно не из обобщения нового эмпирического опыта.

В связи с осмыслением статуса неевклидовых геометрий (а позже и теории множеств) в конце XIX в. стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основные ее положения могут быть сформулированы следующим образом:

  • — математика не имеет предмета в объективной действительности, подобного физике, химии и другим наукам, она не является наукой, исследующей какие-
  • 29
  • 1

См.: Кант И. Соч.: В 6 т. Т. 3. М„ 1964. С. 402.

то специфические аспекты объективной реальности, а представляет собой лишь метод логической систематизации опытного знания и состоит из совокупности формальных структур, пригодных для этой цели;

  • — основным требованием к аксиомам математической теории является не их априорная очевидность или связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опытным наукам;
  • — к математике не применимо понятие истины в смысле адекватного объективного содержания. Любая математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук;
  • — если обоснование содержательной науки состоит в эмпирическом подтверждении ее истинности, то обоснование математической теории заключается в доказательстве логической непротиворечивости множества ее аксиом и правильного логического вывода ее соответствующих теорем.

Эти принципы наиболее четко были сформулированы в работах Д. Гильберта и ряда других ученых. Ясно, что принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от философских трудностей как эмпирического, так и априористского истолкования природы математики. От математической теории не требуется больше ни априорной очевидности, ни опытной основы в качестве необходимых признаков. Для нее существенным объявляется только одно свойство, а именно требование ее непротиворечивости. Обоснование математической теории заключается с этой точки зрения только в строгом доказательстве ее непротиворечивости. Философия математики XX в. (особенно в первой трети XX в.) развивалась в значительной степени в русле этих идей.

Однако на протяжении XX в. появились и некоторые новые воззрения на природу математики. Прежде всего произошло определенное возрождение эмпиризма, правда, не в его грубом онтологическом варианте истолкования содержания любой математической теории как отражающей специфическую область действи тельности, а скорее — в методологическом варианте, согласно которому и в математике должно иметь место опытное подтверждение ее утверждений. В этом плане получила большую известность концепция математического «квазиэмпиризма» И. Лакатоса. Возникли также воззрения, которые можно назвать новым вариантом неоаприоризма: логицизм, интуиционизм, конструктивизм и др. Большинство из них настаивает на априорности только исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математические теории уже как производные математические структуры. Математика с этой точки зрения разбивается на две части: первичная, априорная, математика и вторичная — формально производная — математика. Разумеется при этом, что и та и другая могут быть использованы для решения внешних (прикладных) задач. Мы считаем, что именно неоаприористское воззрение на природу математики является более правильным и более перспективным по сравнению с неоэмпиризмом. Более того, с нашей точки зрения, исходные математические теории, такие как арифметика и евклидова геометрия имеют непосредственную связь как с универсальной философской онтологией сознания, так и одновременно с практикой, реализуя прикладную ценность математического мышления. Этот вид неоаприоризма мы предлагаем назвать «праксеологическим».

  • [1] Маковельский А.О. Досократики. Казань, 1919. С. 36. 2 Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1972. С. 326.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >